Разработка урока по алгебре и началам анализа в 10 классе по теме" Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Урок алгебры и начала анализа

Класс 10

 Муниципальное общеобразовательное учреждение – лицей г. Алейска Алтайского края

Направление физико-математическое

Учитель Маркова Людмила Константиновна

В основу урока  положена модульная педагогическая технология, главным отличием которой является планирование совместной деятельности ученика и учителя.

Данный урок 7-8 в системе уроков по теме «Обратные тригонометрические функции» и 2-3 по теме «Упражнения, содержащие обратные тригонометрические функции». Модуль рассчитан на 2 часа.

Принцип отбора содержания – постепенное увеличение трудности. В каждом учебном элементе даётся указание учителя, необходимый теоретический материал.

Форма  работы учащихся – индивидуальная,  в начале урока – работа в парах.

Основной метод – самостоятельная работа.

Урок способствует формированию ОУУН таких, как планирование деятельности, умение выделить главное, сопоставлять, сравнивать, проводить аналогии, навыков самооценки и самоконтроля.

Теоретическое планирование тем        

М1        М2        М3        М4        М5        М6      М7

 1          2-3         4-5         6          7-8          9         10

 М1 - Определение арксинуса, арккосинуса.

 М2 – Свойства и графики обратных тригонометрических функции.

 М3 – Преобразование и вычисление выражений, содержащих

обратные тригонометрические функции (практикум).

 М4 - Способы решения уравнений, содержащих обратные

тригонометрические функции (урок-лекция).

 М5 - Решение уравнении, содержащих обратные

тригонометрические функции (урок-практикум).

 М6 — Решение простейших неравенств. содержащих обратные

тригонометрические функции.

 М7 — контрольная работа

Модульная программа

По теме «Обратные тригонометрические функции»

Комплексная дидактическая цель:

-    усвоить понятия «арксинус», «арккосинус», «арктангенс». «арккотангенс», научиться вычислить их значения;

-    изучить свойства обратных тригонометрических функций, научиться строить их графики;

-    уметь применять изученные свойства и определения обратных тригонометрических функций для преобразования и вычисления значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции;

-    изучить основные методы и приемы решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Знать: 1. Определения обратных тригонометрических  функций

2.  Свойства и график каждой обратной тригонометрической функция y=arcsin х. y=arccos х. y=arctg x, y=arcctg x

3. Основные тождества, связанные с обратными тригонометрическими функциями.

Уметь: 1. Находить значения обратных тригонометрических функции для «табличных» значений аргумента;

2. Применять определения и свойства обратных тригонометрических функция для преобразования и вычисления значений выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

3. Решать уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции

Тема урока: Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Тип урока: урок формирования навыков и умений.

Вид урока: урок – практикум.

Цели урока:

Образовательные: 1. Формировать умения решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции,  применяя определения и свойства этих функций.

                                2. Способствовать формирования общеучебных умений и навыков: самооценки и самоконтроля, планирования своей деятельности, умения выделить признаки объектов и на их основе проводить сравнения, аналогии.

Развивающие:        

Способствует развитию:

1. стратегических свойств мышления через построения плана решения уравнений и выбор способов его реализации.
2. продуктивности и результативности мышления через внутрипредметный перенос знаний, умений в новую учебную ситуацию.

Воспитательные:  

Способствовать:

1. развитию

- целеустремлённости через потребности ставить цели и  достигать их;

- настойчивости, воли через формирование способности к преодолению трудностей;

2. формированию:

- осознанности своих действий;

- положительной мотивации учения через создания ситуации успехов;

Оборудование: модульная программа для каждого ученика, набор карточек с ключами для проверки решений учащимися

Ход урока

I Сообщение темы и постановка цели урока

II Водный инструктаж учителя

         Сегодня вы будете работать с модульной программой,  состоящей из 6 учебных элементов.

        Выполнив задания самостоятельной работы, вы должны объявить о её окончании и получить от учителя эталон.

         Свои ответы каждый из вас должен сравнить с эталонными и исправить ошибки. Если вы получили менее указанного в инструктаже баллов, то должны набрать дополнительные баллы в корректирующих заданиях. Для этого необходимо решить задания другого варианта, аналогичные тем, где допущена ошибка. При необходимости вы можете обратиться за консультацией к учителю. Оценка за весь модуль зависит от суммы набранных баллов по всем учебным элементам.

        Для оценки «5» необходимо набрать не менее 31 балла (из 34 возможных), если 25 <= n <> 30, то получите оценку «4», при 20<= n <> 24 – оценка «3», при <20 – оценка «2».

Выполнив задание, каждый раз необходимо отмечать количество баллов в оценочном листе.

 III Работа с модульной программой

 IV Подведение итогов урока

 V Информация о домашнем задании

Модульная программа урока

УЭ – 0 – интегрирующая цель

УЭ – 1 входной контроль

УЭ – 2 простейшие уравнения,  содержащие обратные тригонометрические функции

УЭ – 3 уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, вида P(f(x))=0

УЭ – 4 уравнения, содержащие разные обратные тригонометрические функции, зависящие от разных аргументов

УЭ – 5 выходной контроль

УЭ – 6 самооценка и рефлексия.

Оценочный лист учащихся

УЭО Интегрирующая цель.

         В процессе работы над учебными элементами вы должны: повторить определения и свойства обратных тригонометрических функций, научиться определять тип уравнения и применять изученные свойства функции и их определения для решения уравнения в соответствии с выбранным способом, научиться решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции; определить свой уровень знаний по теме.

Учебный элемент 1 (15мин)

Цель: Повторить определения обратных функций и основные тождества, связанные с ними.

1. Вспомните и запишите в тетрадь определения четырех обратных тригонометрических функций (старайтесь не использовать учебник и тетрадь)

2. Проверьте правильность записанного, используя конспект по теме
3. Продолжите предложения,  чтобы получились верные равенства (ответы записать карандашом в карточке) (а принадлежит области допустимых значений)

1. Sin(arcsin a)=
2. Cos(arccos a)=
3. tg(arctg a)=
4. ctg(arcctg a)=
5. arcsin(sin a)=
6. arccos(cos a)=
7. arctg(tg a)=
8. arcctg(ctg a)=        

4. Выполнив взаипороверку, используя ключ. Уточните при этом, работая в парах, а полученные равенства являются тождествами.
5. Если все ответы верны, переходите к самостоятельной работе, если есть ошибки – повторите материал по теме «Обратные тригонометрические функции» ещё раз, используя записи в тетради.
6. Выполните самостоятельную работу

                               1 вариант                                                                         2 вариант

Найдите значение выражения.

1. arccos 1/√2 – arcsin 1 (1б)                                   arctg 1 – arccos 1/√2 (1б)
2. arcsin(sin 1100) (2б)                                             arccos(cos (-120))  (2б)
3. sin(arcsin 8/17) (1б)                                             cos(arccos 15/17) (1б)
4. sin(arccos 8/17) (2б)                                            cos(arcsin 15/17) (2б)
5. cos(2arccos 1/3) (3б)                                           cos( 2arcsin 1/4 ) (3б)

Список правильных ответов получите у учителя

Исправьте ошибки и проставьте заработанных баллов в свой оценочный лист.

Если вы набрали 6 баллов и выше, то переходите к следующему учебному элементу. Если же набрали меньше 6 баллов, то прорешайте задания из другого варианта, аналогичные тем, в которых была допущена ошибка, и проставьте набранные баллы  в графу и «корректирующие задания».

Учебный элемент 2 (12мин)

Цель: Закрепить умения решить простейшие уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

     Используя приведённую выше таблицу и свойства обратных тригонометрических функций, решить уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции

Пример:  arccos x – arcsin x = arccos √3/2.

Решение: Учитывая, что arccos √3/2 = π/6 и arcsin x + arccos x = π/2, заменим в уравнении arcsin x выражением π/2 – arccos x, получим уравнение arccos x – (π/2 – arccos x)= π/6,

2arccos x - π/2 = π/6, 2arccos x = 2π/3.

arccos x = π/3, x = cos π/3, x= ½

Ответ: ½

Задания самостоятельной работы:

                            1 вариант                                                                                       2 вариант

1.        2arccos x = 6,3                                                                                3arcsin x = 9,6
2. 6arcsin(x2 – 6x+8,5) = π                                                                   2arcsin(x2  - 3x + 3) = π
3. arcsin(x2 + x + 1/√2) = arccos(x2 + x + 1/√3)                  2arccos(x2 + x +√3/2) = arcsin(x2 + x + √3/2)

Проверьте и оцените свою работу. Правильные ответы возьмите у учителя.

Если есть ошибки, исправьте их, проставьте количество балов в оценочные листы. Если вы набрали 5 и более балов,  то переходите к следующему учебному элементу, если же меньше 5, то решайте задания другого варианта, аналогично тому, в котором сделали ошибку.

Проставьте набранные баллы  в графу

 «корректирующие задания».

Учебный элемент 3 (13мин)

Цель: Формировать умение решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции, вида P(f(x)) = 0, где P – некоторая рациональная функция, а f(x) – одна из аркфункций.

1. Уравнения вида P(f(x)) = 0, где P - некоторая рациональная функция, а f(x) – одна из аркфункций сводятся к простейшим f(x) = y1, где y1 – корни уравнения P(t) = 0, t = f(x)

Пример. 

Решение. Пусть , где

Уравнение имеет вид

Оно равносильно системе

Решим квадратное уравнение:

Оба корня отличны от нуля и удовлетворяют условиям

Решим совокупность уравнений:

            ,        

Ответ: .

2. Выполните самостоятельную работу.

Задания самостоятельной работы

1 вариант                                                         2 вариант

1. 3arcsin2x-10arcsinx+3=0 (2б)                            1) arcsin2x-π/2arcsinx+π2/18=0  (2б)
2. arctg2(x/3)-4arctg(x/3)-5=0 (3б)                 2) arctg2(3x+2)-2arctg(3x+2)=0  (3б)

Проверьте и оцените свою работу.

Если вы получили 5 баллов, переходите к следующему учебному элементу, если есть ошибки – исправьте их и решите задания другого варианта, аналогичные тому, в которых допущены ошибки.

Поставьте количество баллов в оценочный лист.

Учебный элемент 4 (15 мин)

Цель: Формировать умения решать уравнения, содержащие разные обратные тригонометрические  функции или функции, зависящие от разных аргументов.

1. Указания учителя:

Если в уравнения входят выражения, содержащие разные обратные функции или они зависят от разных аргументов, то сведение уравнения к его алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получившиеся при этом посторонние корни определяются проверкой.

Если в качестве прямой функции выбирается тангенс или котангенс, то решение, не входящее в область определения этих функций, могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значений тангенса или котангенса от обеих частей уравнения, следует убедиться в том, что среди чисел , не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Пример: Решить уравнение

Решение:

Если равны углы, то равны и тригонометрические функции от них (обратное неверно).

Найдем

Пусть . Тогда sin t= ,        (по определению арксинуса)

cos t=

Получим уравнение

        или    

                                                         х2= ;  х=

Проверка: при х=0 arcsin0=2arcsin0

               0=0 – верно

0 – корень уравнения

Если х=,        0 < arcsin <

Найдем arcsin(x)=arcsin  > arcsin  >

Следовательно, 2arcsin  >2 , 2arcsin  >

Итак, при х=  левая часть уравнения меньше  , а правая – больше

Значит,  - посторонний корень.

Если х=       

arcsin() < arcsin() < ,

arcsin() <  ,        2arcsin  <

Левая часть уравнения больше, чем  , а правая – меньше, чем ;

Значит,  – посторонний корень.

Ответ: {0}.

2. Решите самостоятельно:

1. Arctg1/7+arcsin x=π/4  (3б)
2. 2arcsin x=arccos 2x  (3б)

Проверьте и оцените свою работу, показав ее учителю. Если есть ошибки – исправьте их.

После этого переходите к следующему элементу.

Учебный элемент 5 (20 мин)

Цель: Проверить усвоение изученной темы.

Выполните самостоятельную работу:

           1 вариант                                                     2 вариант

1. arcsin(x2-3x+1/2)=π/6                               1. arcsin(x2-4x+2)=-π/2                   (2б)
2. arccos2x-3π/4+arccos x+π/8=0             2. arcsin2x-3 π/4arcsin x+ π2/4=0    (2б)
3. 3arcsin 2x+2arccos 2x=5π/4                 3. 5arctg 3x-2arctg 3x=3 π/4           (3б)

        Проверьте и оцените свою работу, взяв ответы и решения у учителя. Исправьте ошибки, если они есть. Поставьте баллы в оценочные листы. Если допущены ошибки, то прорешайте аналогичные задания из другого варианта. Если ошибок нет, то переходите к следующему учебному элементу.

Учебный элемент 6 (4 мин)

Цель: самооценка и рефлексия.

Подсчитайте все полученные баллы.

Если вы набрали не менее 31 балла, то получаете «5»

Если вы набрали от 25 до 30, то «4», если от 20 до 24 – «3».

Ответьте на вопросы:

1. Удалось ли достичь поставленной цели?
2. Часто ли при самостоятельном решении уравнений приходилось обращаться к:

1. Подобным решенным задачам?
2. Помощи учителя, товарищам?
3. Справочным материалам?

3. Что вызвало наибольшие затруднения?
4. Как вы оцениваете полученные знания (глубокие, осознанные, предстоит осознать, неосознанные)?
5. Комфортно ли вы чувствовали себя на уроке по сравнению с другими уроками?

Домашнее задание (2 мин)

1. Если вы получили оценку «5» или «4», то решите уравнения:

1. arcsin(x2-3x)=arcsin(-2x)
2. arcsin(3-2x)+arcos(x2-1)= π

2. Если вы получили «3» или «2», то изучите еще раз материал урока по учебнику «Алгебра и математический анализ», 10 кл. (авт. Виленкин Н. Я. И др.) с 310, 318, и решите уравнения:

3. Arcsin(x2-4a)=0
4. Arcsin(x2-3x)=arcsin(-2x).