Урок алгебры в 10 классе по теме "Простейшие тригонометрические уравнения"
план-конспект урока по алгебре (10 класс) по теме

Урок по алгебре в 10-м классе по теме "Решение простейших тригонометрических уравнений"

 Цели урока.                                                                                               Образовательные:      изучить общие формулы решения простейших тригонометрических    уравнений,    сформировать у обучающихся первичные умения и навыки их решения;

  Развивающие: развивать и совершенствовать умения применять теоретические знания к решению упражнений; мыслительные способности учащихся; их речевую культуру, математический кругозор.                                                                                                       Развивать логическое мышление, умение делать выводы и обобщения;

Воспитательные:  содействовать формированию личностно – адаптированой компетентности (быть подготовленным к самообразованию и самовоспитанию).
Воспитывать уверенность в своих знаниях; умение слушать других; содействовать воспитанию интереса к математике; воспитывать объективность и честность при контроле знаний; культуру поведения. 

Тип урока: комбинированный( урок изучения нового материала.)

Оборудование урока: мультимедийная аппаратура, презентация, раздаточный материал (самостоятельная работа), карточки, таблицы , листы учета знаний. 

Методы обучения: практический (самопроверка и взаимопроверка).

Формы организации урока: индивидуальная, фронтальная, парная. 

Структура урока.

1. Организационный момент

а) Приготовление рабочего места. Знакомство с гостями.

         б) Каждый оценит свою работу. (Оценочные листы)

         2.Проверка домашнего задания (Взаимопроверка)

3.Устная  работа

4.Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.

Колесо успеха                                                                                                             

5.Изучение нового материала.

• учебное исследование;
• обсуждение итогов учебного исследования;
• схематизация материала;

6. Отработка умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений.

7.Самостоятельная работа. (Проверка первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме)

8. Рефлексия. Подведение итогов.
9. Домашнее задание.

                                                                          Ход урока.  

1. Добрый день,дорогие друзья!

 На экране слова: “Учиться можно только весело, чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом” (Анатоль Франс (1844– 924) – французский писатель) (слайд Учитель: Следуя советам писателя, давайте будем активны, внимательны и с большим удовольствием будем поглощать знания, которые понадобятся в дальнейшем.

 Чтобы легче всем жилось,
Чтоб решалось, чтоб моглось.
Улыбнитесь! Удачи всем!
Чтобы не было проблем!           (слайд 2)

Ребята,для нашего урока нам необходим дополнительный материалл, который лежит на вашем рабочем месте в определенном порядке.Обратите внимание.

         Сегодня  каждый из вас  оценит свою работу.

Возьмите в руки рабочую карту и подпишите ее.                                                             Рабочая карта __________________________________________________________

II. Этап проверки домашнего задания

а) Вычислить:

, т.к. ,  

, т.к. , .

, т.к. , ,

 , т.к. , ,

, т.к. , .

, т.к. , ;

, т.к. ,  ,

  т.к. .

 (Взаимопроверка)      ( слайд 3,4,5)

А творческую  часть  домашнего задания проверим мы проверим немного позже.

III. Фронтальный опрос и устная работа.   (кодоскоп)

Вопросы: а) Дать определение:

arcsin ,( арксинус а - это такое число из отрезка , синус которого  равен а) arccos ,( арккосинус а – это такое число из отрезка , косинус которого равен а.)

arctg , (арктангенс а – это такое число из интервала , тангенс которого      равен а.

arcctg ;

б) Имеют ли смысл выражения(кодоскоп)

1) arcsin ;

2) arсcos ;

3) arсcos ;

4) arcsin 1,5 ;

           5) arctg 5;

6) arcсtg ;

7) arccos 1,8 ;

   8)  arcsin π.

А сейчас проверим творческую  часть  домашнего задания

lV Психологический настрой на деятельность. Мотивация учебной деятельности.  

Колесо успеха

 В итоге анкетирования мы с вами установили,что для  того чтобы ощущать себя успешным,для каждого из вас  необходимо либо исполнение вашей мечты или достижение какихто целей.Давайте посмотрим как мы двигаемся к своей мечте. Мы с вами условились, вся площадь этого колеса  100% . Я просила вас ответить на вопрос:

 Как я оцениваю свое:

Здоровье,

личностный и духовный рост( читаю ли я книги.расту ли я как личность),

 отношение с родителями,

 отношение с друзьями,

эмоции(умею ли я владеть своими чувствами, эмоциями),

отношение к учебе,

подготовка к ЕГЭ .Отметили.

Соединили  все плавной  линией. Как вам нравиться ваше колесо?

Представьте,что это колесо вашей жизни.На нем вы стремитесь к успеху!

Доедите далеко? Это просто упражнение. Вам есть к чему стремиться!

 Задумайтесь, что нужно делать изо дня в день,чтобы ближе к своей мечте. Заглядывайте в свое колесо,выравнивайте изо дня в день.  Если полностью закрыли, увеличте круг!  И сейчас мы будем пополнять свое колесо успеха А давайте посмотрим,где самый большой % стремление к успеху. ( Анализируем)!

Тема сегоднешнего урока поможет вам в подготовке к ЕГЭ.

Возьмите  в руки книгу « математика»  по подготовке к ЕГЭ под редакцией Ф.Ф. Лысенко. Мы с вами многие задания решаем из нее. Сейчас, я прошу обратить внимание  на задание  В3 варианта №26 стр.145.Это простейшее  тригонометрическое  уравнение. Кому из вас необходимо знать, как его решить?

А теперь обратите внимание на задание С1 вариантов 1,2,3,4,5 и т.д. Решить систему  тригонометрических    уравнений. Эти    тригонометрические           уравнения не являются простейшими, но решаются они путем приведения их к простейшему виду. Хотите  научиться их решать?

Запишите число и тему урока

"Решение простейших тригонометрических уравнений"

Назвать цели урока: вывести общие формулы решения простейших тригонометрических           уравнений.                                                                                                               

Все, что мы делаем нужно!

Так давайте работать честно,

Усердно  и  дружно!

V. Получения новых знаний 

На протяжении многих уроков мы научились  

1) отмечать точки на числовой окружности;

2)  определять значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса для точек числовой    окружности;

3) знаем свойства основных   тригонометрических функций;

4) на предыдущем уроке мы познакомились с  понятием  арксинуса, арккосинуса,

арктангенса, арккотангенса и научились отмечать их     на числовой окружности.

Для  чего же нам  понадобились эти знания? (слайд 6)

Тригонометрическими уравнениями называют уравнения, в которых переменная содержится под знаком тригонометрических функций.

Для решения различных видов тригонометрических уравнений необходимо уметь решать простейшие тригонометрические уравнения. К ним относятся уравнения вида: , , , .  Некоторые представления о решении таких уравнений мы уже имеем. Задача нашего урока состоит в следующем: нам необходимо вывести общие формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

 Групповая работа                                                                                                                          Алгоритм работы в группе:

• выбрать руководителя группы; ответственного за понимание и выступающего от группы;

• прочитать и осмыслить задание (применяя следующие приемы, организующие понимание: перефразирование, вопросы на понимание);
• наметить алгоритм решения;
• выполнить задание;
• подготовить выступление.

Учебное исследование.

Задание 1 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

 а) ; б) ; в) .

2. Для каждого значения  параметра a, решите уравнение .

Задание 2 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

а) ; б) ;  в) .

2. Для каждого значения  параметра a, решите уравнение .

Задание 3 группе.

1. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решите уравнение:

а) ; б) ; в) .

2. Для каждого значения  параметра a, решите уравнение .

Задание экспертной группе.(учитель)

Представьте общие выводы решений простейших тригонометрических уравнений.

Выступления от групп. Обсуждение итогов учебного исследования. 

Учитель: Внимательно слушайте объяснение лидера группы , фиксируйте в тетради основные моменты решения тригонометрических уравнений .

1 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,5 (она лежит на прямой х. = 0,5). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида . Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида     . В итоге получаем две серии решений уравнения: .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение. Отметим на окружности точки М и Р с абсциссой 0,4 (она лежит на прямой х. = 0,4). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем. Наверно, необходима новая  математическая формула.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая х. = -2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение  имеет две серии решений при , не имеет решений при . Для решения уравнения  необходимо ввести новую математическую  формулу.

2 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой (она лежит на прямой ). Точка М соответствует числу , а значит, всем числам вида

. Точка Р соответствует числу , а, следовательно, и всем числам вида

 . В итоге получаем две серии решений уравнения: ; .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Отметим на окружности точки М и Р с ординатой  0,3 (она лежит на прямой у =  0,3). Это уравнение имеет два решения, но каких мы не знаем.

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . Это уравнение не имеет решений, т.к. прямая у  = 2 не пересекает числовую окружность.

Вывод: уравнение   имеет две серии решений при , не имеет решений при . Решение уравнения   вызвало у нас затруднение.

Мы считаем, что  для решения уравнения  также  необходимо ввести новую математическую  формулу.

3 группа. Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число . Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р. Точка М соответствует числу , точка Р соответствует числу -. Учитывая периодичность функции y = tgx, можно сказать, что уравнение  имеет одну серию решений .

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 0,4.  Прямая ОТ  пересекает окружность в  двух точках  М, Р.   Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли .  

Используя геометрическую модель – числовую окружность на координатной плоскости, решим уравнение . На линии тангенсов отметим число 2.         Прямая ОТ пересекает окружность в двух точках М, Р.  Это уравнение имеет одну серию решений, но записать это решение мы не смогли .  Наверно, здесь имеют место   математические термины, которые мы изучили на прошлом уроке-это  arctgа

Вывод: уравнение  имеет одну серию решений при любом значении параметра а.  Для решения уравнения  необходимо ввести новую формулу.

Учитель:   Ребята,с какими же  уравнениями увас возникли проблемы?

   ,  , , .

Итак, для решения простейших тригонометрических уравнений, были введены новые математические термины. Какие? (arcsin, arсcos , arctg  , arcсtg)

Презентация слайд 7-16

Если , то уравнение  имеет решения .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

, ; , ;  , .

Если , то уравнение  решений не имеет.

Если , то уравнение  имеет две серии решений  . Эти две формулы можно объединить одной формулой. Перепишем эти формулы следующим образом:  . Замечаем, что если перед arcsin a стоит знак «плюс», то у числа  множителем является четное число 2k. Если же перед arcsin a стоит знак «минус», то у числа   множителем является нечетное число 2k + 1. Это наблюдение позволяет записать общую формулу для решения уравнения : .

Если а = -1; 0; 1, то пользуются более простыми формулами:

 ;  ;   .

Если , то уравнение   решений не имеет.

Уравнение  имеет решения  для любого значения а.

(Для решения уравнения  выступление аналогичное).

Схематизация материала.

Представим общие формулы решения простейших тригонометрических уравнений в виде таблиц.(На доске)

Vl. Отработка  умений и навыков по решению простейших тригонометрических уравнений. 

1)Учащиеся, пользуясь полученными формулами, решают уравнения.

  ,  , , .

Решите  уравнения: У доски 2  учащихся по очереди решают уравнения:  слайд 17

2)   2sin х = 1,   2cosх = ;

cosх –1 =0,  tgх – 1 = 0;    ctgх = 2,5 

3) Работа с учебником №136а- №139а, №140а,б (Решаем и коментируем с места)

 VI.Самостоятельная работа. (Проверки первичного усвоения знаний, умений и навыков по теме )  (разноуровневые задания по карточкам)

Каждый работает индивидуально, а вместе мы подготовим следующую литературную минутку нашего урока.

Кто решил показывает ответ,если он верен,выбираем по ответу слово  и вывешиваем  на свое место на доску

Решите уравнения:

1) sinх= -,

2) cosх = 1,1,

3 ) 2sinх – 1 = 0,

4) tgх =1,7.

5) cosх = 0

6) sinх =  

7) 2 cosх - 2=0,

Литературная минутка.

В результате на доске высказывание:

«Быть человеком, значит чувствовать свою ответственность»

                                                     Сент-Экзюпери

Ребята, мне очень хотелось вас познакомить с этой мудрой мыслью французского писателя, который в своих произведениях сумел показать доверие людей друг к другу.Нравственная сторона его произведений-вера в возможность в понимание и единение людей.

Ребята, я просила подготовить о нем краткую информацию.

(Он написал «Маленкий принц»-сказку «Планета людей». «Южный почтовый» и др.Советую вам почитать эти романы.Его годы жизни 1900-1944г.Он летчик,погиб на войне,в разведательном полете.)

Ребята,наш урок подходит к концу,и во-первых я могу сказать вам спасибо за то,что каждый из вас чувсвовал свою ответственность.

VII. Домашнее задание.

Задачи: сообщить учащимся домашнее задание, дать краткий инструктаж по его выполнению.

П.9, № 137-141 (г). Сборник Лысенко №146

Учащиеся записывают домашнее задание в дневники.

Подведение итогов:

1)Чем занимались на уроке?

2)Что узнали нового на уроке?

5)Поставьте оценки в дневник

6)Экран  настроения.      Смайлики вывешиваем на доску

Карточка№1 Заполни пустые клетки