Тема 13. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. Теория.Ключевые методы решения задач.Упражнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) по теме

Тема 13. Логарифмические уравнения и неравенства.

Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное находится под знаком логарифма или в основании логарифма.

Логарифмом числа по основанию  называется показатель степени , в которую надо возвести основание , чтобы получить число , то есть из  следует  и наоборот.

Основные формулы.

1. 
2. .
3. 
4. - запись числа через логарифм.
5. - основное логарифмическое тождество.
6.  - формула перехода к логарифму по основанию
7. .
8. 
9. 
10. 
11. 
12. 

Основные методы решения логарифмических уравнений.

I. По определению логарифма.

Так решаются простейшие уравнения вида

Примеры.

Решить уравнение. 1)  .

Решение.

Проверка:  верно;

                     верно.

Ответ: -1; 3.

2) .

Решение. По определению логарифма:  Получаем

.

Проверка:  верно.

Ответ: .

Решить уравнения.

1. .                                                        Ответ:
2. .                                                Ответ:      
3. .                                                Ответ:    
4. .                                  Ответ:
5. .                                                               Ответ:
6.                                                                      Ответ:

II. Метод потенцирования.

Сущность метода в следующем: с помощью формул уравнение привести к виду   Это уравнение ( при  равносильно системе

Примеры.

Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ (область допустимых значений переменной): . Преобразуем исходное уравнение

-удовлетворяет условию (1).

Ответ: .

2) .

Решение. ОДЗ    (2)

 не удовлетворяет ОДЗ,  удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 2.

Решение. ОДЗ:

           Найдем связь между основаниями логарифмов. По формуле разности кубов получаем  

 Таким образом

  Значение  удовлетворяет ОДЗ,  не удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: -4.

Решить уравнения.

1.                                                    Ответ:
2.                                                  Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                             Ответ:
5.                   Ответ:  
6.                                  Ответ:  

III. Метод введения неизвестного (подстановка).

Обычно замену (подстановку) производят после некоторых преобразований данного уравнения.

Примеры.

Решить уравнение. 1)

Решение. ОДЗ  В первом слагаемом перейдем к основанию 25, воспользовавшись формулой  Получим . Так как , т.е.  то умножив обе части уравнения на  получим  . Введем новую переменную, обозначив  Получим  квадратное уравнение относительно нового неизвестного :

. Решая его, находим Используя обозначение  получаем

Найденные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

2)

Решение. ОДЗ   С учетом ОДЗ раскроем модуль, получим  Обозначим  приходим к квадратному уравнению  Тогда  

Найденные значения удовлетворяют уравнению.

Ответ: -10; -.

Решить уравнения.

1.                                                              Ответ:              

2.                                                 Ответ:

3.                                         Ответ:

4.                                                    Ответ:

5.                                                        Ответ:

IV. Метод приведения к одному основанию.

Обычно условие примера подсказывает, к какому основанию следует перейти. Часто метод приведения к одному основанию "работает" с методом подстановки.

Примеры. Решить уравнение.

1) .

Решение. ОДЗ: . Перейдем к основанию 2, используя формулу , получим

, , обозначим , тогда

                     . Значит,

Найденное значение удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 64.

2) .

Решение. ОДЗ: Переходим к основанию 2, используя формулу.

Итак,

Тогда исходное уравнение перепишется так

. Обозначим , получим уравнение

   Тогда

Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 1, 4, .

Решить уравнения

1.                                    Ответ:
2.                                           Ответ:
3.                                                      Ответ:
4.                                                              Ответ:
5.                                                  Ответ:  

V. Метод логарифмирования.

Уравнения, содержащие неизвестную величину как в основании, так и в показателе степени, решают, логарифмируя левую и правую части по некоторому основанию. Основание логарифмирования выбирают по виду конкретного уравнения.

Примеры. Решить уравнение.

1) , где

Решение. В данном задании целесообразно прологарифмировать обе части уравнения по основанию 10, поскольку в условии уже имеется десятичный логарифм.

Получаем , откуда  Введем новую переменную . Тогда полученное уравнение перепишется в виде (учитывая, что )

Ответ:

2) .

Решение. ОДЗ:  Прологарифмируем обе части уравнения по основанию .

  Пусть , тогда

Тогда  Найденные значения  удовлетворяют ОДЗ.

Ответ:

Решить уравнения

1.                                                           Ответ:
2.                                         Ответ:
3.                                                     Ответ:
4.                                                        Ответ:
5.                                                           Ответ: