Конспект урока для 11 класса по теме "Иррациональные уравнения и приемы преобразования уравнений. Методы решения иррациональных уравнений"
план-конспект занятия по алгебре (11 класс)

Этапы урока

Деятельность учителя

Деятельность ученика

УУД

1. Организационный момент

Создает настрой на продуктивную работу. Эпиграф: «Давайте понимать друг друга с полу слова, чтоб ошибившись раз, не ошибаться снова» Д. Пойя

Настраиваются на работу

Личностные: самоопределение.

Регулятивные: целеполагание.

Коммуникативные: планирование сотрудничества с учителем и учащимися.

2. Актуализация знаний

Какие уравнения называются иррациональными?

Задание: Какие из уравнений иррациональные?

1. ;
3. ;

Какие приемы преобразования уравнения вы знаете?

Посмотрите на опорный дидактически материал (приложение 1) и сверьте свой ответ.

С какими методами решения иррациональных уравнений вы знакомы?

Что мы должны учитывать при решении иррациональных уравнений?

 Отвечают: уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная.

• a, b – иррациональные уравнения;
•  c, d – не иррациональные.
• Перенос членов уравнения из одной части уравнения в другую, приведение подобных членов.
• Возведение в степень, замены переменных.
• ОДЗ

Личностные: планирование учебной деятельности.

Регулятивные: целеполагание.

Познавательные: структурирование знаний, выделять главное, систематизировать, знания, самопроверка имеющихся знаний

3. Изучение нового материала

Сегодня мы с вами расширим свой кругозор и познакомимся с другими методами решения иррациональных уравнений.

Изучают на основе опорного дидактического материала (приложение 2)

1. Решить уравнение,  используя  метод сведения к эквивалентной системе .

- Для решения данного уравнения схема решения будет иная:

Такое уравнение равносильно каждой из двух систем

Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство  (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще [3].

Решите его, применяя данную схему.

2. Решить уравнение по 3 методу

3. Решить уравнение по 4 методу .

4. Решить уравнение 7(1) методом .

5. Решить уравнение 7 методом с ОДЗ  .

6. Решить уравнение 7 методом с использованием графика функции .

Разбирают задания вместе с учителем, выстраивают последовательность действий для решения иррациональных уравнений.

Решение примеров

1. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и .

Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения. Ответ. .

2. Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни  и . Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.

Ответ. Корней нет.

3. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе

Решая первое уравнение этой системы, получим корни  и , но условие  выполняется только при . Ответ. .

4. Введем новые переменные

 и , где .

Тогда исходное уравнение принимает вид: . Полученное уравнение обладает одним существенным недостатком: в нем две неизвестных. Но заметим, что величины y и z не являются независимыми переменными – они зависят одна от другой посредством старой переменной x. Выразим x через y и z:  и . Теперь, можно заметить, что если первое уравнение умножить на два и затем вычесть из него второе, то переменная x исключается, и остается связь только между y и z

.

В результате получаем систему двух уравнений относительно двух неизвестных y и z

Решая эту систему методом подстановки, приходим к уравнению , корнями которого являются числа  и . Корень  посторонний, поскольку . Осталось решить уравнение , откуда находим . Ответ. .

5. Традиционный метод решения уравнений такого вида хорошо известен. Впрочем, легко заметить, что  – корень. Левая часть уравнения задает возрастающую функцию, правая – константу. Следовательно, данное уравнение может иметь не более одного корня. Итак,  – единственный корень. Ответ: .
6. ОДЗ этого уравнения состоит из всех , одновременно удовлетворяющих условиям  и , то есть ОДЗ есть пустое множество. Этим решение уравнения завершается, так как установлено, что ни одно число не может являться решением, то есть уравнение не имеет корней. Ответ: Корней нет.
7. ОДЗ данного уравнения есть все  из промежутка . Эскизы графиков функций  и  представлены на рисунке :

Проведем прямую . Из рисунка следует, что график функции  лежит не ниже этой прямой, а график функции  не выше. При этом эти графики касаются прямой  в разных точках. Следовательно, уравнение не имеет решений. Докажем это. Для каждого  имеем , а . При этом  только для , а  только для . Это означает, что исходное уравнение не имеет корней. Ответ: Корней нет.

Познавательные: уметь добывать новые знания, находить ответы на вопрос, используя жизненный опыт и информацию.

Коммуникационные: умение оформлять свои мысли.

4. Применения знаний

Выдает карточки с уравнениями для самостоятельного решения (приложение 3). Проверка заданий происходит у доски, по мере решения. Учащиеся могут приступить к решению любого уравнения.

Приступают к решению задач. Проводят самоконтроль, взаимоконтроль, сверяют свое решение с решением у доски.

Регулятивные: умение вносить необходимые коррективы в действие после его завершения на основе его оценки.

Познавательные: поиск рационального метода решения.

Коммуникативные: умение оформлять свои мысли.

5. Домашнее задание

Выучить материал, изложенный на опорном дидактическом материале. Повторить 1 и 5 метод и самостоятельно изучить 6 метод. Решить следующие уравнения:

.

.

Записывают задание.

Регулятивные: осознание знание и незнания материала.

Личностные:  самооценка своей работы.

Коммуникативное: умение полно выражать свои мысли.

6. Подведение итогов

Учитель анализирует деятельность учащихся на уроке. Задает вопросы:

Какой метод вам показался простым? сложным

Какие трудности возникли при решении уравнений во время самостоятельного решения?