Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Матричные уравнения. Вычисление обратной матрицы.
методическая разработка по алгебре по теме

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

(ГБОУ КГИС №1)

Методические рекомендации

по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

Практическое занятие №1. Выполнение операций над матрицами. Вычисление определителей.

Автор-составитель:

преподаватель Пархоменко Е.А.

2012

Практическое занятие №1.

Тема: Выполнение операций над матрицами. Вычисление определителей.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению определителей, выполнению операций над матрицами. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Щипачев В.С.  Основы вышей математики. - М.: Высшая школа, 2009 -   480с.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Выполнение операций над матрицами. Вычисление определителей».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

 по решению задач.

Определение. Матрицей из m строк, n столбцов называется прямоугольная таблица  чисел ; - элемент матрицы; i-номер строки; i=1,…,m; j-номер столбца, j=1,…,n; m, n – порядки матрицы. При m=n - квадратная матрица.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим матрице , называется число .

Для вычисления определителя можно использовать элементы произвольной строки или столбца.

Определение. Алгебраическим дополнение  элемента  называется число, равное .

Определение. Дополнительным минором элемента  матрицы  называется определитель матрицы n-1-го порядка, полученный из матрицы  вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

.

Транспонирование матрицы – такое преобразование матрицы, при котором строки становятся столбцами с сохранением порядка следования.

Свойства определителей.

При транспонировании матрицы определитель не меняется.

При перестановке любых двух строк (столбцов) определитель меняет только знак.

При умножении строки (столбца) на некоторое число определитель умножается на это число.  

Если все соответствующие элементы квадратных матриц одного порядка одинаковы, за исключением элементов одной i-ой строки, то      .

Величина определителя не изменяется, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Определитель равен нулю, если

- все элементы некоторой строки (столбца) равны нулю.

      - две строки (столбца) одинаковы.

- две строки (столбца) определителя пропорциональны.

Методы вычисления определителей.

1). Разложение по строке или столбцу.

2). Метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца. Метод состоит в том, что с учетом свойств определителя при помощи какого-либо столбца (строки) путём умножения его на  соответствующие числа и вычитания из остальных столбцов (строк), зануляются все элементы выбранной строки (столбца) кроме одного, принадлежащего вычитаемому столбцу (строке).    

3). Метод приведения к треугольному виду. Алгоритм, предложенный в предыдущем пункте, используется для последовательного зануления всех элементов первой строки (столбца) кроме одного, второй строки (столбца) – всех кроме двух и т.д. В итоге определитель преобразуется к треугольному виду. Величина такого определителя равна произведению элементов главной диогонали.

4). Вычисление с использованием теоремы Лапласа, согласно которой определитель - го порядка равен сумме произведений всех его миноров -го порядка, стоящих в выделенных строках (столбцах), на их алгебраические дополнения.

Примеры

1. Вычислить данный определитель  четвёртого порядка с помощью разложения по строке или столбцу:    

  Решение. Удобнее всего делать разложение по строке или столбцу, в которых встречается наибольшее число нулевых элементов. В данном случае – это четвёртый столбец. Итак имеем

  Полученные в итоге два определителя третьего порядка вычислим тем же методом. В определителе  нулевых элементов нет, поэтому можно выбрать для разложения любой из столбцов, например, первый. В  единственный нулевой элемент находится на пересечении первого столбца со второй строкой. Для разнообразия будем разлагать  по второй строке:

Таким образом окончательно получим

2.  Используя метод обращения в нуль всех, кроме одного, элементов строки или столбца вычислить определитель матрицы

Решение. Будем занулять все, кроме первого, элементы первой строки. С этой целью вычтем из второго, третьего и четвёртого столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2, 3 и 4. Получим

Представленный в таком виде определитель разложим по первой строке:

Определитель третьего порядка, к которому свёлся исходный определитель, будем вычислять тем же способом. Вычтем из второго и третьего столбцов первый столбец, умноженный соответственно на 2 и 7. Получим (попутно вынося общие множители из столбцов)

Матрицы, операции над матрицами

Определение. Суммой матриц одного порядка   называется матрица   с элементами , где

Определение. Произведением матрицы   на число  называется матрица   того же порядка с элементами .

Определение. Произведением матрицы   на матрицу   называется матрица   с элементами , где  

Примеры

Вычислить выражение  , если

                      , .

Решение. Прежде всего преобразуем матрицу , используя определение произведения матрицы на число

                         .

Найдём теперь . По определению, чтобы получить матрицу небходимо в  поменять местами соответствующие строки и столбцы, таким образом имеем

                                .

Вычислим теперь искомое выражение    

Вычислить выражение , если

                             .

Решение.  Выражение  представляет собой матричный многочлен

  , где  - единичная матрица.

Вычислим последовательно слагаемые этого выражения:

,

,    .

Подставив всё это в , имеем

                    .

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению определителей, выполнению действий над матрицами.

› Контрольные вопросы:

1.Прямоугольная матрица, ее порядок, главная и побочная диагонали. 

2.Единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспонированная матрицы.

 3.Сложение матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц.

 4.Свойства ассоциативности и коммутативности матриц.

5.Приведение матриц к ступенчатому виду методом.

6.Определитель матрицы. Его порядок.

7.Понятие определителя применительно к матрицам второго и третьего порядков.

 8.Алгебраическое дополнение элемента.

9.Разложение определителя по строке или столбцу.

› Подведение итогов практического занятия. Рефлексия.