Открытый урок по теме" Производная и её геометрический смысл"
методическая разработка по алгебре (11 класс) по теме

Шпакова Елена Николаевна

Номинация: ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

Название работы: «Производная и её геометрический смысл».

Предмет преподавания: Алгебра и начала анализа. 11 класс

Должность: Учитель математики.

Наименование образовательного учреждения:

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №2

г. Калининска Саратовской области»

2010 год

Цель: 1.Формирование знаний о формулах дифференцирования  и умение применять их для вычисления производных.

2. Развивать навыки самоконтроля, самостоятельно добывать знания.

3. Воспитывать ответственное отношение к учебному труду, воли и настойчивости для достижения конечных результатов при нахождении производных.

Ход урока: Учитель:     Алгебра повсюду.

                                         Глазами только поведёшь

                                         И примеров сразу уйму

                                         Ты вокруг себя найдёшь!

Ребята, у нас сегодня урок – семинар, на котором вы можете заработать отметку, блеснуть знаниями и умениями. За каждый дополнительный вопрос вы получаете  в свой личный банк доход при правильном ответе. И так, приступим к чему?

Слайд № 1

                                                   РА  ИН

Слайд № 2

Устно: 1. Какое значение принимает производная функций в точке А?                                      

          y

y=f(x)                                  а) f’ (x) > 0

б) f’ (x) < 0

в) f’ (x) = 0  

                         А    •    

           0        1                                        x

Слайд № 3

2.Какое значение принимает производная функции в точке В?

                                                                                                  a) f’ (x) = 0

   б) f’ (x) < 0

                                                                                         в) f’ (x) > 0

                                y

                B      •

                                    1                y=f(x)

                                   0                                        x

3.В чём состоит геометрический смысл производной?

    - Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной в точке равно угловому коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

4.В чём заключается механический смысл производной?

    - Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая мгновенную скорость изменения функции в данной точке, т.е. новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц назвал производной, Ньютон говорил, что производной называется сама мгновенная скорость.

5,6.Найдите производную функции:              

5)

6)

7) Возьми ты первую из нот, и к ней прибавь ты слово ход.

      Получишь то, о чём мечтает любой, кто бизнес начинает. (Доход)

    -Ну, вот некоторые уже пополнили свои банки.

    - И мы продолжаем начатую работу дальше.

У доски 4 уч-ся от каждого банка:

Тимофей носки связал и на рынке их продал. Дешевле, чем стоили нитки. Получил одни... (убытки)

- Посмотрим, кто своему банку принёс убытки? ( Если в решении допущены ошибки, то акционеры помогают.)

 Ну а теперь угадай, кто, как зовётся, что за деньги продаётся.

    Это не чудесный дар, а просто-напросто  (товар)

- Посмотрим, какой товар предоставит нам каждый банк в свою защиту.

Проверяем домашнее задание каждого банка. (учащиеся защищают задачи на заготовленных  

    плакатах).

  Задача 1. Найти скорость гармонического колебательного движения, если S=2 Sin t. При каком значении t эта скорость будет равна нулю?

Решение: Искомая скорость будет равна . Найдём . Чтобы узнать, когда скорость равна нулю, нужно решить уравнение:

.                            

Ответ: Скорость гармонического колебательного движения  равна нулю при

Задача 2. Написать уравнения касательных к синусоиде y=Sin x в точках  

Решение:1. Найдём производную функции y=Sin x.    

Уравнение касательной имеем вид:  

1. Для точки

          или      

2.Для точки

Построим график: а) Для проведения первой касательной мы использовали точки: и точку пересечения касательной с осью оу:

б) Для проведения второй касательной воспользовались тем, что она параллельна оси ОХ и проходит через точку  

Слайд № 4

                                                         y                            

                                                                     A2

y=1                                                         1                

                                                              •  A1

                                                                                                       y=Sin x

                                                            B •

       •              •              •              •              •                            •              •              •             •              •

                                                     0                                                         x

                                                                     -1

Умение определить направление касательной к кривой имеет большое значение в физике, т.к. направление касательной к кривой в любой её точке принимается за направление линейной скорости движения тела по этой кривой.

Задача 3 Написать уравнения касательных к параболе  в точках ; ;

Решение: Найдём производную функции .    Уравнение касательной имеет вид:

Т. ;          

Чтобы построить эту касательную, используем точку  и  точку перечисления касательной с осью ординат B(0;-1). Через эти точки проводим прямую.

Т.;          

       Эту касательную построим по точкам:    и  

Т.              

                                           (ось Ох).

Слайд № 5

Строим график:

                                                               y

                                                            •

                y=-2x-1                                       •  12               y=x2                    y=2x-1

                                                            •  10

                                                            •    8

                                                            •    6

                                                            •    4

                                                            •    2

                                                                •            •                                               y=0

                             •          •          •          •          •          •          •          •          •          •          •    

                          -10       -8         -6        -4       -2        0 •    -1    2          4         6          8          10      x

                                                            •   -2

                                                            •   -4

                                                            •

Задача 4  Через точку  проведена касательная  к гиперболе   Найти радиус окружности с центром на оси ординат, касающейся прямой  и оси абсцисс.

Решение:  1.Составим уравнение касательной, проведённой к графику  через точку

Слайд №  6

Возможны два случая: центр окружности лежит ниже или выше оси ОХ.

                                                                y

                                                                   •  24

                                                                   •  22

                                                                   •  20

                                                                   •  18

                                                                   •  16

                                                                   •  14

                                                             М1    •  12

                                                                   •  10

                                                                   •  8                                              

                                                                   •  6

                                                                                           •   Д

                                                                   •  4

                                                                   •  2

                                                                                    К

                    •        •        •        •        •        •        •        •        •        •        •        •        •        •        •

                 -14    -12    -10      -8     -6       -4      -2     О          2       4        6       8       10      12     14          x

                                                                   •  -2                                                  

                                                           М

                                                                       •  -4       •   A(3;-4)

                                                              -6         N

                                                                   •      

                                                               E  • -8

                                                                   •-10

                                                        -12 •      

2. Найдём   из подобия треугольников:  и (по двум углам:

 Т.  значит

                                           Х=6,   т.е.

т, значит  , т.е.   прямоугольный, то

3. по свойству касательных)  - общая

Т.к. ; , то .

4. Рассмотрим пропорцию:

Т.к. то

Получим  и, следовательно, R окр. =3.

5.Возможен и другой случай, когда центр окружности  лежит выше оси ОХ.

Т. - точка касания,  и  подобны (по двум углам)

                                             окр.=12.

                                               Ответ: 3 и 12

Ну, а теперь, поработайте головой,

   Вспомнив формулы простые,

   Тест ты выполнишь в момент

   Без сомненья и проблем.

  Самостоятельная работа (тестирование по вариантам)

Подведение итогов. Выставление оценок.

Задание на дом.

 Список использованной литературы:

 1) С.М. Никольский, М.К. Потапов, М.Н. Решетников, А.В. Шевкин

     Алгебра и начала анализа МГУ школе « Просвещение издательство 2007г.»

 2) А.Г. Мордкович Алгебра и начала анализа

     Методическое пособие для учителя 10-11 кл. Издательство Москва 2007г.

 3) Тематические тесты Математика ЕГЭ-2009 . Под редакцией Ф.Ф. Лысенко

     Издательство « Легион» Ростов-на- Дону.

 4) Г.Н. Берман «Сборник задач по математическому анализу:  учебное пособие для вузов» 2003г.