Тема 3. КВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ И ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА. Теория. Ключевые методы решения задач. Упражнения.
учебно-методический материал по алгебре (8 класс) на тему

Тема 3. Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета.

- полное квадратное уравнение.

- дискриминант квадратного уравнения.

 - корни полного квадратного уравнения.

Теорема Виета. Если  и - корни квадратного уравнения  то

Примеры. 1. Сумма квадратов корней уравнения  равна 1)  2)  3)  4)  5)

Решение. Обозначим   и - корни квадратного уравнения.  По т. Виета из данного квадратного уравнения получаем  и  Тогда

Ответ: 3.

2. Пусть  и  - корни квадратного трехчлена  Тогда квадратное уравнение, корни которого равны  и  имеет вид 1)  2)  3)  4) 5)

Решение. Применяя к данному квадратному трехчлену т. Виета, получим, что  и  Тогда сумма и произведение корней искомого квадратного уравнения соответственно равны  и  Следовательно, искомое квадратное уравнение имеет вид:

Ответ: 2.

3. Квадратное уравнение, корнями которого являются числа, обратные корням уравнения  имеет вид 1)  2)  3)  4) 5)

Решение. Если обозначить  и  - корни заданного квадратного уравнения, то по т. Виета ,  Корнями искомого квадратного уравнения являются числа  и  Найдем сумму и произведение этих чисел:   Следовательно, искомое уравнение имеет вид  или

Ответ: 3.

4. Квадратное уравнение с рациональными коэффициентами, один из корней которого равен  имеет вид 1)  2)  3)  4)  5)

Решение. Если квадратное уравнение с рациональными коэффициентами имеет иррациональный корень, то второй корень - также число иррациональное, сопряженное первому. Это следует из формулы корней квадратного уравнения  где  в данном случае - иррациональное число. Следовательно, если  то  Тогда по т. Виета находятся коэффициенты приведенного квадратного уравнения:  и уравнение имеет вид

Ответ: 3.

Упражнения по теме: «Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета».

1. Сумма корней квадратного уравнения  равна нулю при  равном 1) -5; 2) -4; 3) 1; 4) 0; 5) 2.

1. В квадратном уравнении

 один корень в два раза больше другого, если  равно 1)   3)   4)  5) 1.

3. Сумма корней уравнения  равна сумме квадратов его корней, если  равно 1)  2)  3)   5) 2.

4. Сумма кубов корней уравнения  равна 1) 33; 2)  3) -62;   5)

5. Вычислить  где  - корни уравнения   2)  3)  4)  5) не существуют.