Программа элективного курса повышенного уровня «Задачи на проценты»
элективный курс по алгебре (10 класс)

        Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

               « Средняя общеобразовательная школа»  пгт.Ярославский.

                         Хорольского муниципального района

                                     Тема: « Задачи на проценты».

Программа элективного курса повышенного уровня, направленная на углубленное изучение решения задач на процентные расчеты, не входящие в обязательную программу школьного курса для 10- 11 классов.

                                   Составитель: Адаменко Екатерина Федоровна

                                                        учитель математики

                                                        стаж работы 40 лет

                                           2020

                                    Структура программы.

            Программа является обучающей и содержит:

• Пояснительную записку.
• Цели  и задачи курса
• Содержание курса
• Примерное тематическое планирование
• Требования к умениям и навыкам
• Методические рекомендации
• Литературу
• Приложения

                                Пояснительная записка

    Проценты – одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Понимание процентов и умение производить процентные расчеты в настоящее время необходимо каждому человеку, это способствует «вхождению» в современную информационно-экономическую среду и, в конечном счете, облегчает социализацию. 
  Элективный курс  рассчитан на 1 час в неделю, всего 17 часов. Реализация программы осуществляется за счет часов, отводимых на выполнение школьного компонента.
Изучение темы « Проценты»  проводится на первом этапе основной школы, когда учащиеся в силу возрастных особенностей еще не могут получить полноценные представления о процентах, об их роли в повседневной жизни. На последующих этапах обучения повторного обращения к этой теме не предусматривается. Во многих школьных учебниках можно встретить задачи на проценты, однако в них отсутствует компактное и четкое изложение соответствующей теории

 Текстовые задачи включенные в контрольно измерительные тесты ОГЭ и ЕГЭ содержат задачи на проценты  (на процентное изменение первоначальной величины, на высушивание, выпаривание, разбавление, очищение от примесей, на соединения сплавов, растворов и др). С 2015 года в ЕГЭ по математике  под № 17 добавилась экономическая задача на кредиты и вклады, расчета дохода. Решение этой задачи вызывает затруднение у выпускников, так как требует знание ключевых формул и своеобразного подхода, которые не предусмотрены школьной программой.

При изучении данного элективного курса   учащиеся систематизируют знания и умения по теме «Проценты», полученные в основной школе и углубят их, познакомившись с различными способами решения задач, не входящих в школьную программу, решают задачи с практической ориентацией;  олимпиадные задачи  и задачи из материалов ЕГЭ. 

Цель курса:

- сформировать понимание необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни;

- способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности и необходимых человеку для жизни в современном обществе, для общей социальной ориентации и решения практических проблем.

Задачи курса:

- сформировать умения производить процентные вычисления, необходимые для применения в практической деятельности;

- решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

- привить учащимся основы экономической грамотности;

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

-научить школьников работать, в том числе самостоятельно собирая и обрабатывая большие объемы информации:

- помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, подготовить учащихся к ЕГЭ

                                          Содержание курса.

Тема 1. Проценты. Основные задачи на проценты (1 час)

Сообщается история появления процентов; устраняться пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: а) нахождение процента от числа (величины); б) нахождение числа по его проценту; в) нахождение процента  одного числа от другого. Актуализируются решение задач об арифметических и алгебраических приемах решения задач. Метод обучения: лекция, беседа, объяснение. Форма контроля: проверка самостоятельно решенных задач, самостоятельная работа.

Тема 2. Задачи на смеси, сплавы, концентрацию. (5 часов)

Усвоение учащимися понятий концентрации вещества, процентного раствора. Формирование умения работать с законом сохранения массы. Обобщение полученных знаний при решении задач на проценты. Форма занятий:  комбинированные занятия. Метод обучения: рассказ, объяснение,  выполнение практических заданий. Форма контроля: самостоятельная, проверочная работы.

Тема 3. Процентные расчеты в жизненных ситуациях. (3 часа).

Показ широты применения процентных расчетов. Введение базовых понятий экономики: процент прибыли, стоимость товара, заработная плата, бюджетный дефицит и профицит, изменение тарифов, пеня и др. Решение задач, связанных с банковскими расчетами: вычисление ставок процентов в банках; процентный прирост; определение начальных вкладов, Сложные проценты

Тема 4 Экономические задачи 8 часов. Способы решения задач на расчеты доходов, на кредит, вклады . Решения задач №17 ЕГЭ. Выполнение тренировочных упражнений. Форма занятий: объяснение, практическая работа. Методы обучения: выполнение тренировочных задач. Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач

                            Примерное тематическое планирование

В результате изучения курса учащиеся должны:

- знать широту применения вычислений процентных вычислений в жизни,

-решать основные задачи на проценты, применять формулу сложных процентов;

-производить прикидку и оценку результатов вычислений;

-при вычислениях, использовать приемы, рационализирующие вычисления.

-уметь решать задачи из КИМов  ЕГЭ  под номером №17;                                                ---применять полученные математические знания в решении жизненных задач; 
-уметь использовать дополнительную математическую литературу.;
-использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
-анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
-решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и химических

-самостоятельной работы с источниками информации, обобщения и систематизации ----полученной информации, интегрирования ее в личный опыт;                                                    -выполнения расчетов практического характера.

Методические рекомендации.

Учащиеся развивают и углубляют общеучебные навыки и умения за счет: решения дополнительных задач (на процентное содержание, процентный раствор и концентрацию); новых способов их решения (уравнение, система уравнений, геометрически, старинный способ); решения задач с практической ориентацией; решения олимпиадных задач и из материалов ЕГЭ и вступительных экзаменов в ВУЗы. 

Обучение учащихся осуществляется через практическую, самостоятельную или групповую деятельность учащихся, через выявление, актуализацию и обогащение их собственного опыта в сотрудничестве с другими учащимися и учителем. В конце изучения курса учащиеся представляют свой проект по выбранной ими теме. Они самостоятельно определяют для себя, его цели и задачи. Одни из них собирают предложения магазинов и банков, просчитывают реальные суммы, выраженные в рублях, а затем, анализируя результаты, выбирают наиболее для них выгодные. Другие рассматривают конкретные задачи, которые предлагаются на уроках химии, физики или экономики. В проекте должны быть 

• 
  теоретическая часть, в которой отражены основные знания и умения по теме «Проценты»;
• 
  различные материалы по теме проекта «Кредит, ссуда или сберегательный вклад?», «Проценты на уроках …» и др.: выполненные расчеты по предложениям магазинов и банков, анализ полученных результатов, выбор наиболее выгодных предложений и т.д.

Учащиеся оформляют проекты, представляют их, учатся при этом обоснованно и рационально излагать свои мысли, вырабатывают умение слушать товарищей, дополнять и комментировать их ответы. Решение практических задач позволит учащимся применить в новых ситуациях известные приемы, установить связь между изученным материалом и окружающей реальностью. При этом в будущем, любой ученик свободно сможет воспользоваться, полученными знаниями и навыками, подобных расчетов, что, безусловно, будет полезно в его дальнейшей жизни..

Таким образом, создаются условия для активизации познавательного интереса, и учащиеся становятся активными участниками происходящих вокруг них жизненных событий, осмысливают материал курса и целенаправленно смогут применить полученные знания, умения и навыки в практической деятельности. Изучение курса поможет учащимся соотнести свои индивидуальные возможности, интересы с особенностями, современными требованиями предмета математики и, далее, определиться в выборе профиля обучения.

Литература.

Список литературы для учащихся

 1. Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994 Дорофеев, Г. В., Седова, Е. А. Процентные вычисления. 10-11 классы: учеб.-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2003. – 144 с. 2. Денищева, Л. О., Бойченко, Е. М., Глазков, Ю. А. и др. Готовимся к единому государственному экзамену. Математика. – М.: Дрофа, 2003. -120 с.

 3. Егерев, В. К. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы / под ред. М. И. Сканави. – М.: “Оникс – 21 век” 2003.

 4. Шевкин, А. В. Текстовые задачи. – М.: Просвещение, 1997. – 112 с.

 5. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005

 6. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996

Список литературы для учителя 

1. Винокурова Е., Винокуров Н. Экономика в задачах. – М, 1998

 2. Денищева Л.О. Единый государственный экзамен: Математика. – М.: Просвещение, 2003-2009

3. Звавич Л.И., Аверьянов Д.И., Пигарев Б.П., Трушанина Т.Н. Задания для проведения письменного экзамена по математике в 9-м классе. – М.: Просвещение, 1994

 4. Корешкова Т.А. Тестовые задания по математике. – М.: Экзамен, 2005

5. Макарычев Ю.Н. Дополнительные главы к школьному учебнику. – М.: Просвещение, 1996

6. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы / П.И. Алтынов, Л.И. Звавич, А.И. Медяник и др. – М.: Дрофа, 1999

7. Петрова И.Н. Проценты на все случаи жизни. – Челябинск, 1996

8. Сборник задач по математике для поступающих в вузы / Под редакцией А.Н. Приленко. – М.: Высшая школа, 1989

9. Симонов А.С. Экономика на уроках математики. – М: Школа-Пресс, 1999

10. Усов Н.А. Повторим математику. – Киев, 1994

11. Цыпкин А.Г., Пинский А.Н. Справочник по методам решения задач по математике для средней школы. – М.: Наука, 1989

 12. Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: Решение задач. – М.: Просвещение, 1994

13. Вигдорчик, Е., Нежданова, Т. Элементарная математика в экономике и бизнесе. – М., 1997.

 14. Глейзер, Г. И. История математики в школе (4-6 кл.): пособие для учителей. – М.:.

15. И. Н. Петрова. “Проценты на все случаи жизни”. Челябинск. Южно-Уральское книжное издательство. 1996.

 16. Математика – подготовка к ЕГЭ. Учебно-тренировочные тематические тестовые задания. Ч.2. Волгоград. Издательство “Учитель”. 2003. стр.63 “Задачи на проценты”.

                                 Приложение

Занятие № 1.

Решение задач по математике на применение основных понятий о процентах.

Решение задач этого типа тесно связано с тремя алгоритмами:

• нахождение процента от числа,
• нахождение числа по его проценту,
• нахождение процентного отношения.

Один процент – это одна сотая доля числа. Математическими знаками один процент записывается так: 1%.                                                                                                            Определение одного процента можно записать равенством: 1 % = 0,01 • а                              5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 и т. д.                                                                                                 Как найти 1% от числа?                                                                                                                     Раз 1% это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01. А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.                Пример. Найти: 25% от 120.                                                                                                      Решение                                                                                                                                                  25% = 0,25;      1)120 . 0,25 = 30.        Ответ: 30.

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Пример. Токарь вытачивал за час 40 деталей. Применив резец из более прочной стали, он стал вытачивать на 10 деталей в час больше. На сколько процентов повысилась производительность труда токаря?                                                                Решение:                                                                                                                                          Чтобы решить эту задачу, надо узнать, сколько, процентов составляют 10 деталей от 40. Для этого найдем сначала, какую часть составляет число 10 от числа 40. Мы знаем, что нужно разделить 10 на 40. Получится 0,25. А теперь запишем в процентах – 25%.              Ответ: производительность труда токаря повысилась на 25%.

Правило 2. Чтобы найти, сколько процентов одно число составляет от другого, нужно разделить первое число на второе и полученную дробь записать в виде процентов.

Пример. При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?                                           Решение: 66 : 60 = 1,1 - такую часть составляют изготовленные автомобили от количества автомобилей по плану. Запишем в процентах =110%.                                                                 Ответ: 110%.

Пример. Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?                      Решение:                                                                                                                                                       1).6+ 34 =40 (кг) – масса всего сплава.  2).34 : 40 = 0,85 = 85 (%) – сплава составляет медь. Ответ: 85%.

Пример. Слонёнок за весну похудел на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень опять похудел на 20% и за зиму прибавил в весе на 10%. Остался ли за этот год его вес прежним? Если изменился, то на сколько процентов и в какую сторону?              Решение:1).100 – 20 = 80 (%) – после весны.                                                                                                     2).80 + 80 • 0,3 = 104 (%) – после лета.                                                                                               3)104 – 104 • 0,2 = 83,2 (%) – после осени.                                                                                      4).83,2 + 83,2 • 0,1 = 91,52 (%) – после зимы.                                                                                 Ответ: похудел на 8,48%.

Пример. Оставили на хранение 20 кг крыжовника, ягоды которого содержат 99% воды. Содержание воды в ягодах уменьшилось до 98%. Сколько крыжовника получится в результате?                                                                                                          Решение:

• 100 – 99 = 1 (%) = 0,01 – доля сухого вещества в крыжовнике сначала.
• 20 • 0,01 = 0,2 (кг) – сухого вещества.
• 100 – 98 = 2 (%) = 0,02 – доля сухого вещества в крыжовнике после хранения.
• 0,2 : 0,02 = 10 (кг) – стало крыжовника.                                                                            Ответ: 10 кг.

Пример. Что произойдет с ценой товара, если сначала ее повысить на 25%, а потом понизить на 25%?                                                                                                                        Решение:                                                                                                                                           Пусть цена товара х руб., тогда после повышения товар стоит 125% прежней цены, т.е. 1,25х, а после понижения на 25% , его стоимость составляет 75% или 0, 75 от повышенной цены, т.е.     0,75 •1,25х= 0,9375х,    тогда цена товара понизилась на 6, 25 %, т.к.                         х - 0,9375х = 0,0625х;
0,0625 • 100% = 6,25%                                                                                                                    Ответ: первоначальная цена товара снизилась на 6,25%.

Правило 3. Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (А : В) • 100%.

Пример. Найти число, если 15% его равны 30.                                                                        Решение:1.)15% = 0,15;      2.) 30 : 0,15 = 200.                                                                                    Или                                                                                                                                                                        х - данное число;
0,15 • х = 300;
х = 200.                                                Ответ: 200.

Пример. Из хлопка-сырца получается 24% волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480кг волокна?                                                                                               Решение:                                                                                                                                     Запишем 24% десятичной дробью 0,24 и получим задачу о нахождении числа по известной ему части (дроби).
480 : 0,24= 2000 кг = 2 т                         Ответ: 2 т.

Пример. Сколько кг белых грибов надо собрать для получения 1 кг сушеных, если при обработке свежих грибов остается 50% их массы, а при сушке остается 10% массы обработанных грибов?

Решение:                                                                                                                                                  1 кг сушеных грибов – это 10% или 0, 01 часть обработанных, т.е.
1 кг : 0,1=10 кг обработанных грибов, что составляет 50% или 0,5 собранных грибов, т.е.
10 кг : 0,05=20 кг.                                                                                                                             Ответ: 20 кг.

Пример. Свежие грибы содержали по массе 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?                                                                                   Решение:                                                                                                                                                 1.) 22 • 0,1 = 2,2 (кг) - грибов по массе в свежих грибах; (0,1 это 10% сухого вещества); 2.)2,2 : 0,88 = 2,5 (кг) - сухих грибов, получаемых из свежих (количество сухого вещества не изменилось, но изменилось его процентное содержание в грибах и теперь 2,2 кг это 88% или 0,88 сухих грибов).                    Ответ: 2,5 кг.

Правило 4. Чтобы найти число по данным его процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов разделить на эту дробь.

При решении задач  по теме «Задачи на смеси, сплавы, концентрацию» не обходимы следующие понятия (обозначения):                                                                                                                 «всего»- общий вес., объем, масса, количество данной величины;.                                                   « концентрация»- величина, составляющая сотую часть числа процентов вещества, содержащегося в сплаве, растворе:                                                                                   «компонент» - вес, объем, масса вещества, содержащегося в сплаве, растворе:                                Для решения задач этого типа следует помнить, что :                                                                       1) вода, примеси, нейтральные вещества не являются компонентом вычисляется: 100% - k%   воды, примесей;                                                                                                                              2.) количество компонента не меняется, если прибавлять или отнимать воду, примеси, нейтральное, нейтральное вещество.

Занятие №2

Решение задач на высушивание, выпаривание, разбавление, очищение от примесей

Удобно запомнить, как вычисляются величины, стоящие в столбиках « всего», «компонент», « концентрация»

Чтобы найти «всего», необходимо «компонент» разделить на «концентрацию». Чтобы найти «концентрацию», необходимо «компонент» разделить на «всего». Чтобы найти «компонент», нужно «всего» умножить на « концентрацию»

Задачи по данной теме

№1. Кусок сплава меди и цинка массой 12 кг содержит 45% меди. Какую

 массу чистого цинка надо добавить к этому куску, чтобы получить сплав, содержащий40%.?

Выполним действия и внесем данные в таблицу.

 1) 12*0.45=5,4, в столбце « компонент» эта величина не изменится;                                      2)х*0=0; 3) 12+х=12+х.  Так как неизвестное стоит в столбце «всего», а этот столбец находится: «компонент» делить на «концентрацию» , то уравнение5,4:0,4=12+х,              13,5= 12+х, х= 13,5-12=1,5.        Ответ: вес добавленного цинка 1,5 кг

№2. Морская вода содержит5% (по весу) соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 40 кг морской воды, чтобы концентрация соли в последней стала 2% ?

Ответ: 60 кг

№3. Свежие грибы содержат по массе 90% воды, а сухие 12% воды. Сколько получится сухих из 22 кг свежих?

Ответ: 2,5 кг

  №4 Свежие фрукты содержат 72% воды, а сухие 20% воды. Сколько сухих получится из 20 кг свежих?                                                                                                                             Ответ: 7 кг

№5  Руда содержит 40% примесей, а выплавленный  из нее металл содержит 4% примесей. Сколько получится металла из 24 тонн руды.?

Ответ: 15 тонн.

       №6  Из 38 тонн сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки

         получается 30т сырья первого сорта. Какой процент примесей в сырье первого сорта?                                                  

    Ответ: 5%

        №7. В результате очистки сырья количество примесей в нем уменьшилось от 20% в          

        исходном сырье до 5% в очищенном. Сколько нужно взять исходного сырья, чтобы

         получилось 160 кг очищенного?

                             Ответ: 190 кг

       №8. При выпаривании из 8 кг рассола получили 2 кг пищевой соли, содержащей 10%  

        воды. Каков процент содержания воды в рассоле?

                    Ответ 77,5%

      №9. Сколько кг воды нужно выпарить из 0,5 тонны  целлюлозной массы, содержащей  

        85% воды, чтобы получить массу, содержащую 75%?

                   Ответ 200кг

        №10 Грибы при сушке теряют 80% своего веса . Сколько нужно взять свежих грибов,                            

           чтобы получился 1 кг сушенных?

                      Ответ 5 кг

Занятие №3

Задачи на соединения сплавов, растворов.

№1.Смешали 30г процентный раствор соляной кислоты с 10% раствором той же кислоты и получили 600 г 15% раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение:

Внесем в таблицу данные и обозначим переменные по условию задачи.

Система уравнений составляется по колонкам, содержащим неизвестные и по последней строчке.

х+у= 600

6000*0,15=0,3х+0,1у. решив систему, получаем х= 150, у= 450.

Ответ 450 кг

№2  Имеется лом стали двух сортов с содержанием никеля 5% и 40%. Сколько нужно взять металла каждого сорта. Чтобы получить 140 тонн стали с содержанием никеля30%?

                Ответ лома с 5% содержанием нужно взять 40т, с 40% – 100т

№3  Кусок сплава меди с цинком массой 36 кг содержит 45% меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав  содержал 605 меди?

                Ответ 13,5 кг

№4.Имеется два слитка сплавов меди и олова. Первый весит 3 кг и содержит 40% меди, второй весит 7 кг и содержит 30% меди. Какого веса нужно взять куски этих сплавов, чтобы получить 8 кг сплава с содержанием меди 35%?

             Ответ: каждого сплава нужно взять по 4 кг, а это невозможно - первого сплава есть  всего 3 кг..

№5. В первом сосуде 4 литра 70 % раствора серной кислоты, а второй 3 литра 90% раствора той же кислоты. Сколько литров нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом получился 75%раствор кислоты?

                                 Ответ 4/3 л

Занятие № 4

           Задачи, в условиях которых сплавы и растворы соединяются двумя способами      

№1 Имеется два раствора  поваренной соли разной концентрации. Если слить вместе 100г первого раствора и 200 г второго раствора, то получится 50% раствор, если же слить 300г первого и 200г второго. То получится 42% раствор. Определить концентрации данных растворов.

Выполнение действий показаны в таблице, а система уравнений составляется по последним строкам обеих таблиц

0.5(100+200)=100х=200у

).42(300+200)= 300х+200у, решая систему , получаем х=0,3,  у=0,6

Ответ: первый раствор имеет концентрацию 30%, второй 60%

№2 Имеется два сосуда, содержащие 8  и 12 кг кислотного раствора разной концентрации. Если их слить вместе, то получится 35% раствор кислоты. Если же слить равные веса этих растворов, то получится 365 раствор. Сколько кг кислоты было в каждом сосуде?

             Ответ: 3,28кг, 3,72 кг

№3 От двух кусков сплавов разной массы и разным процентным содержанием меди отрезали по равному куску и сплавили с остатком другого куска, после чего процентное содержание меди в обоих кусках стало одинаковым. Сколько весил каждый из отрезанных кусков, если первоначальная масса сплавов была 6 и 12 кг.?

    Ответ масса отрезанного куска 4 кг

№4  В емкость вылили некоторое количество 40% раствора и добавили некоторое количество 65% раствора. После этого в емкость вылили 5 кг чистой воды и получили 20% раствор. Если бы вместо воды добавили 5кг  80% раствора того же вещества, то получился бы 70% раствор. Сколько 40% и сколько 65% раствора вылили в емкость?

                              Ответ: 40% раствора взято 1,4 кг и 65% - 1,6 кг

№5. Известно, что в первой емкости находится сахарный сироп, в котором отношение сахара к воде соответствует 1:2. Во второй емкости соотношение сахара к воде равно 2:3. Из скольких  частей этих сиропов можно получить новый, где отношение сахара к воде будет 17:27?

                                        Ответ: 1сиропа взять 9 частей, 2-го 35 частей

 Занятие 7

Задачи, в  условиях которых изменяется концентрация раствора добавлением или отливанием различных веществ

№1. Из сосуда, вмещающего 20 литров спирта, отлили некоторое количество и добавили воды. Затем снова отлили столько же  и снова добавили воды. Сколько литров отливали каждый раз, если в сосуде осталось 5 литров чистого  спирта?

При решении задач такого типа не изменяется ни обозначение, но правила вычислений, приведенные вначале. Необходимо помнить, что откачать, отлить можно только то, что имеется в сосуде. Колонки « всего» и « компонент» считаются алгебраическим сложением, и колонку «концентрация»- делением» компонент» на « всего».  При этом необходимо заполнить строку, которая выражает результат действия и следующие

 действия выполнить от этой строки.

Так как по условию известно, что «компонент» (спирта) осталось в результате этих действий 5 л, то уравнение    (120-х)2:20=5,    х=10

                         Ответ: каждый раз отливали 10 л

№2 Сосуд объемом 8 литров наполнен воздухом, содержащим 165 кислорода. Откачали некоторое количество и столько же добавили азота. В итоге содержание кислорода стало 9%. Сколько литров откачали?

                                   Ответ из сосуда откачали 3,5 л воздуха.

№ 3. В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть отлили и в сосуд добавили воды. Затем снова отлили столько же и снова добавили воды. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде осталось 25% концентрация соляной кислоты.

                                                              Ответ: отливали по 6 л жидкости.

№4. В сосуде емкостью 8 литров находится 16% раствор спирта. Из этого сосуда отливают некоторое количество спирта и доливают сосуд с водой. После чего опять отливают такое же количество раствора и снова доливают водой. В новой смеси спирта оказалось 9%. Сколько литров жидкости отливали каждый раз?

                                                    Ответ каждый раз отливали 2 л жидкости

№ 5. Из сосуда,  наполненного 96% раствором кислоты, отлили 2,5 литра и добавили в сосуд 80% раствор той же кислоты. Затем еще раз отлили столько же и снова долили 2,5 литра 80% раствором. После этого в сосуде получился 89% раствор кислоты. Определите вместимость сосуда.

                                                                 Ответ:  вместимость сосуда 10 л

Занятие 6. Задачи, в условиях которых происходит переливание из одного сосуда в другой.

Схема решения этих задач не меняется, но для решения составляется две таблицы. При этом , если из одного сосуда переливается во второй, то  в таблице будут присутствовать две одинаковые строки, только в одном случае производится  вычитание( когда отливают),а в другом- сложение. Уравнения составляются по двум таблицам

№1 Сосуд объемом 20 литров наполнили спиртом. Из него выливают некоторое количество в другой сосуд такого же объема и дополняют его спиртом доверху водой. За тем этой смесью доливают доверху первый сосуд и переливают из первого во второй 6 литра получившейся смеси. Сколько спирта было  отлито первоначально, если количество спирта в обоих сосудах стало одинаковым?

Обе таблицы составляются параллельно. 6 =, кроме того, в таблицах нас  не будет интересовать количество « компонента».

1 таблица по первому сосуду:

2 таблица по второму сосуду

По условию задачи в обоих сосудах спирта ( «компонента») стало одинаково, то составим уравнение

     ( 20- х+х2/20   )=   х- х2/20 +      *( 20-х+ х2/20)

Ответ первоначально отлили 10 литров спирта.

№2 Сосуд емкостью 12 литров заполнен кислотой. Часть кислоты отлили в другой сосуд такого же объема и дополнили его доверху водой. Затем этой смесью доливают доверху первый сосуд и переливают из первого во второй 4 литра смеси. В результате этих операций количество кислоты в обоих сосудах стало одинаковым, сколько отлила первоначально?

                                          Ответ: отлили первоначально 6 литров кислоты.

№3. Имеется две бочки бензина разной цены объемами 180 и 220 литров. Одновременно из обеих бочек отлили равное количество бензина, и бензин, взятый из первой бочки, перелили во вторую, а из второй - перелили в первую. После этого цены бензина в обеих бочках стала одинаковой. Сколько перелили?

                          Ответ: из бочек отлили 99 литров

№4. В сосуде А имеется х литров некоторой  жидкости, а в сосуде В такое же количество воды. Двумя кружками емкостью по 0,5 литра каждая  одновременно набирают из сосудов содержание и переливают из сосуда Аи В и наоборот. Затем эту операцию повторяют. Определить вместимость сосудов, если известно, что после двух переливаний в сосуде А концентрация раствора составил 90.5%.?                                                                                                                                                                                                       Ответ: вместимость сосудов 10 литров

№5. Для приготовления смесей из двух жидкостей Аи В было взято 16 литров жидкости А и разлито в два сосуда объемом по 16 литров каждый. Затем первый сосуд был доверху дополнен жидкостью В и произведено перемешивание. Полученной смесью был доверху дополнен второй сосуд. Если отлить из второго в первый сосуд 8 литров получившейся смеси, то в первом сосуде будет жидкости А на 3 литра больше, чем во втором сосуде. Сколько литров жидкости В было использовано для приготовления смеси?

                Ответ: жидкости В взято 4 литра

Занятие 7 Сложные проценты

В задачах на банковские расчёты обычно встречаются простые и сложные проценты. В чём же состоит разница простого и сложного процентного роста? При простом росте процент каждый раз исчисляется, исходя из начального значения, а при сложном росте он исчисляется из предыдущего значения. При простом росте 100% – начальная сумма, а при сложном 100% каждый раз новые и равны предыдущему значению.

Пример. Банк платит доход в размере 4% в месяц от величины вклада. На счет положили 300 тысяч рублей, доход начисляют каждый месяц. Вычислите величину вклада через 3 месяца.                                                                                                                       Решение:                                                                                                                                                            100 + 4 = 104 (%) = 1,04 – доля увеличения вклада по сравнению с предыдущим месяцем. 300 • 1,04 = 312 (тыс. р) – величина вклада через 1 месяц.                                                            312 • 1,04 = 324,48 (тыс. р) – величина вклада через 2 месяца.                                                324,48 • 1,04 = 337,4592 (тыс. р) = 337 459,2 (р)-величина вклада через 3 месяца.                        Или можно пункты 2-4 заменить одним, повторив с детьми понятие степени: 300•1,043 =337,4592(тыс. р) = 337 459,2 (р) – величина вклада через 3 месяца.                                      Ответ: 337 459,2 рубля

Пример. Вася прочитал в газете, что за последние 3 месяца цены на продукты питания росли в среднем на 10% за каждый месяц. На сколько процентов выросли цены за 3 месяца?

Пример. Деньги, вложенные в акции известной фирмы, приносят ежегодно 20% дохода. Через сколько лет вложенная сумма удвоится?

Рассмотрим подобного плана задачи на конкретных примерах.

Пример. (Вариант 1 № 1. ЕГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Спортивный магазин проводит акцию. Любой джемпер стоит 400 рублей. При покупке двух джемперов – скидка на второй джемпер 75%. Сколько рублей придется заплатить за покупку двух джемперов в период акции?                                                     Решение:                                                                                                                                      Согласно условию задачи получается, что первый джемпер покупается за 100 % его исходной стоимости, а второй за 100 – 75 = 25 (%), т.е. всего покупатель должен заплатить 100 + 25 = 125 (%) от исходной стоимости. Далее можно рассмотреть решение тремя способами.                                                                                                                                           1 способ.                                                                                                                                               400 рублей принимаем за 100 %. Тогда в 1% содержится 400 : 100 = 4 (руб.), а в 125 %
4 • 125 = 500 (руб.)                                                                                                                                   2 способ.                                                                                                                                          Процент от числа находится умножением числа на дробь, соответствующую проценту или умножением числа на данный процент и делением на 100.
400 • 1,25 = 500 или 400 • 125/100 = 500                                                                                         3 способ.                                                                                                                             Применение свойства пропорции:
400 руб. – 100 %
х руб. – 125 %, получим х = 125 • 400 / 100 = 500 (руб.)                                                         Ответ: 500 рублей.

Пример. (Вариант 4 № 1 ЕГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 -80с)

Средний вес мальчиков того же возраста, что и Гоша, равен 57 кг. Вес Гоши составляет 150 % среднего веса. Сколько килограммов весит Гоша?                                 Решение:                                                                                                                                      Аналогично примеру, рассмотренному выше можно составить пропорцию:                                         57 кг – 100 %
х кг – 150 %, получим х = 57 • 150 / 100 = 85,5 (кг)      Ответ: 85,5 кг.

Пример. (Вариант 7 № 1 ЕГЭ -2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

После уценки телевизора его новая цена составила 0,52 старой. На сколько процентов уменьшилась цена в результате уценки?                                                                              Решение:                                                                                                                                                  1 способ.                                                                                                                                          Найдем сначала долю уменьшения цены. Если исходную цену принять за 1, то 1 – 0,52 = 0,48 составляет доля уменьшения цены. Тогда получаем, 0,48 • 100 % = 48 %. Т.е. на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.                                                                                               2 способ.                                                                                                                                             Если исходную стоимость принять за А, то после уценки новая цена телевизора будет равняться 0,52А, т.е. она уменьшится на А – 0,52А = 0,48А.                                             Составим пропорцию:
А – 100%
0,48А – х %, получим х = 0,48А • 100 / А = 48 (%).                                                                  Ответ: на 48 % уменьшилась цена в результате уценки.

Пример. (Вариант 9 № 1  ЕГЭ-2016. Математика. Тип. тест. задания_ред. Ященко_2016 - 80с)

Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал стоить 680 рублей. Сколько рублей стоил товар до распродажи?                                                                                     Решение:                                                                                                                                                  До понижения цены товар стоил 100%. Цена на товар после распродажи уменьшилась на 15%, т.е. стала 100 – 15 = 85 (%), в рублях эта величина равна 680 рублей.                                    1 способ.                                                                                                                                                   680 : 85 = 8 (руб.) – в 1%
8 • 100 = 800 (руб.) – стоил товар до распродажи.                                                                                     2 способ.                                                                                                                                               Это задача на нахождение числа по его проценту, решается делением числа на соответствующий ему процент и путем обращения полученной дроби в проценты, умножением на 100, или действием деления на дробь, полученную при переводе из процентов.
680 : 85 • 100 = 800 (руб.) или 680 : 0,85 = 800 (руб.)                                                                         3 способ.                                                                                                                                                 С помощью пропорции:
680 руб. – 85 %
х руб. – 100 %, получим х = 680 • 100 / 85 = 800 (руб.)                                                               Ответ: 800 рублей стоил товар до распродажи.

Занятие 8 Формулы сложных процентов

Формулы сложных процентов (цена, банк, рост населения и т. д.)

 а) Пусть некоторая начальная величина Ап увеличивается (уменьшается) на Р % n раз. Тогда конечное значение Ак находится по формуле Ак = Ап (1± )п  или

 Ак = Ап (1±0,01 Р ) п 

б) Пусть некоторая начальная величина Ап увеличивается (уменьшается) на Р1 %,

Р2 %,…Рn %, тогда Ак = Ап (1± )(1± )…(1± )  или Ак = Ап (1±0,01 Р1 )( 1±0,01 Р2)

(1±0,01 Р3)…( 1±0,01 Рп)

в) Пусть некоторая начальная величина Ап увеличивается (уменьшается) до значения Ак, тогда общий Р% изменения: Р% = ( - 1)*100% (прирост);  Р% = (1 –  )*100% (снижение) Примеры:

 Задач № 1.Цена товара после последовательных двух понижений на один и тот же

процент уменьшилась со 125 рублей до 80 рублей. На сколько процентов цена снижалась каждый раз? Решение: Ак = 80, Ан = 125, n = 2. Р -? Ак = Ан (1- 0,01Р ) 80 = 125(1-0,01Р ) Ответ: Р = 20%

Задача №2. Цену товара снизили сначала на 20 %, потом на 5 % и ещё на 10 %. На сколько снизили цену? Решение: = (1-0,2)(1-0,1)(1-0,05) = 0,684 Р = (1-0,684)*100% = 31,6% Ответ: Р = 31,6%

Задача №3. В банк поместили  некоторую сумму и через два года она выросла на 512,5 рублей. Сколько денег положили в банк, если вкладчикам выплачивается 5% годовых? Решение: Ак = Ан +512,5 = (1+0,05) Ответ: Ан = 5000

Задача №4. Предприятие работало два года. В первый год выработка возросла на Р %, во второй на 10% больше, чем в первый. Определить на сколько процентов увеличилась выработка за второй год, если за два года она увеличилась на 48,59 %. Ответ: за второй год выработка увеличилась на 27%

Задача№ 5. Сберкасса начисляет 3% от суммы вклада. Через сколько лет сумма удвоится? Решение: Ак = 2Ан 2 Ан / Ан = (1+0,03) n Ответ: n 23 год

Задачи №6. . Стоимость товара снизили на 25%, а затем ещё на 5 %. Сколько % от первоначальной стоимости составит окончательная стоимость товара? На сколько % снижена, в общем, стоимость товара?

Решение = (1- 0,125)(1- 0,05) = 0,836 0,836 * 100% = 83,6% Р = (1 - 0,836)·100% = 16,4% Ответ: 16,4%

Задача№7. Некоторое число уменьшили на 25 %. На сколько процентов нужно увеличить получившееся число, чтобы получить первоначальное?

 Решение (1 - 0,25)(1 + 0,01Ро) = 1 1 + 0,01P = 1: 0,75; 0,01P = ; P = 33,3.

 Ответ: 33,3.

Занятие 9 Решение задач на сложные проценты

Задача№ 8. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его периметр увеличить на 10 %?

Решение P = 4а P = 4,4a x - сторона х = 1,1а S = a S = 1,21a 1,21 *100% = 121%; 121% - 100% = 21%;

 Ответ: 21%;8

Задача №9. На сколько процентов изменится площадь прямоугольника, если длина его увеличится на 30 %, а ширина уменьшится на 30 %?

 Решение = 1,3*0,7 = 0,91 P% = (1 - 0,91)*100% = 9%.

 Oтвет: 9%.

Задача № 10. Цену на пылесос снизили на 10%. Он стоит сейчас 38,7 рублей. Сколько он стоил?

Решение 38,7 = Ан *0,9. Ан = 43.

 Ответ: 43 р.

Зада№11. Антикварный магазин купил две вазы за 360 рублей. Продав их, получил 25% прибыли. Наценка на первую вазу была 50 %, на вторую 12,5%. Найти новую цену ваз. Решение х = 120, у = 240, старая цена. 120*1,5 = 180; 240*1,125 = 270. новая цена. Ответ:180 р;270р.

Задача №12 . Рабочий положил в банк 5000 руб. В конце года положил ещё 5000 руб. Ещё через год получил прибыль 15200 руб. Сколько % в год начисляет банк?

Решение 10000 + 50Р - первый год (10000 + 50Р) + (10000 + 50Р)*0,01Р - второй год 50Р + (10000 + 50Р)*0,01Р = 15200, Р + 300Р – 30400 = 0, Р = 80%

. Ответ: Р=80%.

Задача№ 13. За пересылку денег на почте берут 2% от переводимой суммы. Какую наибольшую сумму можно перевести, имея 100 руб.?

 Решение Х + 0,02Х = 100, Х = 98,3руб.

Oтвет: 98,3

 Задача № 14 Пусть цены на товар снижались на 20%. На сколько % больше можно купить товара по сниженной цене на отведённую сумму?

 Решение Ак = Ан * 0,8 * 100% = = 0,259 Oтвет: 25%.

Задача № 15.Число 51,2 трижды увеличено на одно и то же число %, затем трижды увеличили на то же число % и получили 21,6. На сколько % увеличивали, а затем уменьшили число?

 Решение = (1+0,01P) *(1 - 0,01P) , = (1 - (0,01P) ) , 1 - (0,01P) = 3/4, 0,01P = 0,5 P = 50%. Oтвет: 50%.

 Задача № 16.Население города за 2 года увеличилось с 20000 до 22050 человек. Найти средний % прироста.

 Решение = (1 + 0,01P) 1,05 = 1 + 0,01P P = 5%.

Oтвет: 5%.

Задача№17.Зарплату повысили на Р %, затем ещё раз повысили на 2 Р %. В результате она увеличилась в 1,32 раза. На сколько % её увеличили во второй раз?

Решение 1,32 = (1+0,01P)*(1+0,02P) P = 10%, 2P = 20%.

 Oтвет: 10%, 20%.

Задача № 18.Цена некоторого товара поднялась на 25%, а потом ещё на 30 %. Другой товар поднялся в цене на 30% и стал по цене равным первому товару. Какова цена первого товара, если второй до повышения стоил 1,25 тыс. рублей?

 Решение Ан *1,25*1,3 = 1,25*1,3. Ан = 1000

 Oтвет: 1000.

Задача № 19.Антикварный магазин купил два предмета за 225 р. и продал их и получил прибыль 40, % причём первый дал прибыль 25 %, а второй 50 %. За сколько купили каждый товар?

 Решение х = 90, у = 135.10

 Ответ: 90,135.

Задача №  20.Цена на товар повысилась на 44 %, затем дважды понизилась на Р %. В результате цена оказалась меньше первой на 19 %. Найти Р %?

 Решение 1,44*(1-0,01P) = 0,81; P = 25%;

 Oтвет: 25%.

Задача № 21.После двух последующих повышений зарплата выросла в 1 Р. На сколько % повысилась зарплата в первый раз, если во второй она повысилась в процентном отношении вдвое?

Решение 1,875 = (1+0,01P)*(1+0,02P); P = 25%;

 Ответ: 25%.

Задача № 22.Выработки продукции за год работы предприятие выросло на 4 %, на следующий год на 8 %. Определить средний прирост? Общий прирост?

Решение = 1,04*1,08 = 1,1232; P = 112,32%, общий прирост 12,32% . = (1+0,01P) , P = 5,98% средний прирост

Ответ: 12,32%; 5,98%.

Задача № 23.В течение года завод увеличивал выпуск продукта на одно и то же число процентов. Ан = 600 изделий, Ак = 726 изделий. Р% =?

Решение = (1 + 0,01P) , P = 10%.

 Ответ: 10%.

Задача № 24.Некто за зиму поправился на 25 %. Весной похудел на 10 %, за лето прибавил 15 %, осенью похудел на 20 %. Похудел или поправился некто? На сколько %?

 Решение = 1,25*0,9*1,15*0,8 = 1,035 Р = 103,5 – 100 = 3,5%

Ответ: 3,5%11

Задача № 25.В начале года стало оленей составлять 3000 голов. В конце года купили 700 голов. В конце второго года в стаде было 4400 голов. Найти естественный % прироста. Решение a) 3000*0,01P = 30P прирост за первый год. (3700 + 30З)*0,01Р = 0,3Р + 37Р прирост за второй год. б) 4400 – 3000 – 700 = 700 общий прирост. 0,3Р + 67Р – 700 = 0, Р = 10%.

Ответ: 10%

Задача №. 26.Стоимость семидесяти экземпляров первого тома книги и 60-ти второго тома книги составили 230 р. В действительности за них уплатили191 р., так как сделали скидку на первый том 15 % и на второй 20 %. Какова была цена на каждый том?

Решение х = 2 у = 1,5.

Ответ: 2;1,5.

Задача № 27.Третий и четвертый кварталы предприятия повысило производительность труда на 50 %. На сколько % оно выпустило бы больше продукции за год, если бы повысили производительность со второго квартала.

 Решение Х + Х + 1,5Х + 1,5Х = 5Х - за год Х + 1,5Х + 1,5Х + 1,5Х = 5,5Х 5,5Х - 5Х = 0,5Х, *100% = 10%.

 Ответ: 10%.

Задача № 28.Определить ежегодный прирост населения, если за 2 года оно удвоилось. Решение 2 = (1+0,01Р) ; Р = 41%. Ответ: 41%.

Задача № 29.Цену на товар увеличили на 30 %, затем на 20%, потом уменьшились на 50 % на сколько % изменилась цена?

 Решение = 1,3*1,2*0,5 = 0,78. Р = 100% - 78% = 22%.12

 Ответ: 22%.

Задача № 39 .Владелец дискотеки повысил цену на 25 %, затем вернулся к первоначальной, на сколько % он снизил цену?

Решение = 1,25(1 - 0,01Р); А : А = 1, 1 - 0,01Р = 0,8; Р=20%.

Ответ: 20%.

Задача № 31.Торговая база закупила партию альбомов, и поставили в магазин по оптовой цене на 30 % больше, чем цена изготовителя магазин установил розничную цену на 20 % больше оптовой. В конце сезона цену снизили на 10 %. Покупатель купил альбом за 70,2 р. На сколько рублей он заплатил больше по сравнению с ценой изготовителя.

 Решение = 1,3*1,2*0,9 = 1,404. Ан = = 50; 70,2 – 50 = 20,2.

Ответ: 20,2.

Задача № 32 .После двух повышений зарплата увеличилась в 1,43 р. При этом число процентов, на которые повысилась зарплата во второй раз, были в 3 раза больше, чем в первый. На сколько % повысилась зарплата во второй раз.

 Решение = (1 + 0,01Р)*(1 + 0,03Р), 1 + 0,04Р + 0,01*0,03Р = 1,43, 0,0003Р + 0,04Р - 0,43 = 0. Р = 10%, Р = 20%.

Ответ: 20%, 10%.

Задача № 33 .За первый год предприятия увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году на 25 %. На сколько % вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальным?

 Решение  (1+0,08)*(1+0,25) = 1,35 Р = 135% - 100% = 35%. Ответ: 35%.13

Задача № 34 .Цена на товар понизилась на 40%, затем еще на 25%. На сколько % понизилась цена по сравнению с первоначальной

. Решение = (1 - 0,4)*(1 - 0,25) = 0,45. Р = (1 - 0,45) = 0,55.

 Ответ: 55%.

Задача № 35.После двух снижений на одно и тоже число % цена товара понизилась с 20р. до 16,2р. На сколько % цена снижалась каждый раз.

 Решение  (1 - 0,01Р) , 1 - 0,01Р = 0,9. 0,01Р = 0,1 Р = 10 Ответ: 10%

Занятия 10-17

Задача1

Гражданин Петров по случаю рождения сына  открыл 1 сентября 2008 года в банке вклад на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на  счете. Какая сумма  будет на вкладе через 6 лет?

1 способ решения.      20%= 0,2. Если банк начисляет 20 % на сумму,  находящуюся на вкладе, это значит вклад увеличивается в (1+0,2) = 1,2

11 сентября 2008г  -1000,

11 сентября 2009г  - 1000*1,2+1000= 1000*(1+1,2),

11 сентября 2010г– 1000*(1+1,2)*1,2+1000=1000 (1,2+1,22+1)

 11 сентября 2011г - 1000 *( 1,2+1,22+1)*1,2+1000=1000( 1,22+1,23+1,2+1) 

11 сентября 2012г  -1000* (1,22+1,23+ 1,2+1)*1,2+1000=1000(1,23+ 1,24+ 1,22+1,2+1)

11 сентября 2013г - аналогично получаем 1000*(1,24+ 1,25+ 1,23+1,22+1,2+1)

1 сентября 2014г -                                          1000*(1,26+ 1,25+ 1,24+1,23+1,22+1,2+1)

Вычислим (1,26+ 1,25+ 1,24+1,23+1,22+1,2+1)  , а это сумма геометрической прогрессии в1= 1 и q= 1,2 , по формуле S7=  

Мы вывели формулу: вклад = 1000*.

вклад = 12915,9

Задача№ 5077142

Гражданин Петров по случаю рождения сына  открыл 1 сентября 2008 года в банке вклад на который он ежегодно кладет 1000 рублей. По условиям вклада банк ежегодно начисляет 20% на сумму, находящуюся на  счете. Через  шесть лет у гражданина  Петрова родилась дочь  1 сентября 2014 года  он открыл в другом банке  на который кладет  ежегодно 2 200 рублей, банк начисляет 44 % в год. В каком году после очередного пополнения суммы вкладов сравняются, если деньги со счетов не снимаются?

Решение

Пусть  через п лет после открытия первого вклада суммы сравняются

Тогда в первом банке через п лет вклад вычисляется 1000*( 1,2п,…, 1,26+ 1,25+ 1,24+1,23+1,22+1,2+1) = 1000*.

Тогда во втором банке через п-6 лет вклад вычисляется 2200*( 1,44п-6+…, 1,442+ 1,44+1)=         2200*.. составим уравнение1000* == 2200*, получим   п=11, то есть в 2019 году

Ответ 2019г

Задачи на вклады

 Задача № 501438

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых.

В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на725%.  Какую сумму вклад чик ежегодно  добавлял к вкладу?

 Решение.

Пусть х рублей вкладчик вносил,  в к= 1,5 раз увеличивался ежегодно вклад

1 год 39000000

2 год 3900000*1,5 +х

3 год  (3900000*1,5 +х)*1,5= 3900000*1,52+1,5х+х

4 год ( 3900000*1,52+1,5х+х)*1,5=3900000*1,53+1,5х2+1,5х+х

5 год (3900000*1,53+1,5х2+1,5х+х) *1,5 =3900000*1,54+1,5х3+1,5х2+1,5х+х

6 год (3900000*1,54+1,5х3+1,5х2+1,5х+х)*1,5=3900000*1,55+1,5х4+1,5х3+1,5х2+1,5х

Составим по условию задачи уравнение

3900000*1,55+1,5х4+1,5х3+1,5х2+1,5х = 3900000*8,25

3900000 * 1,55 + х* ( S4 , геометрической прогрессии, где в1= 1,5,q= 1,5) = 3900000*8,25

Х ==3900000*( 8,25-1,55) : S4, где   S4,  = 1,5*(1,54-1): (1,5-1)

Х= 210 000

Ответ: 210000р

 Задача № 509025.

Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10 %. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу,

чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Задача №509162. Алексей приобрёл ценную бумагу за 8 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 1 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 8%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через двадцать пять лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Задачи на кредиты

Задача  № 511109.  31 декабря 2014 Алексей взял в банке  6902000 рублей в кредит по 12.5% годовых. Схема выплат кредита  следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%) затем Алексей переводит в банк х рублей. Какой должна   быть сумма х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за 4 года)

Решение

Через год 6902000* 1,125-х, где х это платеж., к = 1,125

Через 2 года (6902000* 1,125-х)*1,125-х = 6902000* 1,1252-- 1,125х –х

Через 3 года  (6902000* 1,1252- 1,125х –х)*1,125 -х= 6902000* 1,1253- 1,125 2х– 1,125х-х

Через 4 года(6902000* 1,1253- 1,1252х – 1,125х-х) * 1,125-х =6902000* 1,1254- 1,1253х– 1,1252х- 1,125х-х, так как выплата совершится через 4 года , то это выражение равно 0

6902000* 1,1254- 1,1253х– 1,1252х- 1,125х-х= 0

6902000* 1,1254=х (- 1,1253– 1,1252- 1,125-1)

6902000* 1,1254=х( S4 , геометрической прогрессии, где в1= 1,q= 1,125)

6902000* 1,1254=х

6902000* 1,1254=х, находим х =2296350

Нужно запомнить формулу, которую вывели

Кредит* кп= платеж*

 Задача  № 508214. 1 января 2015 года Александр Сергеевич взял в банке 1,1 млн

рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая — 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 1 процент на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 1%), затем Александр Сергеевич переводит в банк платёж. На какое минимальное количество месяцев Александр Сергеевич может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 275 тыс. рублей?

 Ответ 5 месяцев

Задача № 506957

Сергей взял кредит в банке на срок 9 месяцев. В конце каждого месяца общая сумма оставшегося долга увеличивается на 12%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Сергеем. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину. Сколько процентов от суммы кредита составила общая сумма, уплаченная Сергеем банку (сверх кредита)?

Ответ: 60