Тема «Производная, ее геометрический и механический смысл»

Цели урока:

учебная:  изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику  функции в точке.

воспитательная: способствовать  воспитанию у школьников  интереса к изучаемой теме и  ценностного отношения к труду и  полученным  знаниям.

развивающая: способствовать  развитию  навыков  частично-поисковой  познавательной    деятельности                                      

   О б е с п е ч е н и е   з а н я т и й

Наглядные пособия: портреты математиков, высказывания ученых,  программа «Математика 9-11».

Раздаточный материал: карточки с заданиями, микроплакаты  с  формулами,  макеты передвижных  графиков

Технические средства: ПК IBM

Литература:  А.Г. Мордкович «Алгебра и начала анализа 10-11 класс часть 1 и 2

Девиз урока записан на плакате и вывешивается перед уроком:

       Кто такой учёный?   Определение.   Тот, кто ночами, забыв про кровать.
                                                                     Усердно роется в книжной груде.
                                                       Чтобы ещё кое-что узнать
                                                                    Из того, что знают другие люди.

 (П. Хейн)

                                   1. Организационный момент                                      (3 минуты)

Организационный  момент: приветствие, проверка посещаемости, ответы на вопросы по д.з.

  2. Сообщение темы урока и целей занятия.

           Вступительное слово                                                                                      (5 минут)

"Мир - рвался в опытах Кюри Атомной, лопнувшею бомбой
На электронные струи…»

Эти  строчки  в одном из своих стихотворений   написал поэт Андрей Белый. Это был только 1921 год... За полтора десятка лет до того,  как учёные начали работать над созданием бомбы и почти за четверть века до Хиросимы! Поэт предсказал вступление в атомный век!  Но как он смог?!  Андрей Белый - это литературный псевдоним,  а настоящее его имя Борис Николаевич Бугаев. Учился он на физико-математическом факультете Московского университета.

Но почему же мы  знаем о его литературных достижениях и     о  Борисе Бугаеве математике знаем совсем мало?!  А дело в том, что мир узнаёт о каком-то великом человеке,  когда он получает всемирное признание и ему вручают премию за достижения.  Премий много, но самая престижная - Нобелевская (она вручается за заслуги в самых различных областях).  Так, например  мир узнал о великом русском поэте Николае Гумилёве. Но в списках нобелевских лауреатов вы не найдёте ни одного человека,  которому бы её вручили за математику! Почему?  Потому, что  у  её  основателя  Альфреда  Нобеля была невеста  и  друг   –   математик,  который  отбил  её  у  него…  После чего Нобель завещал:  за математику премию не вручать! И сейчас я предлагаю вам на уроке стать учёными,  совершить открытие,  вывести формулы самим,  и  как  знать,  может уважаемая комиссия Нобелевской премии восхитится вашими математическими способностями  и, наконец-то, обратит внимание на математиков!    

Итак,  начинаем исследовательскую часть.

3. Актуализация опорных знаний

Работа идёт в группах. Ученики берут лист с заданием и выполняют  это  задание  в  тетрадях самостоятельно, но разрешается вести обсуждение внутри группы.

   Математики.  Лист №1.

           Пусть   дан   график    f(x).

Рассмотрим точку М0 с абсциссой  xo.   Пусть  ∆х   -  это  изменение  абсциссы  от  точки   xo   до  х,  т.е.   ∆х  =  х - xo ,   M0М – секущая,  M0N – касательная. 

    Найдите

     а) угловой коэффициент секущей (это средняя скорость изменения функции);

     б) угловой коэффициент касательной (подсказка: касательная - это предельное положение секущей)

        Решение:   f(x) – заданная функция, ∆х  =  х - xo – изменение  абсциссы  от  точки   xo  до  х

vср  = . В нашем случае  kсек =

При    х→х0 (или  ∆х →0)  будет   f(x)→f(x0), следовательно,  M0М→ M0N.    Тогда    k кас =  .

         Вопрос: Скажите, а вы знаете,  кто впервые стал использовать знак «∆» для обозначения разности аргументов?

        - Да. Буква  «∆»   - одна из заглавных букв греческого алфавита ее  стал  использовать  Эйлер (сер. 18 века).

Физики. Лист №1:

Рассмотрим движение материальной точки  М по прямой с выбранным на ней  началом отсчета  - точкой О.  Расстояние от начала отсчета до точки М  в каждый момент времени t обозначим буквой s. Тогда движение  точки М будет описываться функцией  

s = s (t), t[ t0 ; t].  

Найдите:

           а) среднюю скорость за отрезок [t0 ; t];

           б) скорость точки в момент времени t0 (мгновенную скорость).

Решение: За промежуток   времени   длительности  t -  t0  между   моментами  времени  t0    и  t    точка  проходит путь равный      s(t) –s(t0 ). 

Среднюю скорость получают,  разделив перемещение материальной точки   s  на изменение  времени,  в течение которого оно совершено.

Тогда    vср  = ;

Чем меньше рассматриваемый промежуток времени, тем точнее можно охарактеризовать  движение. А мгновенной скоростью называется предел средней скорости за промежуток времени от  t0    до  t    при    t→ t0. Тогда  

          Биологи.  Лист №1.

          Бактерии размножаются быстро и просто – они делятся пополам и при благоприятных условиях за сутки из одной бактерии могут образоваться десятки тысяч. Рост клеток бактерий в условиях ограниченности питательных веществ или пространства в течение  начального интервала времени  от  t0    до  t  происходит по некоторому закону  y = N(t).                                                                  

Найдите:

          а) среднюю скорость изменения количества бактерий за  промежуток    времени [t0 ; t];

          б)  скорость изменения количества точки в момент времени t0  (мгновенную скорость).

                Решение:   В физике для нахождения средней скорости  делят длину перемещения тела  s  на время,  в течение которого оно совершено, т.е.    vср  = .  В нашем случае     vср  = .

Мгновенной скоростью v(t0)  в момент времени  t0 является предел средней скорости за промежуток времени  от  t0     до  t     при    t→ t0.    

Тогда  .                                                                          

                           4.  Изучение нового материала                       (15-20 мин)

        Подобные задачи рассматриваются  и  в  экономике, и  в  анализе ценовой политики. Например: «цена товара напрямую зависит от расходов на производство»  или  «объем  реализации некоторой продукции зависит от роста или снижения его цены».

        А теперь давайте подведём итоги вашей исследовательской работы. Вы  решали различные задачи, но все они привели к одной и той же математической модели: к пределу отношения разности значений функции к разности значений аргумента. В русском языке для величины, на которую изменилось начальное количество, используется слово «прирост».

         Так как  ∆х показывает на сколько изменилось начальное значение аргумента х0,  то  ∆х  называют «приращением аргумента».  

        Приращению аргумента  соответствует «приращение функции», которое  также обозначается с помощью заглавной греческой  буквы «∆». Исходя из этого полученную формулу   можно записать по-другому:    или        и прочитать так: предел отношения приращения функции  к  приращению аргумента при ∆х →0  ( или при  ∆ t→0).  

        Поскольку многие  задачи  в различных областях  науки  в  процессе  решения  приводят  к  такой же модели -  этому пределу надо: дать название,  дать обозначение  и   изучить его.         Это  мы  с  вами  сейчас  и  сделаем. 

        Математически предел отношения приращения функции  к  приращению аргумента  при  ∆х→0  называется  производной  в точке xo,    но   обозначается по-разному:

 f′(х),   f′,  у′   -  эти обозначения для производной ввел  Жозеф Луи Лагранж

   или   - эти обозначения ввел Готфрид Вильгельм Лейбниц    (разности  xo - xo  и  у - уo   он обозначил как  dx  и  dy,  d – первая буква в латинском слове  diferentia означающее «разность»).  В своих трудах он писал:  «…Предупреждаю, чтобы остерегались отбрасывать dx, - ошибка, которую часто допускают  и  которая  препятствует  продвижению  вперед…»  

        Это определение вы  запишете  в тетрадях,   а  я  - на доске:

Теперь посмотрите на ваши задачи и сформулируйте план нахождения производной. учащиеся должны ответить:

     1. Задать функцию f(x).

     2. Задать приращение аргументу и найти приращение функции …           ∆у = f(x0 +∆х) – f(x0).

     3. Найти отношение приращения функции к приращению аргумента...            

      4. Найти предел отношения приращения функции к приращению аргумента  при  ∆х→0             

      Далее группа самостоятельно формулирует и записывает в тетради

      Физический смысл производной – это скорость изменения расстояния:  s'(t) = v(t);

        Геометрический смысл:   f'(хо) – это коэффициент угла наклона касательной к оси Ох

                                                      f'(хо) = k =  tg α.   

        Т.е. из геометрического смысла получается, что если существует производная в точке хо, то можно провести что?  (обычно ученики говорят: что можно провести касательную в точке хо и наоборот -  если можно провести касательную в точке хо, то в этой точке существует производная. На ошибку в формулировке  пока не обращается  внимание,   фраза  записывается  на доске в таком  виде  и   дальше  продолжаются  обсуждения.

Итак, подведём итог:  вы сами дали мне определение производной,  но встаёт вопрос:  а всегда  ли  существует производная в точке?  Возьмите модели в руки.  На них вы видите график некоторой функции  у = f(x).  А теперь давайте покрутим  окружность  с графиком вокруг центра и рассмотрим различные положения кривой и касательной к ней.

        Рассматриваются различные случаи... Особое внимание обращается на моменты, когда касательная перпендикулярна оси Ох  и  параллельна   оси  Ох.

        Всегда ли существует ли производная в точке хо?  

 Задается ряд вопросов:

Давайте  вернёмся  к  геометрическому смыслу производной: производная в точке  равна  угловому коэффициенту касательной,  проведённой в этой точке    f'(хо) = k =  tg α.

        Мы получили, что не во всех точках существует производная.

        Как же так?  Вы же сами сказали и написали, что если есть касательная в точке,  то в точке есть и производная! Вот пример: есть касательная, но нет производной?!  Подумайте, что же вы сделали не так,  и исправьте фразу. "

Далее учащиеся   возвращаются  к предложению,  написанному на доске и самостоятельно исправляют ошибку. Должно получиться:  

5. Закрепление нового материала  

                              Самостоятельная работа в группах  (15-20 минут)

        Вот теперь вы готовы к работе с производной и можете приступить к выполнению задания №2

        Биологи  

        Лист №2:  Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите  производную функции  y = C.

        Решение         

y = C – постоянная линейная функция.

∆у = f(x +∆х) – f(x)= С – С = 0;                 = 0,

то  у′ =    =  = 0.

Итак,    ( С ) ′= 0.

        Физики  

        Лист №2: Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции  y = kx + b.

        Решение

y = kx + b – линейная функция.

Аргументу   х дадим приращение  ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

     = k (x +∆х) – (kx + b) = k∙x + k∆∙х – kx  -  b = k∆∙х

 = k =  k.

Итак,  (kx + b)′ = k.

        Математики

        Лист №2:  Пользуясь определением и схемой вычисления производной, найдите производную функции  y = х2. 

Решение

y = х2 .

Аргументу   х  дадим приращение  ∆х, тогда

∆у = f(x + ∆х) – f(x)=

     = (x +∆х)2 – х2 =  

      = х2+ 2∙х∙∆х + (∆х)2 - х2 = 2∙х∙∆х + (∆х)2 = ∆х∙(2х +∆х)

 = 2х = 2х.

Итак, (х2 )′ = 2х.

6 этап.  Закрепление  нового  понятия

        Работа  с  программой «Математика 10-11».

        1. Инструктаж по технике безопасности.

        2. Инструктаж по работе с программой.

       3. Просмотр и прослушивание темы:  «Производная», «Пример 1»,

        «Пример 2». Решение задач 1 и 2.

        Просмотр и прослушивание темы: «Задачи о касательных»,  «Пример 1»,          

         «Пример 2»,  «Пример 3». Решение задач 1 и 2.

        Просмотр и прослушивание темы: «Механический смысл производной»,  

         «Пример 1», « Пример 2».  

         Решение задачи 1.Прослушивание, просмотр, запись….

7 этап. Итог урока

Вопросы учащимся:

Что называется производной в точке?

Сформулируйте физический смысл производной?

Геометрический смысл? Когда существует производная?

Какой момент был самым интересным на уроке?

Какой был самым трудным?

        Что же, вы доказали, что смогли сами определить и исследовать понятие производной и я хочу вам вручить долгожданную Нобелевскую премию - вы настоящие учёные! Откройте свои конверты и достаньте оттуда грамоты в виде крокодила.

       Почему крокодил?

       Потому что это животное, которое никогда не отступает и не пятится назад!

     Этого я и вам желаю! "

     Оценки за работу на уроке...  

8 этап. Домашнее задание

  Выучить теорию по учебнику  §27-28, № 27.1-27.4