Теорема Виета
материал по алгебре (8 класс) на тему

План урока № 49 по алгебре в 8 классе.

Тема: Теорема Виета.

Цели урока: а) обучения: Научить учащихся решать квадратные уравнения;

                                            сформировать понятие теоремы Виета;

                     б) воспитания: Формировать мышления, в слуховую и                

        зрительную памяти, приучать к аккуратности

        культуре  устной и письменной речи;

в) развития: Развивать умение оперировать с формулами в

            различных ситуациях.

Комплексное методическое обеспечение: компьютер, мультимедийный

        проектор, карточки.

Ход урока:

I.Организационный момент:

1. проверка посещаемости и готовности учащихся к уроку;

2. ознакомление учащихся с темой и целями урока.

II. Актуализация опорных знаний, умений, навыков и мотивационных состояний:

1. проверка дом. задания:                                         ( 3 минут)

    а) По дом. заданиям есть вопросы, если есть проведем  взаимопроверку тетрадей . Соседи по партам поменяли свои тетради между собой.. Соседи – пары есть замечания?

    б) Через экран показываем решение заданий . Указать моменты, где могут быть ошибки.    

2. Устные упражнения:                                        ( 12 минут)

    1) Назвать I-й, II-й и свободный член.

          а) 3у2 – 5у +1=0;      в) 12х-7х2+4=0;         д) 5х - х2=0;

          б) –х2+х-3=0;                  г) 9х – 6+х2=0;          е) х2 – 7=0

    2) Имеет ли смысл выражение:

          а) √16;        б) √-9;        в) √14;       г) √52 – 24

    3) Какие уравнения называется приведенными квадратными уравнениями?

Выбери из данных уравнений приведенное квадратное уравнение.

               ах2 + вх + с =0 ,         D = в2 – 4ас

а =1,       у2 + ру + q = 0,          D = p2 – 4 q ,        p = - в/а; q = c/a

               az2 + вz + c = 0,         D = ?

               x2 + px + q =0 ,          D = ?

Придумайте приведенное квадратное уравнение. Назовите p, q ?

( Например: х2 + 3х + 9 =0, p = 3, q = 9;

                     x2 – 4x + 2 = 0, p = - 4, q = 2 )

    4)  Найдите корни квадратного уравнения.

             1’)    Х2 + 3х – 4 = 0

                p = ?, q = ?                    ( p = 3, q = - 3 )

                D = ?                         ( D = p2  - 4q = 32 – 4 . (- 4) = 9 + 16 = 25 )

         x1 = ? , x2 = ?                      ( x1 = -p + √D/ 2a = -3 + √25/ 2*1 = 1,

                                                      x2 = -p - √D/ 2a = -3 - √25/ 2 . 1 = -4 )

Найдите х1 + х2 = ?                     (х1 + х2 =-4 +1 = -3 )

            - (х1 + х2 ) =?                    ( - (х1 + х2 ) = - ( - 3) = 3)

                х1. х2 =?                              (   х1 . х2 = - 4 . 1 = - 4 )

Есть ли такие коэффициенты в данном квадратном уравнении?

Итак: а) p = 3 = - ( x1 + x2)

4. ( x1 + x2) = p

 ( x1 + x2) = - p

б)   x1 . x2 = - 4 = q

     x1 . x2 = q

2’) (x + 4)(x – 1) = 0. Найти корни х1=?, х2=?

Если а =1, то приведенное квадратное уравнение имеет вид

x2 +px +q = 0, где х1 + х2 = -p

                               x1 * x2 = q

     3’) Можно ли  составить квадратное уравнение с корнями

                а) х1 = - 4, х2 =1 ( Вместе)

          Итак случай а) х1 = - 1, х2 = 1

         Х1 + х2 = - 4 +1 = -3       -p =3, p = -3

         X1 . x2 = -4 . 1 = -4

        Уравнение      x2 +px + q = 0

                             X2 + 3x -4 = 0

Вывод: Данная формула доказывается теоремой Виета

           Давайте запишем число, тему, классную работу.

                б) х1 = 5, х2 = - 2 (Самостоятельно в тетрадях)

Случай б) оформляют в тетрадях

III. Формирование новых понятий и способов действий:

Доказательство теоремы Виета                                      ( 5 минут )

Т. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение  корней равно свободному члену.

Доказательство: х2 + px + q = 0

                            D = p2 – 4q , D > 0  ( 2 к.)

                            Х1= ( - p - √D)/2 и x2 = ( - p + √D)/2

Найдем сумму и произведение корней:

X1 +x2= ( - p - √D)/2 + ( - p + √D)/2 = -2p/2 = -p;

X1 *x2= ( - p - √D)/2  . ( - p + √D)/2 = ((-p)2- (√D)2)/4 = (p2 – (p2- 4q))/4=

= 4q/4 = q.

Итак х1 + x2 = -p,   x1 . x2 = q

Если в квадратном уравнении x2 + px +q =0: D=0, то имеет 1 корень.

Т.е. квадратное уравнение имеет 2 равных  корня

Если нам надо найти сумму и произведение квадр. уравнения

ах2 + вх + с = 0

Равносильное ему приведенное уравнение имеет вид

Х2 + в/а . х  + с/а =0

По теореме Виета  : х1 + х2 = - в/а,  x1 . x2 = q = с/а  

 Запишем дом. Задание: п.23 №573 (в, е, ж, з) . Рассмотреть доказательство обратной теореме Виета.

IV. Закрепление умений и навыков:

Решаем совместно 1 пример №573 (а)                                  ( 20 минут )

Х2 – 37 х + 27 =0

a=1, p = -37, q = 27

D = p2 – 4q = (- 37)2 – 4 . 27 = 1369 -108 = 1261 >0, (2 корня)

По т.Виета: х1 + х2 = -p = -(-37) = 37

                    x1 * x2 = q = 27

Решают самостоятельно №573 (б, г, д)

б) у2 + 41у – 371 = 0

а = 1, p = 41, q = -371

D = p2 – 4q =  412 – 4 . ( - 371) = 1681 + 1484 = 3165 >0 (2 к.)

 По т.Виета: х1 + х2 = -p = - 41

                    x1 * x2 = q = - 371

г) у2 – 19 =0

а =1, p =0 , q = -19

D = p2 – 4q =  02- 4 . 1 .  (- 19) = 76> 0, ( 2 к. )

По т.Виета: х1 + х2 = -p = 0

                    x1 * x2 = q = 19

д) 5х2  + 12х + 7 = 0     ( Не приведенное уравнение!)

а = 5, в = 12, с = 7

D = 122 – 4 . 5 . 7 = 144 – 140 = 4>0,  ( 2 к. )

 По т.Виета: х1 + х2 = - в/а = -12/5

                    x1 * x2 = q = с/а = 7/5

Провожу физкультминутку

Самостоятельная работа по карточкам:            (5 -10 минут)

(Используем копировку, сдают  только копировальные работы на листочки )

1. Составить квадратное уравнение по данным корням:

                            В 1. х1 =  7, х2 = 2

                            В 11. х1 = -3, х2 = 5

2. Найти p, q в заданных квадратных уравнениях, если D>0

                  при    В 1. х2 – 2х – 4 =0

                            В 11. х2 – 6х + 3 =0

V. Итог урока.

Теорема Виета  х2 +px + q = 0, D>0, х1 + x2 = -p,   x1 . x2 = q

        D=0,  имеет 2 равных корня

В не приведенном квад. уравнение ах2 + вх + с =0

По теореме  Виета          х1 + x2 = -в/а,   x1 . x2 = с/а

Оценки: …….