Функционально-графический метод
статья (алгебра, 9 класс) на тему

         Муниципальное общеобразовательное учреждение

                              « Гимназия № 24»

      Функционально – графический метод

                     решения уравнений.

                                                          Подготовила учитель

                                                         Данилина Ольга Сергеевна.

                                           Магадан 2007

 «Функционально – графический метод решения уравнений»

Цель урока:  сформировать умения решать уравнения определенного типа функционально – графическим методом, с использованием свойств ограниченности и монотонности функций

Структура урока:

- вступительное слово учителя, ознакомление с темой урока, постановка цели

- актуализация ранее полученных знаний, необходимых для освоения темы урока

- презентация ведущими, заключающая в себе изложение нового материала с образцами решения различных типов уравнений

- работа по группам, с целью первичного закрепления изученного

- проведения игры по образцу игры: «Что? Где? Когда?»

-подведение итогов урока.

1. Во вступительном слове учитель делится своим опытом знакомства с новым методом. говорит о необходимости его освоения, его значимости, о возможности приобретения навыков более рационального решения равнений
2. Актуализация знаний:: возрастание и убывание функций, примеры, свойства монотонности и ограниченности функций.
3. Презентация новой темы с использованием слайдов с изложении ем теоретического материала с образцами решений уравнений.( см. приложение).
4. Работа по группам: Каждой группе раздаются карточки с заданиями, образцы решения и оформления заданий. Ведущие урок ученики – консультанты контролируют ход выполнения заданий, при необходимости приходят на помощь. При своей работе, работающие в группах могут использовать компьютеры, которые настроены на специальную программу, позволяющую выстраивать графики функций, Благодаря этому, в затруднительных ситуациях компьютер можно использовать как средство подсказки или как возможность наглядно продемонстрировать верность выполненного решения и правильность выбранного метода.
5. Защита представителем группы выполненных заданий, с использованием мультимедийной доски, на которой демонстрируется решение уравнений графическим методом в подтверждении верности выполненного задания. РА
6. Проведение игры.  Для каждой группы с экрана мониторов звучит вопрос, заранее записанный разными учителями школы, дается минута на обсуждение по истечении которой ребята должны дать свой обоснованный ответ. После этого с вновь включенного экрана вариант своего ответа представляет учитель, ранее задававший вопрос Таким многократным повторением рассуждений по вновь изученной теме, тем  более произносимыми грамотно различными людьми, достигаются наиболее выгодные условия для усвоения новой темы.(см. прилож.)
7. Подведение итогов: Выявление лучшей «пятерки знатоков, лучшего игрока.                                                  

Вопросы к классу;

-Чему вы научились на сегодняшнем уроке

- Какие уравнения можно решать методом подбора

- Какие свойства функций при этом используются.        

Вопросы к участникам игры:

1.

Уважаемые знатоки, за одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.

Ответ: Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция. у =- монотонно возрастает, следовательно уравнение имеет один корень, т.к. график этой функции пересекается с прямой у=3 один раз. При х=1, мы получим верное равенство. Ответ: х=1

2.

Уважаемые знатоки, через одну минуту назовите функции, которые содержатся в обеих частях неравенства и найдите корень данного уравнения.

Ответ :у =- показательная функция, возрастающая на множестве действительных чисел. у=6 - х  - линейная функция, она монотонно убывает на множестве действительных чисел. Значит графики функций пересекаются в одной точке, уравнение имеет один корень. При х=2, получим верное равенство. Ответ:  х=2

3. Уважаемые знатоки, вы ухе знаете, что уравнение    имеет единственный корень  х=3. Через одну минуту, ответьте, при каких значениях  х, выполняется неравенство.

Ответ: неравенство выполняется при х Є [2;3], т.к. на данном интервале график функции у=, расположен ниже графика функции у =

4. Уважаемые знатоки, у многих вызывает затруднения решение уравнение. За одну минуту найдите корень этого уравнения и докажите, что он единственный.

Ответ: корень уравнения х=-3 является единственным, т.к.в левой части уравнения содержится убывающая функция, а в правой возрастающая, значит графики функций пересекаются в одной точке и уравнение имеет единственный корень.

5. Уважаемые знатоки, у меня к вам непростой вопрос. Вы легко найдете корень  уравнения  . Докажите, что он единственный.  Ответ:х=1 – единственный корень.

Функционально – графический метод решения уравнений.

________________________________________________________________________

Цель урока: Научиться решать уравнения методом подстановки, используя свойства монотонности и ограниченности функций.

_________________________________________________________________________

Справочный материал

1. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве X, если на этом множестве при увеличении (уменьшении) аргумента значение функции увеличивается (уменьшается).

Пример 1:

1. являются возрастающими функциями

Пример 2:

являются убывающими функциями

Справочный материал

2. Сумма двух возрастающих функций, есть возрастающая функция.

Пример:

3. Сумма двух убывающих функций, есть убывающая функция.

Пример:

4. Функция возрастающая или убывающая на множестве X называется

монотонной на этом множестве

Свойство монотонности.

1. Если одна из функций монотонно возрастает, а другая  монотонно убывает, то графики функций пересекутся в одной точке, или вообще не пересекутся.

   Уравнение f(x)=g(x) либо имеет одно решение, либо не имеет решений.

Свойство монотонности

Если на некотором промежутке одна из функций монотонно возрастает (или убывает), а другая принимает постоянное значение, то графики функций пересекутся в одной точке или вообще не пересекутся.           Уравнение  f (x) = a  имеет одно решение, либо не имеет решений

Решить уравнение:

Свойство ограниченности.

Если на промежутке Х наибольшее значение одной из функций равно А и наименьшее значение другой из функций тоже равно А, то уравнение         f (x)=g (x) равносильно системе уравнений

Решить уравнение:

Решение: у = cos x – ограничена, D (y)= [-1;1]

y=х2+1-ограничена снизу; D (y)= [1;∞];

Уравнение равносильно системе уравнений  

Система имеет решение при х = 0