Теорема Виета
план-конспект урока по алгебре (8 класс) по теме

Опубликовано 08.05.2013 - 13:11 - Маслова Вера Георгиевна

Конспект урока

Скачать:

Вложение	Размер
urok_teorema_vieta_17maya.doc	177 КБ

Предварительный просмотр:

Тема урока: Теорема Виета

Цели урока:

«Открыть» зависимость между корнями уравнения и его коэффициентами; научить применять теорему Виета и обратную ей теорему в различных ситуациях при решении квадратных уравнений;
Развивать творческое мышление учащихся и кругозор учащихся;
Воспитание познавательного интереса к учебному предмету математика.

Средства обучения:

приемы технологии УДЕ;
презентация Power Point;
таблицы;
средства компьютерной технологии;
интерактивная доска.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания и постановка проблемы.

- Дома вы должны были заполнить таблицу. Давайте проверим, как вы справились.

(Под диктовку учащихся заполняется таблица на доске)

Уравнение	Корни	Произведение корней	Сумма корней
4х2 + 7х + 3 = 0
x2 + х – 56 = 0
x2 – х – 56 = 0
x2 – х – 1 = 0
x2 + px + q = 0
ax2 + bx + c = 0

Уравнение

Корни

Произведение корней

Сумма корней

4х2 + 7х + 3 = 0

-1; -

-1- = -

x2 + х – 56 = 0

-8; 7

-56

-1

x2 – х – 56 = 0

-7; 8

-56

x2 – х – 1 = 0

;

-1

x2 + px + q = 0

x1 и x2

-p

ax2 + bx + c = 0

x1 и x2

c/а

- в / а

II.I «Открытие» нового знания

- Сравните сумму и произведение корней с коэффициентами уравнений. Какое предположение можно сделать? Какая существует зависимость между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами? Сформулируйте утверждение и запишите его.

II.II. Историческая справка.

Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540-1603).

Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была всего лишь его увлечением, благодаря упорному труду, он добился в ней больших результатов.

В 1591 году он ввел буквенные обозначения для коэффициентов при неизвестных в уравнениях, что дало возможность записать общими формулами корни уравнения, а также его свойства.

Виет сделал множество открытий, сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которое называется теоремой Виета.

II.III.Доказательство теоремы Виета и теоремы, обратной теореме Виета.

Наша с вами задача доказать, что эти соотношения выполняются для всех приведенных квадратных уравнений. Итак, запишем в тетради формулировку и доказательство теоремы Виета

Теорема Виета

Теорема, обратная теореме Виета

Сумма корней приведенного квадратного уравнения х2+рх+q=0 равна второму коэффициенту взятому с противоположным знаком (-р), а произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену (q ).

Дано: х1 и х2 – корни уравнения

х2+рх+q=0 (I)

Доказать: х1+х2= -р

х1*х2 =q

Док-во. Составим квадратное уравнение вида (I), которое имеет корни х1 и х2:

х2+рх+q=0. (I)

х-х1=0,

х-х2=0.

(х-х1)(х-х2)=0•0,

х2-х1х-х2х+х1х2=0,

х2-(х1+х2)х+х1х2=0, (II)

х2 +рх+q=0. (I)

Приравнивая соответствующие коэффициенты выведенного уравнения (II) и исходного уравнения (I), мы находим доказываемые соотношения (III) и (IV):

р= - (х1+х2), или х1+х2= - р

х1 • х2 = q

Если в квадратном уравнении второй коэффициент (р) противоположен сумме некоторых двух чисел x1 и x2, а свободный член (q ) равен произведению тех же чисел, то числа x1 и x2 являются корнями данного квадратного уравнения.

Дано: х1 и х2 – числа, такие что

р= -(х1+х2), q=х1*х2

х2+рх+q=0 (I)

Доказать: х1 и х2 – корни уравнения

х2+рх+q=0

Док-во. Согласно условию теоремы напишем квадратное уравнение (II):

х2-(х1+х2)х+х1х2=0 (II)

Подставим х1, вместо х в уравнение (II),

х2-(х1+х2)х1+х1х2?0

х21-х21+х1х2-х1х2=0

0=0

Значит, х1- корень уравнения (II).

Подставим х2 вместо х в уравнение (II).

х22 - (х1+х2) х2+ х1х2 = 0

х22 – х1х2 + х22 + х1х2 = 0

0=0

Следовательно, х1 и х2 – корни уравнения (II).

III Отработка полученных знаний

№1. а) Проверить двойную таблицу сумм и произведений однозначных положительных чисел (рис.1).

Составим квадратное уравнение с корнями, указанными в одной из клеток этой таблицы; например, в пересечении столбца x2 = 5 и строки x1 = 4 мы находим два числа. Это означает:

- (a + b) = - (4 + 5) = -9 = p, 4 * 5 = 20 = q.

x1 + x2 = -p

x1 * x2 = q

x2 – px + q = 0

x2 – 9x + 20 = 0

x2 – 15x + 54 = 0

. . .

(x1 = 4; x2 = 5)

(x1 = 6; x2 = 9)
Рис.1

№2. Выясните, имеют ли данные уравнения корни. В случае утвердительного ответа найдите их, используя теорему, обратную теореме Виета (х12):

№	Уравнения	Исследование существования корней	х1 • x2	х1+ x2	х1	x2
1	х2 - х - 6 = 0
2	х2 + х – 6 = 0
3	х2 + х + 6 = 0
4	х2 + 5х – 6 = 0
5	х2 + 5х + 6 = 0
6	х2 - 6х + 8 = 0
7	х2 - 2х + 3 = 0
8	х2 +2007 х – 2008 = 0
9	х2 – (1 - )х - = 0
10	-х2 + 8х – 12 = 0

№	Уравнения	Исследование существования корней	х1 • x2	х1+ x2	х1	x2
1	х2 - х - 6 = 0	+	-6	1	3	-2
2	х2 + х – 6 = 0	+	-6	-1	-3	2
3	х2 + х + 6 = 0	_
4	х2 + 5х – 6 = 0	+	-6	-5	-6	1
5	х2 + 5х + 6 = 0	+	6	-5	-3	2
6	х2 - 6х + 8 = 0	+	8	6	4	2
7	х2 - 2х + 3 = 0	_
8	х2 +2007 х – 2008 = 0	+	-2008	-2007	-2008	1
9	х2 – (1 - )х-= 0	+	-	1 -	-	1
10	-х2 + 8х – 12 = 0 x2-8x+12=0	+	8 -8	-12 12	2	6

№3. Составьте квадратное уравнение, имеющее заданные корни х1 и x2:

№	х1	x2	х1+ x2	х1 • x2	Квадратное уравнение
1	-3	5
2	4	7
3	0	7
4	-
5	-0,5	-0,2			_______________________________ _х2 ________х 1=0
6	1	2			______________________________ 3 х2 _______х ______= 0

№	х1	x2	х1+ x2	х1 • x2	Квадратное уравнение
1	-3	5	2	-15	x2-2x-15=0
2	4	7	11	28	x2 -11x+28=0
3	0	7	7	0	x2-7x=0
4	-		0	-2	x2-2=0
5	-0,5	-0,2	-0.7	0,1	x2+0,7x+0.1=0_________________ _х2 - _0,7х - 1=0
6	1	2			х2 – 10 / 3 х + 8 / 3 = 0_________ 3 х2 ___10____х ___8___= 0