Уравнения с параметрами
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Иногда уравнений , кроме букв , обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений . При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих- два корня. При решении таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 35.95 КБ |
Предварительный просмотр:
Уравнения с параметрами.
Иногда уравнений , кроме букв , обозначающих неизвестные, содержат другие буквы, называемые параметрами. Тогда мы имеем дело не с одним, а с бесконечным множеством уравнений . При этом бывает, что при одних значениях параметров уравнение не имеет корней, при других – имеет только один корень, при третьих- два корня. При решении таких уравнений надо сначала найти множество всех допустимых значений параметров, а затем разбить это множество на части, в каждой из которых ответ выражается одной и той же функцией через параметры.
Пример 1. Решим уравнение:
В данное уравнение входит лишь один параметр (а). Если , получаем линейное уравнение, имеющее лишь один корень ,
.
Если ,то уравнение является квадратным и его корни выражаются через параметр (а) формулами :
Если ,то имеем два действительных корня при
,эти корни совпадают , при
подкоренное выражение отрицательно и действительных корней нет.
Ответ записываем так: при ,при
, при
, при
, действительных корней нет.
Вообще решить уравнение с параметрами (а) или ( b) – это значит установить соответствие , с помощью которого для каждого значения параметра (а) или (b) указывается множество корней соответствующего уравнения . заметим, что если уравнение содержит параметр (а) , то допустимыми значениями параметра (а) считаются все те значения (а),при которых выражения, входящие в уравнение, имеют смысл. Например, допустимыми значениями параметр (а) в уравнении Являются любые действительные числа , а в уравнении
- все действительные числа, отличные от 2.
Приме 2. Решим относительно Х уравнение:
Раскроем скобки и перенесем слагаемые, содержащие неизвестные , в одну часть уравнения ,а слагаемые, содержащие известные, в другую часть уравнения. Получим уравнение, линейное относительно Х:
Если и
,то
. Если
то уравнение примет вид
. Это уравнение не имеет корней.
Если то имеем уравнение
корнем которого может служить любое число.
Ответ: при уравнение имеет единственный корень
; при
корней нет; при
уравнение имеет бесконечное множество корней, его корнем является любое число.
Пример 3. Решим относительно Х уравнение:
Умножив обе части уравнения на выражение – общий знаменатель дробей , получим целое уравнение
,которое при условии
,будет равносильно данному уравнению.
Это можно записать так: Решим уравнение
Получим : при
уравнение имеет единственный корень
при
уравнение корней не имеет.
Дробь при
может принимать различные значения. Нам надо исключить те значения m , при которых
обращается в нуль. Выясним , при каких значениях m корень
равен 0 или равен 2. Равенство
имеет место при
;
не выполняется ни при каком
.
Значит корень уравнения при
является посторонним корнем для исходного уравнения. Ответ: При
уравнение имеет единственный корень
уравнение корней не имеет.
Пример 4. Решим относительно Х уравнение:
Приведем уравнение к целому виду, умножив обе его части на и введем ограничение, что
.
Получим систему:
Решив квадратное уравнение , найдем , что .Корень
является для данного уравнения посторонним. Выясним, какие значения
могут быть пригодны для второго корня
. Для этого, подставим в равенство
вместо
выражение
решим полученное относительно
уравнение.
,
,
. Это значение
надо исключить, т.к. при
число
не является корнем данного уравнения. Ответ: при
уравнение имеет единственный корень
, при
уравнение корней не имеет.
Линейные и квадратные уравнения с параметром следует изучать в конце курса, когда пройдем весь материал по учебнику «Алгебра,8». С понятием параметра ( без употребления этого термина) учащиеся в сущности уже встречались: в курсе «Алгебры7» класса, когда изучались линейные уравнения с одной и 2-мя переменными, при изучении линейной функции
в курсе 8 класса при изучении квадратных уравнений
.
Мне кажется, что задачам с параметрами следовало бы уделять больше внимания. Они представляют чисто математический интерес, способствуют интеллектуальному развитию учащихся, служат хорошим материалом для обработки навыков. В чем же основная методическая особенность уравнений с параметрами? В самом начале знакомства с параметром у учеников возникает некий психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величиной известной, а с другой – конкретное значение параметра не известно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – он поможет перенимать различные значения. Получается, что параметр в уравнении – это неизвестное известное, переменная постоянная величина, этот «каламбур» очень точно отражает существо тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам.
В некоторых случаях уравнения с параметрами могут облегчить работу и учителя. Например, решив уравнение с параметром получим: при
;
При
При
При
Предавая параметру различные числовые значения, можно написать сколько угодно много уравнений, корни которых легко найти по указанным выше формулам. Пять таких уравнений приведены в таблице. Иногда различным значениям параметра соответствуют уравнения различной сложности, этим обстоятельством можно воспользоваться для дифференцированного подхода к учащимся.
Многие задачи на решение уравнений с параметрами связаны с определением расположения корней квадратного трехчлена на действительной оси. При решении этих задач следует учитывать, что если квадратный трехчлен
имеет два действительных корня
, то при
принимает отрицательные значения на промежутке
и положительные значения вне промежутка
; при
- положительные значения в промежутке
и отрицательные значения вне промежутка
.Поэтому, чтобы выяснить ( не находя корней уравнения
) принадлежит ли произвольное число
промежутку
достаточно знать знак выражения
и знак коэффициента
. Так например, если
, то
находится в промежутках
. Если известно, что
, не находится между корнями
, то для того, чтобы выяснить , по какую сторону от промежутка ( справа или слева) лежит число
, достаточно сравнить его с некоторым числом , заведомо принадлежащим промежутку
.
Пример 6. При каких значениях параметра оба корня уравнения
меньше чем 3? ( не проводя вычислений корней уравнения).
Рассмотрим функцию т.к. коэффициент при
равен 1 ,то ветви параболы направлены вверх. Для того, чтобы корни
были меньше чем 3 , необходимо и достаточно , чтобы число 3 лежало правее
выполняется при всех
, существуют действительные корни. Второе и третье неравенства обеспечивают расположение точки
вне промежутка
справа от него.
Решая эту систему ,получаем . Ответ:
.
Значение параметра | Уравнение | Ответ |
Графическая иллюстрация облегчает решение уравнений с параметрами.
Пример 5. Для каждого значения, решить уравнение.
.
(1). Отложим на оси абсцисс значения , а на оси ординат – значения
. Тогда в координатной плоскости
геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению, образуют фигуру изображенную на рис.1.
Из рис.1.видно, что при a
Уравнение (1) решений не имеет. При каждому
значению соответствуют два корня уравнения, 1
а при один корень
.
При корни находятся из следующих x
уравнений:
o 1
Они равны соответственно. Рис.1
При корни находятся из уравнений
они равны
соответственно.
Ответ: исходное уравнение не имеет решений;
По теме: методические разработки, презентации и конспекты

«Задачи с модулем и параметром. Уравнения с параметрами»
Программа рассчитана на учащихся, проявивших интерес к изучению математики. Ввиду того, что тема «Модуль» изучается в 6 классе, а дальше ей не уделяется должного вн...

Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами
Методическая разработка на тему: "Линейные уравнения и системы линейных уравнений с параметрами"...

Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром"
Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром" 9 класс...
Решение уравнений, систем уравнений с параметрами графическим способом
При подготовке к экзаменам, с выпускниками 11 класса я провожу семинары по решению задач.. На этом семинаре решались задачи с параметрами. Задачи взяты из сборников ЕГЭ....
Обобщающий урок факультатив по теме "Квадратные уравнения + уравнения с параметром"
Цель урока:обобщение и систематизация знаний учащихся, закрепление и совершенствование навыков решения квадратных уравнений....

Курс внеурочной деятельности "Параметры. Уравнения с параметрами"
Решение задач с параметрами являются одними из сложных в курсе средней школы и требует большого количество времени на изучение. Поэтому я разработала данный курс как дополнение к школьной программе, к...