План урока алгебры и начал анализа, 10-11 класс, по теме "Решение уравнений , содержащих обратные тригонометрические функции"
план-конспект занятия по алгебре (10, 11 класс)

Конструирование урока математики

Автор: Мурачева Светлана Ивановна

Место работы, должность: ЧУ ОО СОШ «Росинка», Учитель математики

Регион: Москва

Предмет: Математика (алгебра и начала анализа)

Класс: 10

Тема урока: Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Вид урока: урок общеметодологической направленности.

Деятельностная цель: формирование у учащихся деятельностных способностей и способностей к конструированию и систематизации методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, формирование способности у учащихся к новому способу действия, связанного с построением структуры решения уравнений на основе свойств обратных тригонометрических функций.

Содержательная цель: построение деятельностных норм и выявление теоретических основ решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции, построение методов, связывающих изученные понятия в единую систему.

Задачи урока: расширение понятийной базы по учебному предмету за счет включения в нее новых элементов, в частности, классификации методов решения уравнений данного типа.

Предметный результат: учащиеся научатся применять свойства обратных тригонометрических функций к решению уравнений, получат возможность учиться выбирать способы решения на основе анализа теоретических обоснований.

Развивающие цели: развивать умения анализировать, сравнивать, обобщать, систематизировать.

Метапредметный результат:

– общеучебные: самостоятельное выделение познавательной цели, поиск и выделение информации, составление алгоритма решения уравнений;

– регулятивные: сравнивать свое решение с эталоном, осуществлять самоанализ успешности участия в учебном процессе, вносить необходимые коррективы в действия с учетом сделанных ошибок;

– коммуникативные: участвовать в обсуждении проблемных вопросов, формировать и аргументировать свое мнение, сотрудничать в работе с одноклассниками, развивать свою речь;

–личностные: осознание учащимися практической и личностной значимости результатов обучения, проявление интереса к изучаемому предмету.

Методы обучения: деятельностный, проблемный, поисковый, наглядный.

Форма организации познавательной деятельности: фронтальная, групповая (парная), индивидуальная.

Средства обучения: компьютер, проектор, экран, учебник, карточки для индивидуальной работы, оценочные листы.

План урока

Анализ урока

(с точки зрения формирования универсальных учебных действий – УУД)

Заключение: основной результат, достигнутый на уроке – развитие личности ребенка на основе универсальных учебных действий, Принцип организации диалога на уроке, осуществление дифференцированного обучения, повышение мотивации и интереса к учению обучающихся позволило помочь ребенку эффективно освоит новую тему и осознать необходимость изучения методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Приложения

Приложение №2

Свойства обратных тригонометрических функций, вытекающих из их определений

        X=

        X=

Приложение №1

Определение обратных тригонометрических функций

Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями: приложение 2

arcsinx = -arcsin(-x)=  – arcos x= arctg();

arccosx = π – arcos (-x)=  – arcsin x= arcctg();

arctgx = -arctg(-x) =  – arcctg x= arcsin();

arcctgx = π – arcctg(-x) =  – arctg x= arccos();

Приложение (карточка №3)

Заполните пропуски в тождествах.

1.

2.

3.  

4.

5.

6.

Приложение (карточка №6)

Вариант 1

Найдите пары: «Уравнение – его решение».

Вариант 2

Найдите пары: «Уравнение – его решение».

Приложение (карточка №4)

Приложение (карточка №5)

Решить уравнения

Литература

1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике: Алгебра. Тригонометрия: Учебное пособие для студентов физико-математических спец. Педагогических институтов.- М.: Просвещение, 1991.-352с.
2. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Дополнительные главы к школьному учебнику. 8-9 кл. – М. : - Прсвещение, 1997г.
3. Мерзлян А.Г., Полонский В.Б.Ю Рабинович Е.М, Якир М.С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-Прогресс: Магистр – S, 1998-656с.
4. Курс лекций «Уравнения и неравенства в школьном курсе математики» автор Чулков Павел Викторович, 2016г.

Конспект урока математики по теме «Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции», 10 класс

Цели и задачи (см. конструирование урока…)

Ход урока:

1. Этап: организационный
2. Этап: актуализация опорных знаний:

1. Повторить свойства обратных тригонометрических функций репродуктивно, на первом уровне, проверить по эталону на экране (приложение 1,2) и (21) основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями.
2. Заполнить пропуски в тождествах (репродуктивный метод на втором уровне) по карточке (приложение 3), взаимопроверка в парах.

3. Этап: постановка учебной задачи, мотивация, создание проблемной ситуации: вывести на экран приложения №4 и №5. Проблемная ситуация: Возможно ли провести классификацию уравнений по методам решений? Рядом с каждым методом (1-4) указать номер уравнения, которое можно решить данным методом (работа в парах). Возникли затруднения. Обсуждение при проверке. В результате выполнения задания появилась схема и сформирован понятийный аппарат сущности каждого метода:

1. Уравнения 9, 10, 11 решаются на основе условия равенства разноименных обратных тригонометрических функций. Метод основан на том, что левая и правая части этих уравнений являются разноименными обратными тригонометрическими тождествами (приложение 21)
2. Задания №3,13 решаются на основе монотонности функций.

Вопрос: В каких случаях применяется метод обращения к монотонности функций? Ответ: Если уравнение имеет в одной части функцию монотонную, а в другой- постоянную, то уравнение имеет не более одного корня. Или: одна часть уравнения представляет собой возрастающую, а другая – убывающую функцию, уравнение не может иметь более одного корня.

Самый распространенный их этих методов – метод замены переменной. Если замена  не очевидна, выполнить нужно некоторые равносильные преобразования. Этим методом решаем уравнения №12, 16,14. Решение уравнений №9, 12 – с комментариями. 

Самостоятельная работа.

1 вариант                                          2 вариант

№1, №6                                             №4,№5

Самопроверка по эталону;

Итог урока: заполнить приложение карточка №6

Ответы к уравнениям (карточка№5):

№1:(0;2),

№3: 1,5

№4:(1;0)

№5: 7

№6: -

№9: 1

№10: ,

№11:1

№13:

4) Метод использования свойства ограниченности функции:

Если функции f(x) и q(x), таковы, что для всех х выполняется неравенство f(x)≤c и q(x)≤d и дано уравнение f(x)+q(x)=c+d, то оно равносильно системе

Примеры решения некоторых уравнений (карточка №5)

№1.  

Так как,   при , то уравнение (1) равносильно системе:

Ответ: (0;2).

№3.

где f(x)== 3- – возрастает при х> 

q(x)=убывает, причем -;

равносильна исходному уравнению и имеет единственное решение x=

Ответ:1.5

№4

arccos(x+y) + arccos(x – y)=0

Так как arcos(x+y)≥0 при (x+y)≤1 и arcos(x – y)≥1, то уравнение равносильно системе:

Ответ: (1;0)

№5

arcsin(x2– 6x – 8) + arcsin(15 – 2x) = 0

arcsin(x2– 6x – 8) = – arcsin(15 – 2x)

arcsin(x2– 6x – 8) = arcsin(2x – 15)

                 x=7.

Ответ: 7.

№6

arccos(4x2 – 3x +2) + arcos(3x2 – 8x –4) = π

arccos(4x2 – 3x +2) = π – arcos(3x2 – 8x –4)

arccos(4x2 – 3x +2) = arcos(–3x2 – 8x –4)

          x= –

Ответ: –

№17

arcsin2x + arcsinx =

ОДЗ:         0 < x ≤

Пусть arcsin2x=α, а arcsin x = β, тогда при 0 < x ≤  выполняются неравенства

         0 < α ≤

     +  0 < β ≤

        ________

         0 < α + β <

При этих условиях

sinα = 2x

cosα =  

sinβ = x, cosβ =

Т.к. y=cosα убывает на (0; π), то на нем – этом промежутке – исходное уравнение равносильно на ОДЗ:

Cos(arcsin2x + arcsinx) = cos, т.е.

,

но ≥0, значит, уравнение равносильно уравнению:

4x4 – 5x2 +1 = (+2x2)2

4x4 – 5x2 + 1=  + 2x2 + 4x4

x2 =

Ответ: