Уравнения с параметрами
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Урок по теме: "Уравнения с параметрами"

Цели:

1. Знать, что такое уравнение с параметрами, что значит решить такое уравнение.
2. Уметь решать простейшие уравнения с параметрами.
3. Развивать интерес к заданиям исследовательского характера.

План урока: 

1. Организационная часть. 
2. Повторение пройденных тем. 
3. Изучение нового материала. 
4. Закрепление изученного. 
5. Домашнее задание. 

Ход урока

1. Организация урока.

Урок начинается с приветствия. Объявляется тема урока и задачи. Нацелить учащихся на важность изучаемого материала не только для подготовки к экзаменам в школе, но и при подготовке к поступлению в вузы.

2. Повторение.

1) Определите тип уравнения. Сколько корней у него может быть? Решите его.

а) 3х – 6 = 0, 0х = 5, 0х = 0.

Повторение::

ах = в - линейное

а 0 х =  - один корень,

а = о, в  0 - нет корней,

а = 0, в = 0 - х – любое число.

б) 2х2 – 3х + 6 = 0

Д < 0, т.е. нет корней.

Измените условие так, чтобы полученное уравнение имело два корня.

ах2 + вх + с = 0 , а  0 - квадратное

1. Если Д > 0, то 2 корня,

2. Если Д = 0, то 1 корень,

3. Если Д < 0, то нет корней.

в) = 4

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

г) [х] = 7

Измените условие так, чтобы полученное уравнение не имело корней.

2) Чем отличаются уравнения ах = в и 3х = 6, ах2 + вх + с = 0 и 2х2–3х+6 = 0?

(Ответ учащихся: в первом и третьем уравнениях не числовые коэффициенты).

Учитель: Действительно, в уравнениях ах = в и ах2 + вх + с = 0 не числовые коэффициенты, а буквенные. Именно такие уравнения и станут предметом нашего изучения на уроке

3. Изучение нового материала.

1) Определение. Уравнение, в котором помимо переменной содержится буквенное выражение, называется уравнением с параметрами.

Примеры: аx + в = 0 (x – переменная, а и в – параметры),

аx2 + вx + с = 0 (x – переменная, а, в и с – параметры).

2) Чаще всего встречаются две постановки задач.

Первая: для каждого значения параметра найти все решения заданного уравнения.

Вторая: найти все значения параметра, при каждом из которых решения уравнения удовлетворяют заданным условиям.

Пример: (а – 2)х2 + 3х – 4 = 0

Первая постановка задачи: решите уравнение. Это значит, что для каждого значения параметра а, необходимо найти решения.

Вторая постановка задачи: при каких значениях параметра а уравнение имеет два различных корня.

Определение. Решить уравнение с параметром – значит, для любого допустимого значения параметра найти множество всех корней заданного уравнения.

Решение уравнений.

1). Простые уравнения без ветвлений:

а) x – а = 0 Ответ: при а  ( -  , +  ) х = а.

б) 5x = а Ответ: при а ( -  , +  ) х = .

в) x : 2 = а Ответ: при а  (-  , +  ) х = 2а.

г) [x] = [а] Ответ: при а  (-  , +  ) х = ± а.

д) x3 = а Ответ: при а  (-  , +  ) х = .

2). Простые уравнения с ветвлениями:

а) аx = 10 Ответ: при а  0 х = , при а = 0 решений нет.

б) 0x = а Ответ: при а  0 корней нет, при а = 0 х – любое число.

в) [х] = а Ответ: при а < 0 корней нет, при а = 0 х = 0, при а > о х = а.

г) (а2 – 4)x = а2 + а – 6

Решение г). Если а2 – 4 0, т.е. а  ± 2, то х = .

При а = -2 уравнение имеет вид: 0х = -4, т.е. не имеет корней.

При а = 2 исходное уравнение принимает вид: 0х = 0, т.е. х – любое число.

Ответ: при а  ± 2  х = ,

при а = - 2 корней нет,

при а = 2 х – любое число.

(Обратить внимание учащихся на тот факт, что при решении данного уравнения получили исключение для параметра. В таких случаях необходимо делать проверку (испытание) для каждого исключения: подставить значение параметра в исходное уравнение и решить его).

4. Закрепление. 

Решите уравнения:

 = 1

Решение: х 2, тогда а = х – 2 или х = а + 2.

Найдем а, при котором х = 2

2 = а + 2, а = 0.

Итак, при а = 0 х = 2, но это посторонний корень.

Ответ: при а = 0 корней нет, при а 0 х = а + 2.

2) (а – 2)х2 + 3х – 4 = 0.

(Обратить внимание учащихся на то, что в ходе решения уравнения 1) появилось исключение для х. В таком случае необходимо найти значение параметра, при котором есть исключение для переменной).

5. Итог урока.

Повторить основные этапы решения уравнений с параметрами.

Домашнее задание: опорный конспект и решение уравнений (примерный набор заданий – карточки).

1) (а2 – 1)х = а + 1,

2)  = 0,

3) (х – 1)х – а = 0,

4) ах2 – 4х + 3 = 0.