Учебное занятие по теме " Случайныее величины и их числовые характеристики"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Методическая разработка  по теории вероятностей. Тема урока: "Случайные величины и их числовые характеристики"

Епихина Елена Вячеславовна преподаватель математики

Задачи уроков:

• образовательная – показать, что окружающий нас изменчивый мир можно описать математическими понятиями, числовыми показателями;
• развивающая – формировать современное мировоззрение и умение ориентироваться в изменчивом информационном мире;
• воспитательная – учить мыслить категориями, имеющими вероятностный характер, общаться на деловой основе, применять вводимые понятия в практической жизни, видеть их роль в разных областях деятельности человека.

Урок 1.  Случайные величины

Цели урока:

• закрепление знаний и навыков учащихся по изученной теме «Случайные события»;
• ввести понятие случайной величины, рассмотреть виды случайных величин, закон распределения случайной величины.

Используемые средства обучения: ПК, проектор.

Ожидаемые результаты.

Учащийся должен:

• уметь приводить примеры случайных величин;
• выделять из множества различных случайных величин дискретные, непрерывные;
• знать определение закона случайных величин;
• уметь составлять таблицы распределения дискретных случайных величин с небольшим числом значений.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

 Сообщить тему и цели урока.

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом – теоретический опрос по вопросам:

– Основное понятие теории вероятностей.
– Что изучает теория вероятностей?  
– Назовите основные объекты изучения теории вероятностей.
– Виды случайных событий.
– Что называется вероятностью случайного события?
– Какие определения вероятности вы знаете? В каких случаях они применяются?
– Дать классическое определение вероятности и привести примеры.
– В каких случаях применяется классическое определение вероятности?
– Статистическое определение вероятности, привести пример. Недостатки этого определения.
– Можно ли статистически определить вероятность, того что мобильный телефон после падения на пол будет работать?
– Геометрическое определение вероятности, пример (задача о встрече).
– Аксиоматическое определение вероятности.
– Дать определение : несовместных событий, независимых событий, суммы событий.
– Вероятность суммы несовместных событий.
– Определение произведения независимых событий.
– Вероятность суммы совместных событий.
– Вероятность появления хотя бы одного из событий, образующих полную группу.
– Формула полной вероятности.
– Теорема Бейеса.

III.Самостоятельная работа

Задача 1. В ящике лежат 6 белых и 5 красных шаров. Из ящика наугад выбираются 2 шарика. Какова вероятность того, что:

• Вариант 1 – шарики будут оба белыми?
• Вариант 2 –  шарики будут оба красными?

Задача 2. Двое друзей договорились о встрече в условленном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 20 минут. Какова вероятность того, что:

• Вариант 1 – друзья встретятся?
• Вариант 2 – друзья не встретятся?

Задача 3. Стрелок стреляет по мишени 4 раза подряд. Известно, что

• Вариант 1. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле равна 0,9. Найдите вероятность того, что мишень будетп оражена хотя бы один раз.
• Вариант 2. Вероятность промаха при каждом выстреле равна 0,1. Найдите вероятность того, что стрелок хотя бы один раз промахнется.. 

IV. Изучение нового материала

Если случайному событию (случайному опыту) можно поставить в соответствие определенную величину, то говорят, что задана случайная величина.
Случайные величины принято обозначать большими буквами X, Y, Z …, а принимаемые ими значения строчными буквами x, y, z.

Пример.

Случайной величиной является число выпавших очков игральной кости, рост наудачу выбранного ученика, оценка за контрольную работу.
Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной.
Множество значений непрерывной  случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток – конечный или бесконечный.

Вопрос: Дискретной или непрерывной является случайная величина:

а) число учеников, отсутствующих в классе,   (дискретная);
б) расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле,   (непрерывная); 
в) среднее значение оценки за контрольную работу в классе?  (дискретная).

Закон распределения случайной величины

Для задания случайной величины недостаточно перечислить все возможные ее значения, нужно еще указать, с какими вероятностями она принимает эти значения.
Законом распределения случайной величины называют соотношение между возможными значениями и их вероятностями.
Закон распределения можно задать таблично:

Х   х1   х2   . . .   хn    –  значения случайной величины,   
Р    р1  р2   . . .   рn    –  их вероятности

Для наглядности закон распределения можно изобразить графически или в виде диаграммы.

Непрерывная случайная величина задается  аналитически   

Пример. Игральную кость бросают дважды. Таблица элементарных событий этого опыта нам известна. По горизонтали указано число очков, выпавшее на первой кости, по вертикали – на второй.

Рис. 1(ПК, проектор)

Сумма выпавших очков – случайная величина. Возможные значения этой суммы – натуральные числа от 2 до 12. С помощью таблицы элементарных событий можно вычислить распределение вероятностей между возможными значениями нашей случайной величины.
Вычислим, например, вероятность того, что сумма очков равна 7. Выделены желтым цветом элементарные события, благоприятствующие этому событию. Их 6. Так как в этом опыте 36 равновозможных элементарных событий, вероятность каждого из них равна Поэтому вероятность события «сумма очков равна 7» оказывается равна 
Таким же способом можно вычислить остальные вероятности и заполнить таблицу.

Рис 2 (ПК, проектор)

Это распределение вероятностей можно представить и в виде диаграммы

 
Рис. 3 (ПК, проектор)

Высота каждого столбца диаграммы равна вероятности того, что случайная величина примет соответствующее значение.
Дискретная случайная величина связана с проведением эксперимента. Сумма вероятностей значений случайной величины равна сумме вероятностей всех элементарных событий эксперимента, поэтому основное свойство распределения  заключается в том, что сумма всех вероятностей равна 1.

V. Закрепление изученного

Задача. Дано распределение некоторой случайной величины. Одна из вероятностей неизвестна. Найти ее.

(р = 0.04) Рис. 4 (ПК, проектор)

Найти вероятность Р(0<x<3) (0,18 + 0,15 = 0,33)

VI. Подведение итогов

– Какие виды случайных величин Вы знаете?
– Что называется законом распределения случайной величины?

Домашнее задание

Выучить все определения.

• Задача 1. Случайная величина принимает все четные значения от –2 до 6 с равными вероятностями. Постройте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.
• Задача 2. Пять человек выстраиваются в очередь случайным образом. Среди этих пятерых в очереди стоит Иван Иванович. Постройте распределение случайной величины «число людей в очереди, стоящих перед Иваном Ивановичем».
• Задача 3. В таблице дано распределение некоторой случайной величины Х. Найдите пропущенную вероятность.