Тема 9. ПОКАЗАТЕЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Тема 9. Показательные уравнения и неравенства.

Показательные уравнения - это уравнения, содержащие неизвестное в показателе степени.

Преобразование показательных уравнений основывается на следующих известных формулах

                                          где .

Основные методы решения показательных уравнений.

I. Простейшие, то есть уравнения вида , где  (1). При выполнении условий (1) такое уравнение имеет единственное решение .

Примеры.

Решить уравнения.

1. .  Решение. .
2. . Решение. .
3. .

Решение.

Решить уравнения.

1. .                                                                                   Ответ:      
2. .                                                                                 Ответ:   
3. .                                            Ответ:
4. .                                                     Ответ:
5. .                                                                                 Ответ:
6.                                                                           Ответ:

II. Способ приведения к одному основанию.

Способ основан на следующем свойстве степеней: если две степени равны и равны их основания, то равны и их показатели. То есть уравнения надо попытаться привести к виду

 Отсюда .

Примеры.

Решить уравнения.

1) .

Решение. Приведем все степени к одному основанию 3. Получим уравнение  Оно равносильно уравнению  Отсюда находим

Ответ 1.

2) .

Решение. Заметим, что   Получаем уравнение   Следовательно,  

Решая последнее уравнение, находим

Ответ: х=10.

Решить уравнения.

1.                                                                  Ответ:
2. .                                                                 Ответ:
3. .                                                      Ответ:
4. .                                            Ответ:
5. .                                                                             Ответ:
6. .                                                                    Ответ:

III. Способ введения новой переменной (подстановка).

Введение новой переменной обычно производится после преобразования (упрощения) членов уравнения, в результате чего мы приходим к решению более простого уравнения.

Примеры.

1. Решить уравнение.

.

Решение. Используя свойства степеней преобразуем исходное уравнение к виду. Полученное уравнение удобнее решать, введя новую переменную , . Тогда уравнение сводится к квадратному относительно . , решая которое, находим

Значение  не удовлетворяет условию , поэтому единственное решение исходного уравнения определяется из соотношения . Отсюда .

Ответ: .

2. Решить уравнение.

Решение. Найдем связь между основаниями степеней. Вообще числа вида  и  называют сопряженными числами. Помимо этого числа  и  являются взаимно обратными, убедимся в этом , а поэтому легко можно выразить одно основание степени через другое  и получить уравнение, в котором все степени имеют одинаковые основания . Введем новую переменную : . Тогда исходное уравнение перепишем в виде . Корни последнего уравнения равны .  Откуда находим значения исходной переменной.

Ответ:

Решить уравнения.

1. .                                                                Ответ:                      
2.                                                                Ответ:                                        
3.                                                                           Ответ:                                                
4.                                                    Ответ:
5.                                           Ответ:
6.                                    Ответ:
7.                                           Ответ:

IV. Метод почленного деления.

Этот метод применим к уравнениям специального вида - однородным уравнениям. Суть метода в почленном делении уравнения, члены которого представляют собой степени с одинаковыми показателями и различными основаниями, на одну из степеней.

Пример.

1. Решить уравнение

Решение. Это однородное уравнение второго порядка. Для того, чтобы распознать такие уравнения, надо заметить, что основания с одинаковыми показателями степени должны иметь вид  В данном случае это основания:  Разделим каждое слагаемое на  Получим  Обозначим  и решим уравнение  Решение  не удовлетворяет условию  Значит,

Ответ:

Заметим, что аналогичный метод решения можно использовать для решения однородных уравнений более высоких порядков. Надеемся, читателю понятно, что, например, уравнение третьего порядка имеет основания

2) Решить уравнение  где

Решение. Данное уравнение - однородное, так как  Перепишем его в виде  Разделим обе части уравнения на  получим  Обозначим , тогда  Следовательно Первое уравнение совокупности решений не имеет, из второго уравнения получаем

Ответ:

Решить уравнения.

1.                                             Ответ:
2.                                                             Ответ:
3.                                                             Ответ:
4.                                                 Ответ:
5.                                      Ответ:

V. Способ группировки.

Поясним сущность способа на примере .

Решение. Преобразуем члены уравнения

Теперь перегруппируем слагаемые

 Разделим обе части равенства на  Получим  Отсюда

Ответ:

Решить уравнения.

1. .                                   Ответ:
2.                                                  Ответ:
3.                                                 Ответ:
4.                                         Ответ: