Методические рекомедации по организации и проведению практического занятия по математике. Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательных пределов.
методическая разработка по алгебре по теме

ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ СРЕДНЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

КОЛЛЕДЖ ГОРОДСКОЙ ИНФРАСТРУКТУРЫ И СТРОИТЕЛЬСТВА №1

(ГБОУ КГИС №1)

Методические рекомендации

по проведению практического занятия по дисциплине «Математика»

Практическое занятие №7.  Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов.

Автор-составитель:

преподаватель Пархоменко Е.А.

2012

Практическое занятие №7.

Тема: Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментальных разделов математики. Проверка усвоения знаний по вычислению пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов. Повторить и систематизировать знания по данной теме.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

•закрепление вычислительных навыков;

•продолжить работу над математической речью.

•формирование навыков самостоятельной работы, работы с учебником, навыки самостоятельного добывания знаний;

•развитие умения выделять главное при работе с текстом;

•формирование самостоятельности мышления, мыслительных операций: сравнение, анализ, синтез, обобщение, аналогия;

•показать обучающимся роль систематической работы по углублению и повышению прочности знаний, по культуре выполнения заданий;

•развитие творческих способностей учащихся.

Обеспечение практической работы:

Теоретический материал методической рекомендации к практической работе.

Учебники: Богомолов Н.В. «Математика». – М.: Дрофа, 2009.

Омельченко В.П., Э.В. Курбатова. Математика, – Серия: Среднее профессиональное образование. - Ростов-на-Дону «Феникс»,2008-380с.

Индивидуальные карточки с вариантом практической работы.

Ход практического занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности обучающихся к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Вычисление пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Выполнить самостоятельную работу по вычислению пределов функций с   использованием первого и второго замечательного пределов.

› Ответить на контрольные вопросы.

Теоретические сведения и методические рекомендации

 по решению задач.

Изложение теоретического материала.

Определение. Первым замечательным пределом называется предел

Теорема. Первый замечательный предел равен

Доказательство. Рассмотрим два односторонних предела и и докажем, что каждый из них равен 1. Тогда двусторонний предел также будет равняться 1.

Итак, пусть (этот интервал -- одно из окончаний базы ). В тригонометрическом круге (радиуса ) с центром построим центральный угол, равный , и проведём вертикальную касательную в точке пересечения горизонтальной оси с окружностью (). Обозначим точку пересечения луча с углом наклона с окружностью буквой , а с вертикальной касательной -- буквой ; через обозначим проекцию точки на горизонтальную ось.

Рис. Тригонометрический круг 

Пусть -- площадь треугольника , -- площадь кругового сектора , а -- площадь треугольника . Тогда очевидно следующее неравенство:

Заметим, что горизонтальная координата точки равна , а вертикальная -- (это высота треугольника ), так что . Площадь центрального сектора круга радиуса с центральным углом равна , так что . Из треугольника находим, что . Поэтому Неравенство, связывающее площади трёх фигур, можно теперь записать в виде

Все три части этого неравенства положительны, поэтому его можно записать так:

или (умножив на ) так:

Предел постоянной 1 в правой части неравенства, очевидно, равен 1. Если мы покажем, что при предел в левой части неравенства тоже равен 1, то по теореме "о двух милиционерах" предел средней части также будет равен 1.

Итак, осталось доказать, что . Сперва заметим, что , так как равняется длине дуги окружности , которая, очевидно, длиннее хорды . Применяя теорему "о двух милиционерах" к неравенству

при , получаем, что

Простая замена переменной показывает, что и . Теперь заметим, что . Применяя теоремы о линейности предела и о пределе произведения, получаем:

Тем самым показано, что

Сделаем теперь замену ; при этом база перейдёт в базу (что означает, что если , то ). Значит,

но ( -- нечётная функция), и поэтому

Мы показали, что левосторонний предел также равен 1, что и завершает доказательство теоремы.

Доказанная теорема означает, что график функции выглядит так:

Рис. График

Определение: Вторым замечательным пределом называется предел

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема. Второй замечательный предел существует. Его значение -- число, лежащее между и .

Более подробное изучение числа показывает, что -- иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

Для доказательства теоремы 2.15 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.

Замечание Можно также показать, что

однако строгое доказательство достаточно тяжело, и мы его здесь пропускаем.

В формуле (2.5) можно сделать замену , при этом база перейдёт в базу , и мы получим

Закрепление изученного материала.

Приведём примеры применения первого замечательного предела для вычисления других родственных пределов.

1.Вычислим предел . Очевидно, что

при этом предел знаменателя -- это первый замечательный предел, равный 1 (и, следовательно, не равный 0). Числитель правой части, равный 1, имеет предел 1. Значит, по теореме о пределе отношения,

2. Вычислим предел . Сделаем замену переменного: пусть . Тогда и база переходит в базу . После замены получаем

3. Вычислим предел . Очевидно, что

при этом предел знаменателя был вычислен в предыдущем примере; он равен 1. Числитель правой части имеет предел 1. Применяя теорему о пределе отношения, получаем

4. Вычислим предел . Преобразуем функцию под знаком предела следующим образом:

Теперь вынесем постоянный множитель за знак предела и применим теорему о пределе произведения:

(Чуть ниже мы увидим, что пределы сомножителей существуют, так что применять эту теорему здесь можно.) Заметим, что при заменах и база переходит в базу и , так что

и

Поэтому

Вот ещё один пример на раскрытие неопределённости вида .

5. Найдём предел .

Здесь основание степени имеет предел

а показатель степени .

Теперь преобразуем функцию, стоящую под знаком предела:

Выражение, стоящее в квадратных скобках, имеет вид и при стремится к числу (это второй замечательный предел), а предел показателя степени мы найдём отдельно:

Поэтому

Закрепление знаний, умений и навыков.

Выполнить самостоятельную работу по вычислению пределов функций с использованием первого и второго замечательного пределов.