открытый урок по теме"Геометрический смысл определенного интеграла"
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Тема: Геометрический смысл определенного интеграла.

Цель:

Образовательная:

1. Формирование экспериментальных и конструктивных умений применять математические знания.
2. Формирование познавательной активности и творческих способностей учащихся.

Воспитательная- воспитание интереса к предмету, самостоятельности мышления.

Ход урока.

Орг момент

1. Приветствие
2. Отметка присутствующих
3. Организация внимания.

Фронтальный опрос

1. Скажите, с какой темой мы познакомились на прошлом уроке?
2. По какой формуле вычисляется значение определенного интеграла?
3. Какие существуют способы вычисления определенного интеграла?
4. Какие существуют методы вычисления определенного интеграла?
5. По какой формуле вычисляется значение определенного интеграла?

Хорошо, молодцы. А теперь давайте поиграем в известную нам игру «Поле чудес». Перед вами высказывание Лейбница, которое он часто любил повторять. Некоторых букв в этом высказывании не хватает. Для того чтобы отгадать эти буквы вам необходимо вычислить значение нескольких определенных интегралов.

 У вас на партах лежат листы с заданием. Значение каждого определенного интеграла это зашифрованная буква в нашем высказывании. По найденной цифре найдем букву из алфавита и откроем ее в высказывании. Итак первый интеграл, выходим к доске и решаем. Все остальные записываем решение в тетрадь.

(Вставить интегралы)

В данном высказывании содержится цель нашего урока. «Не будем спорить, а будем вычислять». Вся математика построена не на спорах, а на вычислениях

Итак, мы с вами уже сказали, что тема, с которой, мы с вами познакомились ранее называлась Определенный интеграл. Подберите к слову интеграл однокоренные слова (интегрирование, интеграция). Мы с вами смотрим телевизор, можем прочитать в Интернете об интеграции наук, культур, в политике и экономике ведут речь об интегральных процессах. Что из этого следует, что понятие интеграла можно встретить не только в математике, но и в экономике, культуре, политике, физике.

А теперь давайте с вами немного вспомним геометрию. Скажите мне: 1. Как найти площадь квадрата? S=a2

2. Как найти площадь прямоугольника?

3. А как вы думаете, как найти площадь данной фигуры?

Давайте вернемся к цели нашего сегодняшнего урока «Не будем спорить, а будем вычислять!»

Так вот первые, кто стал заниматься решением вычисления площади данной фигуры, по другому данная фигура называется  криволинейной трапецией, были  греческие математики Эвдокс и Архимед (4;3 века до нашей эры). Что они для этого делали, (как уже некоторые сказали) разбивали фигуру на большое число малых частей и искомую площадь (или объем) вычисляли как сумму площадей (или объемов) полученных элементарных кусочков. Но при таком вычислении были очень большие погрешности. А с возникновением понятия определенного интеграла, появилась возможность находить площади фигур неопределенной формы, а именно площади криволинейной трапеции.

Именно в нахождении площади криволинейной трапеции заключается геометрический смысл определенного интеграла. И тема нашего сегодняшнего урока так и называется «Геометрический смысл определенного интеграла». Запишите тему урока в тетрадь. Давайте еще раз сформулируем цель нашего урока. К данной цели можно добавить еще одну цель, какую, как вы думаете: Учащиеся дают несколько ответов и мы вместе формулируем цель урока.

1. Не будем спорить, а будем вычислять!

2. Узнать какие существуют способы вычисления площади определенного интеграла.

Итак, мы с вами рассмотрим несколько способов вычисления площади определенного интеграла.

Для более удобного и точного вычисления площади фигуры воспользуемся координатной плоскостью. Существует несколько способов расположения фигуры относительно оси Х.

Первый способ (записываем в тетрадь).

1. Строим координатную плоскость
2. Проводим кривую выше оси х и обозначим ее функцией у=f(х).
3. Проведем прямые х=а и х=б параллельные оси у и пересекающие функцию у= f(х). и прямую у=0.
4. А теперь обведем кривую и ниже прямую заключенную между прямыми х=а и х=б, прямые между кривой и прямой у=0

Итак, мы должны найти площадь данной фигуры, которая мы уже знаем называется криволинейной трапецией.

Для нахождения площади данной фигуры используется формула, вы ее уже знаете как  формулу Ньютона – Лейбница.

                                         b                          b  

S=∫f(x)dx=F(x)|=F(b)-F(a)

                                  a                            a    

А теперь давайте рассмотрим пример на нахождение площади криволинейной трапеции.

Дано: х-у+2=0, у=0, х=-1, х=2.

Из уравнения кривой выразим у через х (так как мы знаем что у-зависимая переменная, а х – независимая)

у=х+2 – линейная функция, построим график данной функции, достаточно две пары чисел чтобы построить график данной функции.

х=0, у=2

х=1, у=3.

Строим прямую на координатной плоскости. Проводим прямые ограничивающие данную кривую. Обведем получившиеся отрезки ограниченные данными линиями. У нас получилась трапеция. Найдем площадь данной фигуры.

Итак, с помощью формулы Ньютона- Лейбница мы нашли площадь криволинейной трапеции.

Я вам сказала, что существует несколько способов нахождения площади криволинейной трапеции. А теперь давайте рассмотрим второй способ.

Второй способ :( записываем в тетрадь)

Второй способ заключается в том, что площадь криволинейной трапеции мы с вами рассмотрим ниже оси х.

1. Строим координатную плоскость
2. Проводим кривую под осью х и обозначим ее функцией у=f(х).
3. Проведем прямые х=а и х=б параллельные оси у и пересекающие функцию у= f(х). и прямую у=0.
4. А теперь обведите прямые заключенные между точками пересечения прямых и кривой и заштрихуем ту часть плоскости которая находится внутри данных прямых.

У нас получилось, что фигура находиться ниже оси у. Скажите, какой знак показывает значения у в 4 четверти (минус).

Площадь данной криволинейной трапеции тоже вычисляется по формуле Ньютона- Лейбница. В данном случае площадь криволинейной трапеции может получиться отрицательным числом. Чтобы площадь не принимала отрицательного значения, необходимо использовать математический символ. Какой? Модуль.  

                                    b                               b

S=|∫f(x)dx|= |F(x)| |=|F(b)-F(a)|

                              a                                a

А теперь давайте рассмотрим пример на нахождение площади криволинейной трапеции находящейся в 4 четверти.

Пример:

у=-3х, у=0, х=2

Функция, которая здесь рассматривается называется прямой пропорциональностью и проходит чрез начало координат, для ее построения достаточно одну пару точек.

х=1, у=-3

строим данные прямые на плоскости. Так как полученная фигура находится в четверти, то ее площадь вычисляется по второй формуле.  

Всем понятно как мы нашли площади данных фигур. А теперь давайте вернемся к нашим целям сегодняшнего урока, все ли цели мы с вами выполнили которые наметили.

1. Не будем спорить, а будем вычислять!
2. Узнать какие существуют способы вычисления площади определенного интеграла.

Хорошо.

А теперь для закрепления нового материала рассмотрим несколько примеров для нахождения площади, но с вашей помощью.

Рассматриваем примеры. У кого есть вопросы по пройденной теме (в конце урока)

 Д/з (записать примеры нахождения площади криволинейной трапеции на доске).

За сегодняшний урок получили оценки (перечислить).

Тема : Выпуклые многогранники.

Цели урока:

Образовательные: дать понятие правильных многогранников, выяснить сколько их существует, каковы их названия и где они применяются.

Развивающие: развивать мышление и пространственное воображение.

Воспитательная: воспитывать умения работать в группе.

Ход работы.

1. Орг часть.

1. Приветствие
2. Проверка присутствующих.
3. Организация внимания.

2. Изучение нового материала.

На данный момент вы уже имеете первоначальные сведения из геометрии.

Давайте с вами вспомним с чего начинается изучение геометрии.

(С точки, прямой, отрезка, луча, угла, окружности.) После элементарного мы переходим к более сложному – геометрическим фигурам. Мы с  вами знаем, что существуют фигуры на плоскости и в пространстве.

Назовите фигуры , которые можно отнести к фигурам на плоскости (треугольник, квадрат, прямоугольник, трапеция, окружность и многие другие), к фигурам в пространстве (шар, параллелепипед, куб, пирамида, цилиндр).

Наша задача сегодня на уроке заключается в том, чтобы более подробно познакомится с фигурами в пространстве, а именно. Я хочу пригласить Вас В удивительно-сказочный мир под названием «Мир многогранников». А непосредственно тема нашего урока называется «Правильные многогранники. Теорема Эйлера».

Как вы думаете, каковы будут цели нашего урока.

1. Какие многогранники называются правильными ?
2. Сколько их существует.
3. Сформулировать теорему Эйлера.
4. Где и для чего нам нужны многогранники?

Мне хотелось бы начать со слов Бертрана Рассела: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой – красотой отточенной и строгой, возвышенно чистой и стремящейся к подлинному совершенству, которое свойственно лишь величайшим образцам искусства».

Почему именно данный эпиграф, потому что название правильные идет от античных времен, когда стремились найти гармонию, правильность, совершенство в природе и человеке.

А теперь давайте вспомним, что мы называем правильными многоугольниками – это многоугольники, у которых все стороны и все углы равны (квадрат, равносторонний треугольник, пятиугольник).

Как вы думаете , что же такое правильный многогранник – это многогранники, ограниченные правильными и равными многоугольниками.

А теперь давайте запишем определение правильного многогранника – это выпуклый многогранник, грани которого являются правильными многоугольниками с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине которого сходится одно и то же число ребер.

Мы с вами знаем, что треугольник состоит из 3-х вершин, 3-х сторон и углов, квадрат из 4-х сторон одинаковых и 4-х углов.

А из чего же состоит многогранник.

Перед вами на столах лежат по одному из видов многогранников. По своей форме все они разные, но элементы из которых они состоят называются одинаково.

Итак многогранник состоит из

1. граней, которыми являются правильные многоугольники.
2. Ребер – это стороны многоугольников.
3. Вершин – в которые сходятся ребра многогранника.

Сами многогранники поделены на 5 видов. Слайд

У каждого на столе, как я уже говорила, лежит один из видов и рядом название данного многогранника.

А теперь задание для каждой группы. Дать краткую характеристику каждого многогранника, отвечая на такие вопросы:

1) Название многогранника.

2) Какая фигура является гранью многогранника.

3) Сколько граней у данного многогранника.

4) Сколько ребер у многогранника.

5) Сколько вершин у многогранника.

(Отмечать ребра карандашом)

Время отведенное на задание 7 минут.

Все ваши ответы мы сравним с готовой таблицей.

Перечертите данную таблицу в тетрадь и по мере того как каждая группа будет рассказывать о своем многограннике информацию будем записывать в тетрадь (Слайд с таблицей).

Итак мы с вами познакомились с 5 основными видами многогранников, это тетраэдр, гексаэдр, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Название этих многогранников пришли из Древней Греции и в них указывается число граней6

«эдра» -грань

«тетра» - 4

«гекса» - 6

«окта» - 8

«икоса» - 20

«додека»-12.

От этих названий пошли названия многогранников с которыми мы с вами сегодня познакомились.

А сейчас давайте еще раз вернемся к нашей таблице и проанализируем ее подробнее, нет ли в ней закономерности в возрастании чисел в каждом столбце.

На первый взгляд закономерности никакой не просматривается (привести пример). Но можно рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, например в столбцах грани и вершины. Составим новую таблицу своих подсчетов. Ну, а теперь посмотрите, какая прослеживается закономерность. Из нее можно сформулировать правило: «Сумма числа граней и вершин равна числу ребер, увеличенному на 2». Данный вывод можно записать в виде формулы

Г+В=Р+2.

Итак мы вместе открыли формулу, которая была подмечена Декартом в 1640 году, а позднее вновь открыта Эйлером 1752г, имя которого с тех пор она носит. Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. Запишите данную формулу себе в тетрадь и запомните ее, она нам пригодится при решении задач.

Как я вам уже говорила правильные многогранники были известны еще в Древней Греции. Раньше многогранники называли Платоновыми телами, так как они занимают видное место в философской картине мира Древне-греческого ученого Платона. Они олицетворяли 4 ступени: тетраэдр – огонь, куб- землю, икосаэдр – воду, октаэдр – воздух, додекаэдр, символизировал все мировоззрение.

У Кеплера – многогранники сравнивались со строением солнечной системы.

С правильными многогранниками мы постоянно встречаемся в нашей жизни – это Древне – Египетские Пирамиды; объекты архитектуры и дизайна; в картинах художников, природные кристаллы, соли, снежинка, вирусы (рассказ сопровождается слайдами).

Итак сегодня мы с вами познакомились с новой для вас темой – правильные многогранники. А теперь давайте вернемся к цели нашего урока, все ли цели мы с вами выполнили, которые наметили. (возвращаемся к слайду цели урока, проверяем и проговариваем все определения в слух.)

А теперь домашнее задание: найти где еще можно встретить правильные многогранники в повседневной жизни, кроме тех что мы сего с вами рассмотрели.

Почему только 5 видов правильных многогранников .

Ученые доказали что, при каждой вершине многогранника должно быть не менее 3-х плоских углов и в сумме они не должны быть меньше 120 градусов и больше 360 градусов.

По этой причине каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной либо трех , четырех или пяти равносторонних треугольников, либо квадратов, либо правильных пятиугольников. Поэтому их может быть только 5.