План-конспект урока в 10-м классе "Способы решения иррациональных уравнений"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему
Способы решения иррациональных уравнений в 10-м классе.План-конспект
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 51.88 КБ |
Предварительный просмотр:
План-конспект урока в 10-м классе по теме:
« Способы решения иррациональных уравнений»
Цель:
- обобщение знаний учеников по данной теме;
- демонстрация различных методов решения иррациональных уравнений;
- показ возможности решения иррациональных уравнений на основе исследования;
- формирование навыка самообразования, самоорганизации, умения анализировать, сравнивать, обобщать, делать выводы;
- воспитание самостоятельности, умения выслушивать других и умения общаться в группе;
- повышение интереса к предмету.
Форма проведения: семинарское занятие.
Оборудование: компьютер, мультимедийный проектор.
Ход занятия:
Учитель:
Сегодня мы поговорим об иррациональных уравнениях.
На доске приведены примеры уравнений иррациональных и не являющихся иррациональными.
1)
Назовите те уравнения, которые являются иррациональными.
Дайте определения иррационального уравнения.
Ответы учеников.(иррациональными являются уравнения 1), 3), 4), 6). Определение иррационального уравнения:
Иррациональным называют уравнение, в котором переменная содержится под знаком радикала или под знаком возведения в дробную степень.)
I. Учитель:
На предыдущих уроках мы рассматривали решение иррациональных уравнений методом возведения обеих частей уравнения в степень корня (в основном в квадрат). При возведении частей уравнения в чётную степень мы получаем уравнение-следствие, решение которого приводит иногда к появлению посторонних корней. И тогда обязательной частью решения уравнения является проверка корней или нахождение области определения уравнения.
Однако при решении иррациональных уравнений не всегда следует сразу приступать к «слепому» применению известного алгоритма решения.
В заданиях Единого государственного экзамена имеется довольно много уравнений, при решении которых необходимо выбрать такой способ решения, который позволяет решить уравнения проще, быстрее. Поэтому необходимо знать и другие методы решения иррациональных уравнений, с некоторыми из них мы сегодня познакомимся.
При подготовке к уроку некоторые ученики получили листы-рекомендации, в которых рассматриваются основные приёмы решения иррациональных уравнений. Ребята ознакомились с предложенными решениями и подобрали свои уравнения, решить которые предстоит нам на уроке.
II.Выступление учеников
1 ученик.
Решение иррационального уравнения методом возведения обеих частей уравнения в степень корня.
х + = 3х – 7
Решим данное уравнение традиционным способом – методом возведения обеих частей в квадрат. Слагаемое, содержащее квадратный корень оставим в левой части уравнения, а х перенесём в правую часть.
= 2х – 7
Возведём обе части уравнения в квадрат:
=
Получаем:
х + 4 = 4 – 28х + 49
Перенесём все члены уравнения в одну часть, получаем квадратное уравнение
4 – 29х + 45 = 0
Корни этого уравнения х = 5 и х = 2,25
Решая это уравнение мы возводили обе части уравнения в квадрат. При возведении обеих частей уравнения в любую четную степень получается уравнение, являющееся не равносильное данному, а являющееся следствием исходного, следовательно, при этом возможно появление посторонних корней. Поэтому необходимым условием решения является проверка корней.
Если х = 5, то = 10 - 7
3 = 3 – верно
х = 5 – корень уравнения
Если х = 2,25, то = 4,5 - 7
2,5 = - 2,5 – неверно
х = 2,25 посторонний корень
Ответ: х = 5
Предлагаю решить в классе уравнение:
2 ученик. Решение уравнения методом исследования области определения уравнения.
Пусть дано уравнение: -
=
–
Возведение обеих частей в квадрат приведёт нас к громоздким вычислениям и трате времени на экзамене.
Воспользуемся методом исследования области допустимых значений заданного уравнения.
Область допустимых значений данного уравнения определяется системой неравенств <=>
<=> х=2
Данное уравнение определено только при х = 2.
Проверим, является ли число 2 корнем уравнения:
-
=
–
5 = 5 – верно.
Ответ: х = 2.
Попробуйте решить уравнение: = х - 2
3 ученик. Использование свойства монотонности функции.
Я хочу рассказать об уравнениях, решение которых основывается на свойстве монотонности функций. Существуют теоремы:
Теорема 1. Пусть уравнение имеет вид: f(x) = с, где f(x) –монотонно возрастающая (убывающая) функция, а с – число, входящее область значений функции f(x), тогда уравнение f(x) = с имеет единственный корень.
Теорема 2. Пусть уравнение имеет вид f(x)= g(x), где функции f(x) и g(x) «встречно монотонны», т.е. f(x) возрастает, а g(x) убывает или наоборот, то такое уравнение имеет не более одного корня.
Если удается заметить эти свойства функций в уравнении или привести уравнение к таким видам, и при этом нетрудно угадать корень уравнения, то он и будет единственным решением данного уравнения.
Пример для изучения
Пусть дано уравнение: +
= 6
ОДЗ уравнения: х+60; х
Функции =
и
=
являются возрастающими на промежутке [- 6;
, поэтому функция у =
+
так же является возрастающей на этом промежутке, и следовательно принимает любое значение, в том числе и 6, только один раз. Значит, уравнение имеет единственный корень.
Найдём этот корень подбором.
х = 2.
Проверкой убеждаемся, что число 2 является корнем данного уравнения.
Ответ: х = 2.
Я предлагаю решить на уроке уравнение:
+
= 9 –
Это уравнение можно попытаться решить возведением обеих частей в квадрат (трижды!). Однако при этом получится уравнение четвертой степени.
Попробуйте использовать свойства монотонности функций, входящих в уравнение.
Ответ: х = 1
4 ученик Метод введения новой перменной.
Удобным средством решения иррациональных уравнений иногда является метод введения новой переменной, или «метод замены». Метод обычно применяется в случае, если в уравнении неоднократно встречается некоторое выражение, зависящее от неизвестной величины. Тогда имеет смысл обозначить это выражение какой-нибудь новой буквой и попытаться решить уравнение сначала относительно введенной неизвестной, а потом уже найти исходную неизвестную.
Пример для изучения:
Дано уравнение: +
=
ОДЗ уравнения: х х
Пусть , тогда
Получаем уравнение t + =
=
= 2
Тогда
или
Возведём обе части уравнения в 5-ю степень. При возведении обеих частей уравнения в нечётную степень получаем уравнение, равносильное данному, следовательно, не требуется проверка найденных корней. Получаем
; х =
; х = 2
Ответ: х = ; х = 2
В классе я предлагаю решить уравнение:
5 ученик Метод оценки частей уравнения.
Рассмотрим уравнение: +
= 14х -
Запишем уравнение в виде +
= -(
+49)
+
= -
Так как левая часть данного уравнения неотрицательная, а
правая - неположительная при любых допустимых значениях x ,
то равенство возможно только в том случае, когда они обе части уравнения
равны нулю. Легко убедиться, что это возможно только при х = 7.
Для решения в классе предлагаю уравнение:
+
= 0
III. Работа учеников в группах.
После прослушивания выступающих начинается работа учеников в группах по решению предложенных уравнений.
Учитель контролирует работу групп, даёт консультации.
IV . Домашнее задание № 1712 – 1719 (а) стр 253 задачника
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2014/07/21/picture-465275-1405940831.jpg)
План – конспект урока алгебры в 11 классе по теме «Способы решения иррациональных уравнений»
Урок изучения нового материала в 11 математическом классе, имеющий целью рассмотреть различные способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным уравнением....
![](/sites/default/files/pictures/2016/04/03/picture-776810-1459690275.jpg)
Урок по алгебре 11 класс " Решение иррациональных уравнений"
рассмотрены различные виды иррациональных уравнений и способы их решения...
![](/sites/default/files/pictures/2018/11/29/picture-1086165-1543514266.jpg)
План-конспект урока по алгебре в 10 классе на тему "Решение иррациональных уравнений и неравенств".
План-конспект урока по алгебре в 10 классе на тему "Решение иррациональных уравнений и неравенств"....
![](/sites/default/files/pictures/2013/02/16/picture-205260-1361025222.jpg)
Гипертекстовый конспект урока алгебры в 11 классе "Решение иррациональных уравнений. Технология разноуровневого обучения"
Конспект урока представлен в виде гипертекстового документа, что делает эффективной навигацию по содержанию. В материале содержится подробное описание урока по технологии разноуровневого обучения. Дет...
![](/sites/default/files/pictures/2024/02/16/picture-1354041-1708091478.jpg)
План-конспект занятия на тему «Некоторые методы решения иррациональных уравнений»
План-конспект занятия на тему «Некоторые методы решения иррациональных уравнений» Цель занятия: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме.Задачи: Образовательн...
![](/sites/default/files/pictures/2024/02/16/picture-1354041-1708091478.jpg)
Конспект урока для 11 класса по теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"
Конспект урока для 11 класса пр теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"...
![](/sites/default/files/pictures/2020/03/02/picture-1220488-1583162398.jpg)
План-конспект урока по теме : Решение иррациональных уравнений"
План-конспект урока по теме " Решение иррациональных уравнений"...