Элективный курс по математике «Задачи на проценты»
элективный курс по алгебре (11 класс) на тему

Элективный курс по математике

«Задачи на проценты»

  Автор программы: Сибгатуллина Милеуша Дамировна - учитель математики                                 МБОУ «Большекайбицкая СОШ»

Эл.ад:   2101000184@edu.atar.ru

Тел: 89375246887

Аннотация программы

      Задачи на проценты часто включают в экзаменационные варианты 11-го,  а иногда и 9-го класса, но многие ученики пропускают эти задачи, так как испытывают сложности при их решении.

   Понятие «проценты» вошло в нашу жизнь не только с уроками в средней школе и с проведением сложных научно-исследовательских работ, не только с выпечкой кулинарных изделий и приготовлением лакомств, солений и варений, оно буквально атакует нас в пору утверждения рыночных отношений в экономике, в пору банкротств, кредитов, инфляций, девальваций. Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым. Обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

   Именно поэтому элективный курс «Задачи на проценты» призван помочь старшеклассникам систематизировать знания и умения по теме проценты, повысить свою математическую и алгоритмическую культуру, достичь уверенных навыков в решении стандартных задач по алгебре, освоить эвристические подходы к решению нестандартных, творческих задач, а также сформировать привычку к поисковой активности, существенную отнюдь не только при занятиях математикой, но и в обыденной жизни.

   Это программа для тех, кто изучает математику, физику, химию, кому завтра предстоят выпускные и вступительные экзамены, кому в повседневной жизни приходится считать. В процессе решения задач учащиеся повторяют, как найти часть от числа и число по его части, прямую и обратную пропорциональные зависимости, способы решения уравнении и другое.

Пояснительная записка.                                                                                                                                                                                 

        Предполагаемый элективный курс предназначен для реализации в старших классах. Курс предназначен для учащихся  11-го класса  и   рассчитан  на 17 часов. Данный курс направлен на удовлетворение познавательных интересов учащихся, имеет прикладное общеобразовательное значение,      способствует развитию логического мышления учащихся, использует целый ряд межпредметных связей. Элективный курс должен позволить учащемуся не столько приобрести знания, сколько овладеть различными способами познавательной деятельности. В каждом разделе курса имеются задания на актуализацию и систематизацию знаний учащихся, содержание курса способствует решению задач самоопределения ученика в его дальнейшей профессиональной деятельности. Предлагаемый курс имеет прикладное и общеобразовательное значение.   Он способствует развитию логического мышления, сообразительности и наблюдательности, творческих способностей, интереса к предмету, данной теме, и, что особенно важно, формированию умений решать практические задачи в различных сферах деятельности человека. При изучении курса рекомендуется использовать поисково-исследовательскую деятельность учащихся, которая реализуется и на занятиях, и в ходе самостоятельной работы школьников. Предлагаются такие формы занятий как практикум, деловая игра, экскурсия. Проведение занятий может быть организовано в индивидуальной и фронтальной форме,   а при работе по проблеме исследования создаются группы.    Содержание индивидуальных групповых заданий предлагает выбор учащимися объектов исследования.

       Цель элективного курса – обобщение и систематизация, расширение и углубление знаний по теме проценты, обретение практических навыков решения задач на проценты, повышение качества знаний школьников, развитие способностей учащихся применять знания в реальных жизненных ситуациях.

       Разработанный курс направлен на решение следующих задач:

• сформировать у обучающихся умения и навыки по решению задач с процентами, развить их математические способности;
• активизировать познавательную деятельность обучающихся;

способствовать развитию алгоритмического мышления студентов;

расширить представления обучающихся о сферах применения математики, сформировать устойчивый интерес к предмету;

• убедить обучающихся в практической необходимости владения способами выполнения математических действий;
• развивать способности учащихся к исследовательской и проектной деятельности;
• повысить информационную и коммуникативную компетентность учащихся.

       Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к математическим олимпиадам, ЕГЭ, централизованному тестированию и вступительным экзаменам в высшие учебные заведения.

     Элективный курс предусматривает классно-урочную и лекционно-практическую системы обучения. Практическая часть предполагает использование типового школьного оборудования кабинета математики.

Примерное тематическое планирование

Содержание курса.

Тема 1. «Проценты» - 1 часа.    Сферы применения процентных расчетов. Понятие процента, основные соотношения на процентные расчеты, нахождение процента от числа, числа по его проценту, составление  процентного отношения. Решение типовых задач на проценты.

Тема 2. «Разные задачи» - 3 часа.   Алгоритм решения задач методом составления уравнений. Решение задач на числах с постепенным обобщением решения. Решение более сложных задач на процентные расчеты методом составления уравнений.

Тема 3. «Задачи «на работу» - 3 часа. Алгоритм решения задач, связанных с выполнением (индивидуального или совместно) определенного объёма работы, пользуясь формулой A=Pt, где А – количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу ), t – время выполнения всего количества работы, Р –производительность труда, то есть количество работы, выполняемой за единицу времени.

Тема 4. «Задачи «на движение» - 3 часа. Алгоритм решения задач, связанных с равномерным движением, пользуясь формулами: S=Vt;  V=S/t;   t=S/V, где  t – время,  S – пройденное расстояние,  V – скорость (расстояние, пройденное за единицу времени).

Тема 5. «Задачи на числа» - 2 часа. Алгоритм решения задач, связанных на нахождение неизвестного  (двухзначного или трехзначного) числа.

Тема 6. «Простой процентный рост» - 2 часа. Задачи на процентное содержание и процентный прирост. Формула начисления «сложных процентов», формула простого процентного роста. Решение задач на применение формул.

Тема 7. «Сложный процентный рост» - 3 часа. Использование процентных расчетов в жизненных ситуациях, и банковском деле, на производстве, в бизнесе и т.д. Понятие объёмной (массовой) концентрации, объёмной (массовой) процентной концентрации. Решение задач, предлагаемых на уроках математики, решение экономических задач, задач на проценты.

Тема 8. «Защита проектов» -1 час. Защита проектов. Отчет об индивидуальных или групповых работы по теме «Проценты».

  Методический комментарий:

        При изучении курса обучающиеся систематизируют знания и  умения по теме «Проценты»,  полученные в 5 и 6  классах   и углубят  их, познакомившись  с различными способами решения задач, не входящих в школьную программу.

Учащиеся развивают и углубляют  общеучебные навыки и умения за счет: решения дополнительных задач (на процентное содержание, процентный раствор и концентрацию); новых способов их решения; решения задач с практической ориентацией; решения олимпиадных задач и из материалов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы.

      Обучение учащихся осуществляется через практическую, самостоятельную или групповую деятельность, через выявление, актуализацию и обогащение их собственного опыта в сотрудничестве с другими учащимися и учителем. В конце изучения курса обучающиеся представляют свой проект по выбранной ими теме.  Они самостоятельно определяют для себя, его цели и задачи. В проекте должны быть

теоретическая часть, в которой отражены основные знания и умения по теме «Проценты»;

различные материалы по теме проекта «Проценты на все случаи жизни».

 Обучающиеся оформляют проекты, представляют их, учатся при этом обоснованно и рационально излагать свои мысли, вырабатывают умение слушать товарищей, дополнять и комментировать  их ответы. Решение практических задач позволит учащимся применить в новых ситуациях известные приемы, установить связь между изученным материалом и окружающей реальностью.  

 Таким образом, создаются условия для активизации познавательного интереса, и обучающиеся становятся активными участниками происходящих вокруг них жизненных событий, осмысливают материал курса и целенаправленно смогут применить полученные знания, умения и навыки в  практической деятельности. Изучение курса поможет учащимся соотнести свои индивидуальные возможности, интересы с особенностями, современными требованиями предмета математики.

Внутрипредметные связи, при изучении содержания курса,  находят свое воплощение в построении и исследовании математических моделей (уравнений и их систем, графиков функций и т.п.) и служат обобщению и приведению знаний в систему по ходу обучения.

Требования к уровню усвоения курса:

по окончанию изучения курса обучающиеся должны

знать /понимать:

- смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами;

- построения и исследования математических моделей для описания и решения прикладных задач,  понятие процента;

иметь представление: о применении процентов в повседневной жизни;

уметь:

- представлять проценты — в виде дроби и дробь – в виде процентов; 

- находить проценты от величины, величину по ее проценту;

- выражать отношения в процентах;

- применять полученные математические знания в решении жизненных задач;

- уметь использовать дополнительную математическую литературу.

- использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:

- решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и химических;

- самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;

- выполнения расчетов практического характера;

Контроль:

        В ходе занятий учащиеся выполняют индивидуальные контрольные задания, а по окончанию занятий курса проект, тема которого определяется каждым обучающимся индивидуально.   Работа над выбранной темой может быть индивидуальной, но не исключается выполнение проекта небольшой группой учеников.

Обсуждение результатов выполнения проекта желательно проводить во время публичной защиты, куда могут быть приглашены и не изучавшие данный курс учащиеся.

Учебно- методическое обеспечение программы

- специальная справочная литература;

 - методическая литература:

- дидактический и раздаточный материал;

- набор КИМов ЕГЭ прошлых лет.

Литература: 

1.  Гильмиева Г.Г.  Учебно – методическое пособие. Задачи с процентами. – Школа. Казань, 2008.

2.http://gigabaza.ru/download/1de69ad61bfdcd1add77/62424.html 3.http://gigabaza.ru/doc/140171.html

4.Р., Семенов П. В. - Учебно-тренировочные материалы для подготовки к единому государственному экзамену. Математика. - М.: Интеллект - Центр, 2005-2008                                                                                                    5. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М: Школа-Пресс, 1999

Приложение.

Вводный тест по теме «Проценты»

1. Найдите 25% от 56.

А) 14         Б) 22,04         В) 20         Г) 25      

2. Найдите число, если 1% его равен 75.

А) 0,75         Б) 7,5         В) 7500         Г) 750      

3. Клубника содержит 6% сахара. Сколько килограммов сахара в 27 кг клубники?

А) 1,82 кг         Б) 1,62 кг         В) 2,24 кг         Г) 2,42 кг            

4. Книга стоила 25 р. После повышения цены она стоит 30,25 р. На сколько процентов возросла стоимость книги?

А) на 21%         Б) на 20%         В) на 24%         Г) на 25%            

5. Найдите число, 34% которого равны 170.

А) 57,8         Б) 500         В) 56,5         Г) 510            

6. На математической олимпиаде 32% участников получили грамоты. Сколько школьников приняло участие в олимпиаде, если наградили 416 человек?

А) 932         Б) 1300         В) 133,1         Г) 1340            

7. Надо вспахать участок поля в 500 га. В первый день вспахали 150 га. Сколько процентов составляет вспаханный участок от всего участка?

А) 330%         Б) 30%         В) 125%         Г) 45%            

8. Число уменьшили на 20%. На сколько процентов надо увеличить полученное число, чтобы получить данное число?

А) на 20%         Б) на 40%         В) на 25%         Г) на 30%            

9. Число 56 составляет 80% от некоторого числа. Найдите среднее арифметическое этих чисел.

А) 63         Б) 44,8         В) 126         Г) 56            

10.  Сторону квадрата уменьшили на 20%. На сколько процентов уменьшилась его площадь?

А) на 20%         Б) на 36%         В) на 10%         Г) на 40%            

Таблица ответов:

Тема 1. «Проценты» - 1 час.

 Тема:   «Понятие процента».

 Цель: повторить:

определение  процента;

правило выражения процента дробью;

правило замены  дроби процентами.

Материал к занятию

Теоретический материал

Процентом называется сотая часть чего-либо.

Процент обозначается знаком %.

Чтобы проценты выразить дробью, надо  разделить  на сто.

Пример

1%=1:100=0,01или ,   25%=25:100=0,25 или

Чтобы дробь  выразить в процентах, её  надо  умножить   на сто.

Пример

 0, 23= 23%, 0,07= 7%.

Наиболее часто встречающиеся соотношения:

Практический  материал.

а). Вырази число в процентах

0,72,   0,04,    0,3,    2,1.

.

б). Вырази проценты дробным числом

2%,  17%,  1,35%,  0,6%.

Тема 2. «Разные задачи» - 3 часа.  

Цель:    изучить способы решения  экономических и бытовых  задач на нахождение:

процента от числа;

числа по его процентам;

процентного соотношения.

Материал к занятию

Цель урока: Отработка навыков по решению задач на проценты с помощью уравнений.

Ход урока:

I Актуализация знания

Тест – опрос. Установите истинность (ложность утверждения)

1) Верно ли:

                      а) 37% = 0,37

                      б) 290% = 2,9

                      в) 9% = 0,9

2) Верно ли:

                      а) 5% от 400 равно 20

                      б) 20% от 300 равно 6

                      в) 1% от 1 м равно 10 см

3) Найти число х:

                       а) 4% его равны 160; х = 400

                       б) 70% его равны 560; х = 800

                       в) 17% его равны 68; х = 400

4) Процентное отношение чисел:

                       а) 150 к 500 равно 30%

                       б) 7 к 10 равно 700%

                       в) 137 к 100 равно 137%

Таблица ответов:

Условные обозначения:

                                         + «Истинна»

                                         – «Ложь»

II Решение задач

Задача 1. Одной машинистке на перепечатку рукописи требуется на 12 ч больше, чем другой. Если 25% рукописи перепечатает первая машинистка, а затем к ней присоединится вторая машинистка, то на перепечатку рукописи им понадобиться 35 ч, считая от момента начала работы первой машинистки. За сколько часов могла бы перепечатать рукопись каждая машинистка, работая отдельно?

Решение: Пусть на перепечатку рукописи первой машинистке требуется  ч, тогда второй потребуется  ч. На перепечатку 25% рукописи первая машинистка затратит  ч. Выясним теперь, сколько времени потребуется двум машинисткам на перепечатку оставшихся 75% рукописи. Первая машинистка перепечатывает за один час  часть рукописи, вторая –  часть рукописи, а вместе за час они перепечатывают  часть рукописи. На перепечатку  рукописи им потребуется  ч, т.е.  ч. Отсюда получаем уравнение: 

Решив это уравнение, найдем, что оно имеет два корня:  и .

Второй корень не соответствует условию задачи.

Ответ: первой машинистке на перепечатку рукописи требуется 60 ч, а второй – 48 ч.

Задача 2. Положив в банк деньги, вкладчик получил через год прибыль в 240 тысяч рублей. Однако он не стал забирать деньги из банка, а, добавив к ним еще 60 тысяч, снова оставил деньги на год. В результате спустя еще год он получил в банке 1 миллион 100 тысяч рублей. Какая сумма была положена в банк первоначально и какой процент прибыли в год давал банк?

 Решение: Допустим, что первоначальный вклад составляет  тысяч рублей. Тогда процент прибыли за год равен . Сумма вклада, положенного в банк через год, составила  тысяч рублей, т.е.  тысяч рублей. Этот вклад принес доход, равный  тысячам рублей. Всего вкладчик получил 1100 тысяч рублей.

Получаем уравнение:

Решив его, найдем, что это уравнение имеет два корня: ,  Выполнив расчеты, можно убедиться, что оба корня соответствует условию задачи.

Ответ: задача имеет два решения: вкладчик вложил первоначально 200 тысяч рублей и получил доход 120% в год или вкладчик вложил первоначально 360 тысяч рублей и получил доход  в год.

Задача 3. Имелось два слитка меди. Процент содержания меди в первом слитке был на 40 меньше, чем процент содержания меди во втором. После того как оба слитка сплавили, получили слиток, содержащий 36% меди. Найдите процентное содержание меди в первом и во втором слитках, если в первом слитке было 6 кг меди, а во втором – 12 кг.

Решение: Обозначим за  массу первого слитка в кг, за  массу второго слитка в кг, получим систему уравнений:

В результате получим: х=30, у=20.

Ответ: 30 кг, 20 кг

Задача 4. Для определения оптимального режима снижения цен социологи предложили фирме с 1 января снижать цену на один и тот же товар в двух магазинах двумя способами. В одном магазине – в начале каждого месяца (начиная с февраля) на 10%, в другом – через каждые два месяца, в начале третьего (начиная с марта) на одно и то же число процентов, причем такое, чтобы через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковыми. На сколько процентов надо снижать цену товара через каждые два месяца во втором магазине?

Решение: Пусть  руб. - стоимость товара,  - число процентов. Тогда,

I магазин

       Февраль

        Март    

        ……………………………………

        Июль    

II магазин

        Март    

        Май      

        Июль    

По условию задачи через полгода (1 июля) цены снова стали одинаковые, составляем уравнение:

Ответ: на 21%.

III Задачи для самостоятельной работы

Задача 1. В соответствии с договором фирма с целью компенсации потерь от инфляции была обязана в начале каждого квартала повышать сотруднику зарплату на 3%. Однако в связи с финансовыми затруднениями она смогла повышать ему зарплату только раз в полгода (в начале следующего полугодия). На сколько процентов фирма должна повышать зарплату каждые полгода, чтобы 1 января следующего года зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренной договором.

Решение: Пусть  руб. - зарплата,  - процент повышения зарплаты. Тогда,

По плану

       I квартал         руб.

……………………………

       IV квартал      руб.

Фактически

        I полугодие    руб.

        II полугодие   руб.

       По условию задачи зарплата сотрудника была равна той зарплате, которую он получил бы при режиме повышения, предусмотренного договором, составляем уравнение:

Ответ: на 6,09 %.

Задача 2. На заводе было введено рационализаторское предложение. В результате время, необходимое для изготовления рабочими некоторой детали, уменьшилось на 20%. На сколько процентов возросла производительность труда этого рабочего?

Решение: Пусть  - производительность труда, а  - весь объем работы. Тогда работа будет выполнена за время . В результате роста производительности труда время на изготовление детали стало равно , соответственно производительность , или . Соответственно рост производительности труда составил:

Ответ: 25%

Задача 3. Из жителей города одни говорят только на украинском, другие – только на русском, третьи – на обоих языках. По-украински говорят 85% всех жителей, а по-русски – 75%. Сколько процентов всех жителей этого города говорят на обоих языках?

Решение:

100%-85%=15% - не говорят на украинском;

100%-75%=25% - не говорят на русском;

100%-15%-25%=60% - говорят на обоих языках.

Ответ: 60%.

Тема 3. «Задачи «на работу» - 3 часа.

При решении задач, связанных с выполнением (индивидуально или совместно) определенного объема работы, используют формулу A=Pt. где А - количество всей работы, намеченной к выполнению (по смыслу задачи часто А принимают за единицу), I - время выполнения всего количества работы, Р - производительность труда, то есть количество работы, выполняемой в единицу времени.

Материал к занятию

Задача 1. Том Сойер может окрасить половину забора за 4 часа 30 минут. На сколько процентов производительность работы Гекльбери Финна выше если 2/3 забора он окрасил за 2 часа?

Решение: Пусть Рс, Рф - производительность Сойера и Финна соответственно,   Рс>0, Рф>0,      4 часа 30 минут = 4 ,5  часа.

Согласно условию задачи Том Сойер может окрасить половину забора за 4,5 часа , значит:   Рс=0,5А/4,5=А/9

 Гекльбери Фини 2/3 забора окрасил за 2 часа, значит   Рф=(2/3А)/2=А/3

Ответ  на вопрос задачи:  

((Рф – Рс)/ Рс)100%= ((А/3-А/9)/А/9)100%=2 x 100%=200%

Ответ:на 200% производительность Финна выше.

 Задача 2. Карлсон один может съесть 7 банок варенья за 14 минут. а вдвоем с Сиропчиком они съедают 10 банок с вареньем за 12 минут. На сколько процентов производительность у Карлсона выше, чем у Сиропчика?

Решение:

Пусть Рк -        производительность        Карлсона.          Рс - производительность Сиропчика, Рк>0, Рс>0. Рк= 7/4 = ½, то есть  Карлсон съедает 1/2 банки варенья за 1 минуту.

Рсовм =Рк+Рс= 10/12 = 5/6, то есть Карлсон и  Сиропчик        вдвоем

съедают 5/6 банки варенья за 1 минуту. Пусть на q% (q>0)  у Карлсона производительность выше, чем у Сиропчика.

 Рк= (1+q/100) Рс; Рс= Рсовм – Рк= 5/6-1/2= 1/3;

½=(1+q/100)x1/3;  1+q/100=3/2; q/100=1/2; q=50.

Ответ, на 50% производительность у Карлсона выше, чем у Сиропчика

Задача 3. По мановению волшебной папочки Незнайка получил ящик мороженого, в котором находилось 240 порций эскимо. Незнайка честно поделил мороженое пополам с Пестреньким. Пестренький съел все свое мороженое за 24 минуты, опередив Незнайку на 16 минут. На сколько процентов должен был бы увеличить долю друга Незнайка (соответственно, уменьшив свою), чтобы они справились с мороженным за одно и то же время  ?

Ответ: Ответ на 25% должен был бы Незнайка увеличить долю

Друга.

Задача 4. Три насоса заполняют бассейн за 1 час 20 минут. Р1:Р2:Р3=3:5:8.  Найти процент заполнения бассейна за 40 минут первым и вторым насосом, где Р1; Р2 ; Р3 производительность 1,2,3-го насосов соответственно.

 Решение:

1 час 20 минут = 1(1/3) часа; 40 минут =2/3 часа.  

Возьмем А=1

По условию (Р1 +Р2+Р3) х1(1/3)  =1;

Р1/3=Р2/5=Р3/8

Найдем (Р1+Р2) 2/3

Выразим Р2 и Р3 через Р1;

Р1/3=Р2/5, то Р2= 5/3Р1

Р1/3=Р3/8, то Р3=8/3Р1

(Р1+Р2+Р3) 1(1/3)=1;  (Р1+5/3Р2+8/3Р1) 4/3=1 значит Р1=9/64;

тогда Р2=5/3Р1=(5/3)х(9/64)= 15/64.

(Р1+Р2)(2/3)=(9/64+15/64)2/3=1/4

Значит 1/4 бассейна заполняют первый и второй насосы за 40 минут. 1/4= 25%.

Ответ: 25%.

Задача 5.  Бассейн заполняется водой за 10 часов совместной работы трех насосов Производительности насосов относятся как 1:3:4. Сколько процентов объема бассейна будет заполнено, если первые 5 часов работали второй и третий насосы, а следующий 1 час - первый и третий насосы?

Решение

Ответ; 50% объема бассейна будет заполнено.

Задача 6. Три бригады работая одновременно могут обработать участок земли за 10 часов. Какую часть участка (в процентах) обработают первая и третья бригады за 7 часов 30 минут если скорость выполнения работ третьей бригады в 3 раза больше скорости первой и в полтора раза больше скорости выполнения работ второй бригады?                                                                                 Ответ: 50% участка обработают первая и третья бригады

Задача 7. Две бригады, работая одновременно, выполняли некоторую работу. Первая бригада увеличила свою производительность на 20% а вторая бригада увеличила на 30% по сравнению с плановой. Какую часть всей работы должна была выполнять вторая бригада согласно плану, если, работая с увеличенными производительностями все отведенное время, они перевыполнили задание на 24%?

Ответ: 0.4 часть работы должна была выполнять вторая бригада согласно плану.

Тема 4. Задачи «на движение».                                                                                                 При решении задач, связанных с ранномерным движением, пользуются формулами: S=Vt, V= S/ t , где t

время, S - пройденное расстояние, V - скорость (расстояние, пройденное за единицу времени).

Материал к занятию

Задача 1. Проехав 120 км,  что составляло 50% всего пути, пассажир лег спать и спал до тех пер. пока не осталось ехать 50% того пути, который он проехал спящим. Сколько километров пути пассажир проехал спящим?  Решение.

50%=1/2.   Весь путь составит 120: 1/2 =240 км.  

Пусть X км он проехал спящим, х>0. Согласно условию задачи X+1/2=120  , 3/2= 120; х=80

Ответ: 80 км пути пассажир проехал спящим.

Задача 2. Пешеход затратит на половину пути 2 часа 15 минут, а велосипедист может проехать три четверти этого же пути за полтора часа На сколько процентов скорость велосипедиста выше, чем спорость пешеход?                                                                     Ответ: на 125% скорость велосипедиста выше скорости пешехода

Задача 3. Водитель проехал первые 36% пути со скоростью на 20% меньшей запланированной. Определите количество процентов, на которые он должен увеличить свою фактическую скорость на оставшемся участке пути, чтобы в итоге весь путь был пройден на 5% быстрее, чем планировалось.

Ответ: на 60% водитель должен увеличить свою фактическую скорость.

 Задача 4. Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали соответственно товарный и пассажирский поезда. Товарный поезд проходил в час 6% всего пути между пунктами и встретился с пассажирским поездом через 3 часа 20 минут после начала движения. Сколько минут затратил на путь из В в А пассажирский поезд?

Решение:

Пусть S - расстояние между А и В (S>0).

 Vт - скорость товарною поезда, Vт>0.

Vn - скорость пассажирского поезда, Vn >0. Нужно найти сколько минут затратил на путь из В в А пассажирский поезд, то есть найти величину S/Vn.

Так ка  товарный поезд проходил в час 6% всего пути: 0,06S,то Vт=0,06S

Встреча поездов произошла через 3 часа 20 минут = 3(1/3)часа. Тогда товарный поезд до встречи проехал (0,06Sх3(1/3)) единиц пути, а пассажирский (Vnх3(1/3)) единиц.

Получим уравнение:                                                                                                                                                    0,06Sх3(1/3) + Vnх3(1/3)=S

S/Vn=25/6, 25/6 ч.=250 минут.                                                                                                              Ответ: 250 минут затратил на путь из В в А пассажирский  поезд.

Тема 5. «ЗАДАЧИ НА ЧИСЛА» – 1 час.

Материал к занятию

Задача 1. Найти двузначное число (или сумму таких двузначных чисел, если и несколько) которое при перестановке цифр местами уменьшается на 28,125%.

Решение:

Пусть А= ху =10х+у двузначное число, где X-число его десятков, у - число его единиц. Если поменяем X и у местами, то получим:

В=ух=10у+х; х= 1,2,….9; у=1,2,….,9.

28,125%=28 (1/8) %=225/800  

Согласно условию задачи:

В=А-225/800А=(1-225/800)А=575/800А=23/32А

10у+х=23/32(10х+у);

3у=2х

2х- четное, значит у может принимать значения, равные 2; 4 или 6.

Двузначные числа, удовлетворяющие нашему условию: 32, 64,96. Их сумма 32+64+96=192.                           Ответ: 192.

Задача 2.  Найти трехзначное число, все цифры которого различны (ипи сумму таких трехзначных чисел, если их несколько), которые при перестановке третьей цифры в начало числа увеличиваются на 187,5%.

Решение:

Пусть А= хуz =100х+10у+z - трехзначное число, причем х, у, z – различны.

B=zxy =100 z +10 х + y – число, полученное из числа А перестановкой третьей цифры в начало числа.

X=1,2,3,        ,9;  у= 0,1,2,…..,9;  Z=1,2,….,9

187,5%=1,875=1(7/8)  

По условию

В=А+1(7/8)А=2(7/8)А=23/8А;

 100z+10x+y=23/8(100х+10у+z)

800z+80x+8y=2300x+230y+23z.

2220X+222y=777Z4

20x*2y=7Z.

Т.к. левая часть уравнения делится на 2, то значения Z могут быть равными 2, 4. 6 или 8.

При Z=2 X,У не подбираются

При Z=4 Х=1, у=4

При Z=6 Х=2, у=1

При Z=8 Х=2, у=8

Значит получим числа 144, 216, 288

Все цифры различны только у числа 216.            Ответ: 216.

Тема 6. «Простой процентный рост» - 2 часа.

1 процент –      1/100      часть числа.

За 100% всегда принимают  то, с чем сравнивают. Если a>b на 20%, то a=1,2b.

Отношение     а/b    показывает, какую часть от числа b составляет число a.

Выражение    (a\b) 100%  показывает, сколько процентов от числа b  составляет число a.

Увеличить число  S на р% :            .

Уменьшить число  S на р% :            .

Формула простого процентного роста:

Материал к занятию

Задача 1. Цена товара S рублей была повышена на 25%.На сколько процентов надо теперь её понизить, чтобы получилась первоначальная цена?              
    Решение:

Цена товара после повышения на 25% , это - 1,25S.                

Пусть цену товара надо понизить на p%. Тогда новая цена станет равной .

Получаем уравнение .

Откуда                       и  p=20.  

 Ответ. 20%

Тема 7.  «Сложный процентный рост» - 3 часа.

   Пусть S – внесенная первоначально сумма, банк начисляет доход в размере p% годовых, а через n лет  сумма к выплате станет равной    

  Через год:                                             

   Через два года:                                                                    

  Формула сложного процентного роста:

Материал к занятию

2.Банк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Но банк увеличил процент годовых на 40%. К концу следующего года накопленая сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Решение: Положим в банк А рублей под р% годовых. Через год сумма на счету станет равной А(1+)рублей. Сняв четверть данной суммы, получим   А(1+). Теперь на эту сумму начисляют новый процент  А(1+)(1+), который стал 1,44А. Решив данное уравнение, получим ответ р=20%, тогда новый процент равен 60%.

3.Фермер получил кредит в банке под определённый процент годовых. Через год фермер в счёт погашения кредита вернул в банк 3/4 от всей суммы, которую он был должен банку к этому времени, а ещё через год счёт полного погашения кредита он внёс в банк сумму, на 21% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

Решение: Допустим фермер получил А рублей под р% годовых. Через год долг будет А(1+)руб. Т.к. фермер вернул долга, то осталось  А(1+). После 2-го года долг вырос на р% и стал А(1+)А(1+)= А(1+)2 .Теперь, чтобы погасить долг, фермер внес сумму на 21% большую, т.е. А(1+) и погасил кредит, т.е  А(1+)2 - А(1+)=0. Решив данное уравнение, получим р=120%.

II.   Решение задач  в общем виде, не подставляя первоначальные данные, так как можно запутаться в вычислениях.

4. В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%.  Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Решение: пусть первоначальный вклад составил А рублей и вкладчик ежегодно добавлял х рублей. К началу 2-года величина вклада составила А (1+)= 1,5А рублей;

К началу 3-года величина вклада составила (1,5А +х)1,5+х рублей;
К началу 4-года величина вклада составила ((1,5А +х)1,5+х)1,5+х  рублей;
К началу 5-года величина вклада составила (((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х    рублей;
К концу 5-года величина вклада  составила((((1,5А +х)1,5+х)1,5+х)1,5+х)1,5 рублей. По условию задачи размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725% , т.е стал А(1+).

Раскрыв скобки, получим следующее выражение:

()5А+()4х+()3х+()2х+()х=А=А

х=А

Отсюда, подставив вместо А=3900 тысяч, получим  х=210000.

III.Применение свойства степеней

5.За время хранения вклада в банке  проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере , затем , потом и, наконец,  в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад 
находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения  первоначальная сумма вклада увеличилась на . Определите срок хранения вклада.

Решение: Пусть первоначальная сумма вклада будет А рублей то через месяц эта сумма станет А(1+ )руб. Если ставку не менять, то сумма увеличится опять на 5% и станет А(1+ )2 и т.д. Пусть  первая ставка продержалась k, вторая - m, третья - n, последняя - t месяцев.

Тогда  сумма увеличилась в А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t  раз. И по истечении срока хранения  первоначальная сумма стала А (1+)

А(1+ )к(1+ )m(1+ )n(1+ )t= Применяя свойства степеней, получим  2 -3.3-1.50.72

приравнять показатели при одинаковых основаниях и решить систему:

Откуда k=m=1. n=3, t=2. Тогда срок хранения вклада  1+1+3+2=7 месяцев.

IV. Решение задач с помощью математического анализа

6.В январе 2000 года ставка по депозитам в банке «Возрождение» составляла х % годовых, тогда как в январе 2001 года — y % годовых, причем известно, что x+y=30%. В январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке «Возрождение», положив на него некоторую сумму. В январе 2001 года, по прошествии года с того момента, вкладчик снял со счета пятую часть этой суммы. Укажите значение x при котором сумма на счету вкладчика в январе 2002 года станет максимально возможной.

Решение:Пусть в январе 2000 года вкладчик открыл счет в банке на сумму А руб. Тогда через год при х % годовых на счету окажется сумма А (1 +) руб.

Далее вкладчик снимает со счета пятую часть первоначальной суммы. То есть на счету оказывается  сумма . В банке меняется процентная ставка и составляет теперь  у %, т.е (30-х)%. Тогда еще через год у вкладчика на счету окажется  Нас интересует значение х, при котором значение  f(x) = будет максимальным. Исследуем данную функцию методами математического анализа.

f/(x)=0  при

или  Максимальное значение функция f(x) примет в точке х0  (вершина параболы), то есть в точке  =25.

Ответ: 25%.

V. Задачи на сравнение.

7.В конце августа 2001 года администрация Приморского края располагала некой суммой денег, которую предполагалось направить на пополнение нефтяных запасов края. Надеясь на изменение конъюнктуры рынка, руководство края, отсрочив закупку нефти, положила эту сумму 1 сентября 2001 года в банк. Далее известно, что сумма вклада в банке увеличивалась первого числа каждого месяца на 26% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца, а цена баррели сырой нефти убывала на 10% ежемесячно. На сколько процентов больше (от первоначального объема закупок) руководство края смогло пополнить нефтяные запасы края, сняв 1 ноября 2001 года всю сумму, полученную из банка вместе с процентами, и направив ее на закупку нефти?

Решение:

Тогда сумма увеличится в  =1,96 , т.е. на 96%

Ответ: на 96%.

Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.