ПРОБЛЕМА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОМУ МЕТОДУ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ
статья на тему

Математика и математическое образование: современные тенденции и перспективы развития: материалы Всероссийской научно-практической конференции, г. Саранск, 27 ноября 2015 г. / под ред. С. М. Мумряевой / Мордов. гос пед. ин-т. – Саранск, 2015. – 223 с.

С. 60-63

УДК 378.046.4

ПРОБЛЕМА ОБУЧЕНИЯ УЧАЩИХСЯ СТАРШИХ КЛАССОВ
ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАФИЧЕСКОМУ МЕТОДУ
РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Сарванова Жанна Александровна (г. Саранск),

Киржаева Татьяна Ивановна (г. Саранск)

Одной из основных содержательных линий в изучении математики является линия уравнений и неравенств. Материал, связанный с уравнениями, составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что эти понятия являются фундаментальными, необходимыми при изучении других математических понятий, богаты своими приложениями. Поэтому вопросу обучения учащихся решению уравнений отводится значительная роль в методике обучения математике.

Умение решать уравнения, используя свойства входящих в них функций служат показателем высокого уровня овладения учениками умением решать задачи. Так, задания, предлагаемые учащимся на ЕГЭ по математике, математических олимпиадах (задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функций, использование свойств ограниченности, монотонности функций, их графиков и пр.) являются сложными для многих учащихся, поэтому им следует уделять больше времени в школьной практике. Но как обучать учащихся их решению, разработана ли методика обучения решению этих задач, каковы совокупности задач в школьных учебниках и способствуют ли они достижению этой цели?

Функционально-графическому методу решения задач посвящен ряд научно-методических работ, в которых раскрываются отдельные аспекты проблемы обучения учащихся названному методу. Отметим, что большое число публикаций содержит совокупности задач на применение свойств ограниченности функций, области определения, множества значений функций при решении уравнений и неравенств. Об этом говорится в работах А. А. Аксенова, Ф. М. Барчуновой,                Н. Н. Шунды, Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова, А. Г. Мордковича, Л. И. Кузнецовой, Е. В. Хорошиловой. Так, в пособии [5] предлагаются задачи, направленные на формирование умений решать тригонометрические уравнения на основе использования свойств функций.

Но наиболее тщательно к вопросу обучения учащихся методам решения задач, в частности функциональным приемам решения уравнений, выделении их видов посвящены исcледования Л. С. Капкаевой [4], С. И. Мещеряковой [7], Л. К. Садыковой [9]. Л. С. Капкаева относит функционально-графический метод решения задач к алгебраическим методам, который в свою очередь определяется ею как способ познавательной деятельности учащихся, основанный на системе алгебраических знаний. Автор отмечает, что каждый из методов состоит из приемов. Л. С. Капкаевой выделяются следующие деятельностные компоненты метода: определенная система действий, реализация которой ведет к достижению результата и средства достижения результата [4, c. 21]. В работе [7] выделены требования, которые предъявляют эти методы мышлению решающего. Учащиеся, по мнению автора, должны овладеть всеми приемами решения уравнений алгебраическими (стандартными) методами и уметь выполнять следующие действия:  

- выполнять операции над функциями (находить суперпозицию данных функций);

- определять структуру уравнения: выяснять, из каких функций и каким образом оно составлено; выделять свойства, присущие функциям, входящим в уравнение (монотонность, четность, нечетность, периодичность и т. д.), т.е. исследовать функции; строить графики и эскизы графиков функций.

Исследователем выделяется следующий обобщенный прием решения уравнений, основанный на использовании свойств функций, составляющих эти уравнения: выяснение возможности рационального решения уравнения алгебраическим способом; определение структуры уравнения. Выяснение, из каких функций и каким образом оно составлено; исследование этих функций и переход к равносильным, более простым уравнениям и неравенствам; решение этих уравнений и неравенств традиционным способом.

В исследовании Л. К. Садыковой охарактеризован функционально-графический метод решения уравнений (неравенств). Метод, основанный на использовании свойств функций и их графических иллюстраций она называет функционально-графическим [9]. Реализация возможностей усвоения учащимися функционально-графического метода, утверждает автор, связана с решением двух задач. Первая состоит в том, чтобы добиться понимания учащимися сути метода и овладения действиями по его применению (деятельностные компоненты). Вторая задача заключается в обучении применению функционально-графического метода для решения уравнений (в процессе ее решения происходит и дальнейшее усвоение деятельностных компонентов, и раскрытие объективной стороны, гносеологической основы метода).

Л. К. Садыковой выделены деятельностные и гносеологические компоненты этого метода, наиболее значимые действия, сконструированы следующие приемы:

- частные приемы решения уравнений и неравенств с применением отдельных свойств элементарных функций;

-обобщенный прием решения уравнений и неравенств функционально-графическим методом;

-частные приемы решения уравнений и неравенств с параметром первого и второго типов различными методами (графический, аналитический);

-обобщенный прием решения уравнений и неравенств с параметром первого и второго типов [9].

Обратимся к школьным учебникам алгебры и начал анализа и выясним, содержатся ли в них теоретические сведения о нестандартных методах решения уравнений и имеются ли уравнения (задачи) на применение свойств функций.

В учебниках для 10-11 классов по алгебре и началам анализа авторов Ш. А. Алимова [3], А. Н. Колмогорова [1], для общеобразовательных классов, в которых почти половина учебного материала посвящена функциям, предусмотрено изучение лишь стандартных алгебраических приемов и методов решения уравнений. Однако, в учебнике А. Ш. Алимова [3], сведения о  функционально-графическом методе содержатся, но отсутствует обоснование его применения, например, обоснование факта пересечения графиков функций в одной точке, а не в двух, что не способствует формированию у учащихся умений доказывать математические предложения.

Надо сказать, что попытка преодоления указанных противоречий предпринята в учебниках С. М. Никольского и др. [2], А. Г. Мордковича [5]. Учебник С. М. Никольского и др. [2] по алгебре и началам анализа представляет собой новый тип учебника, включающий в себя материал, как для общеобразовательных классов, так и для классов с углубленным изучением математики. Рассматриваемый учебник заканчивается главой «Уравнения. Неравенства. Системы», в которой выделены два параграфа для углубленного изучения «Нестандартные методы решения уравнений и неравенств», «Уравнения, неравенства и системы с параметрами». В этой главе приведены основные функциональные приемы решения уравнений и неравенств, а именно: использование областей существования функции, использование неотрицательности функций, использование ограниченности функций, использование свойств синуса и косинуса, использование числовых неравенств, использование производной для решения уравнений и неравенств. Решение уравнений и неравенств с параметром проиллюстрировано на уравнениях и неравенствах, содержащих функции со свойствами квадратного трехчлена. Однако при использовании свойств синуса и косинуса рассматриваются не все виды задач, решаемые с использованием ограниченности, монотонности тригонометрических функций.

Учебник А. Г. Мордковича содержат главу «Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств». В этой главе выделено четыре метода решения уравнений, среди которых следующие: замена уравнения h(f(x)) = h(g(x)) уравнением f(x) = g(x), метод разложения на множители, метод введения переменной, функционально-графический метод. Функционально-графический метод проиллюстрирован применением только свойств ограниченности и монотонности функций [5].

В учебнике [8] отмечается, что одним из универсальных методов решения задач является метод подбора корней, доказательство их единственности с использованием монотонности функций. Также автор приводит решение достаточно сложных комбинированных уравнений, оставляя без внимания формирование отдельных действий по решению уравнений с использованием функционально-графического метода.

Итак, в школьных учебниках недостаточно полно отражен теоретический материал о способах решения уравнений, основанных на использовании свойств функций. Имеющиеся в них совокупности упражнений в основном направлены на применение ограниченного числа приемов решения уравнений функционально-графическим методом.

Подводя итоги, отметим, что на основе проведенного анализа научно-методической, учебной литературы, можно сделать вывод, что с одной стороны исследователи выделяют различные приемы решения уравнений с использованием свойств функций, перечисляют действия, адекватные им, приводят упражнения для их формирования. Однако разработка системы задач для обучения каждому действию и их совокупности, составляющих функционально-графический метод, методика обучения их решению остается актуальной проблемой на сегодняшний день.

Список использованных источников

1. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений /            А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; под ред. А. Н. Колмогорова. – М. : Просвещение, 2012. – 324 с.
2. Алгебра и начала анализа: учеб. для 11 кл. общеобразоват. учреждений /            С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников, А. В. Шевкин – М. : Просвещение, 2009. – 464 с.
3. Алимов, Ш. А. Алгебра и начала анализа : учебник для 10-11 классов средней школы / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. – М. : Просвещение, 2012. – 464 с.
4. Капкаева, Л. С. Алгебраический и геометрический методы в школьном курсе математики как способы познавательной деятельности учащихся /Л. С. Капкаева // Гуманитарные науки и образование. – 2012. −№ 1. – С. 18-22.
5. Кузнецова Л. И. Тригонометрические уравнения, неравенства, системы. Часть I : учебно-методическое пособие для студентов факультета математики, информатики и физики / Л. И. Кузнецова. − Н. Новгород : НГПУ, 2008. − 55 с.
6. Математика 11 класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый уровень) / А. Г. Мордкович, И. М. Смирнова и др. –8-е изд. стер. – М. : Мнемозина, 2013. − 416 с. 
7. Мещерякова, С. И. Нестандартные методы решения уравнений и других задач в углубленном курсе математики : дис… канд. пед. наук / Светлана Ивановна Мещерякова. – Саранск, 1997. – 182 с.
8. Муравин, Г. К. Алгебра и начала анализа. 11 кл. : учебник для общеобразоват. учреждений / Г. К. Муравин, О. В. Муравина. – 6-е изд. стереотип. – М. : Дрофа, 2013. – 253 с.
9. Садыкова, Л. К. Свойства функций при решении нестандартных уравнений и неравенств: методическая разработка по курсам элементарной математики и методики преподавания математики / Л. К. Садыкова, Н. С. Новичкова. – Самара : Изд-во СГПУ, 2005. – 90 с.