Методическая разработка открытого урока «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной»
методическая разработка по математике (11 класс)

Открытый урок по теме

«Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной.»

Группа- 21.11

Специальность- «Строительство и эксплуатация зданий и сооружений»

Курс-1

По списку- 27 человек

Присутствовало-

Преподаватель- Зубенко Юлия Александровна

Категория- первая.

План урока:

• Организационный момент. (1 минута)
• Разминка (5 минут)
• Проверка уровня знаний и умений, уровня познавательной самостоятельности учащихся. (25 минут)
• Изучение нового материала (20 минут)
• Физкультминутка (3 минуты)
• Работа в командах (13 минут)
• Подведение итогов урока. (5 минут)

     Цели:

1.        Учебная: изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику функции в точке.

2.        Воспитательная: способствовать воспитанию интереса у студентов к изучаемой теме и ценностного отношения к полученным знаниям.

3.        Развивающая: способствовать развитию навыков частично-поисковой познавательной деятельности.

Оборудование: Компьютер, мультимедийный проектор, индивидуальные карточки –задания, карточка для работы в группе.
Тип урока: комбинированный

Технология: урок с применением информационно-коммуникативных технологий.

Методы обучения: словесный, наглядный, практический, проблемный.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, групповая

Вид урока по форме проведения: открытый

Вступление:

Добрый день, уважаемые учащиеся! Рада вас приветствовать на нашем уроке по математике!

На прошлом занятие мы с вами начали изучать новый, большой раздел математики, который называется «Начала математического анализа». Этот раздел включает в себя две большие темы- «Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальное исчисление функции одной переменной».

Разминка:

Чтоб урок шел без запинки

Мы начнем его с разминки. (Слайд 3)

Наша разминка будет заключаться в следующем задании:

Перед нами математический кроссворд. Как в любом кроссворде, нам нужно разгадать слова, вписать их и получить ключевое слово.

Ключевое слово и будет являться темой нашего сегодняшнего урока.

На данный момент вопросы будут общие, из математики. Все вопросы по вертикали. (Слайды 4-6)

1. Знак обозначения действия сложения (плюс)

2. Сумма длин всех сторон многоугольника (периметр)

3. Геометрическая фигура, состоящая из двух лучей (угол)

4. Тригонометрическая функция (синус)

5. Часть прямой, заключенная между двумя точками (отрезок)

6. Равенство, содержащее переменную (уравнение)

7. Сотая часть числа (процент)

8. Единица измерения угла (градус)

9. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла (гипотенуза)

10. Часть окружности, заключенная между двумя точками (дуга)
11. Не имеет ни начала, ни конца (прямая)

Мы отгадали ключевое слово - ПРОИЗВОДНАЯ.

Да, действительно, мы сегодня поговорим с вами о «Производной функции». Но, конечно же, это слово имеет очень широкий смысл, за 1 час полностью её изучить мы не успеем, мы захватим лишь определенное направление.

Поэтому, тема нашего сегодняшнего занятия будет звучать так: «Определение производной. Механический и геометрический смысл производной. Правила вычисления производной.» (Слайд 1)

Изучение любого нового материала всегда начинается с постановки целей. (Слайд 2)

Проверка уровня знаний и умений учащихся.

Ранее, мы уже познакомились с понятием «Производная»:

• дали определение
• узнали как её находить
• познакомились с таблицей производных элементарных функций
• изучили правила дифференцирования.

Сейчас, для закрепления полученных знаний, несколько учащихся группы выступят у доски, продемонстрируют свои навыки по этой теме.

Далее идет работа учащихся с карточками, на которых написаны задания, у доски (3 человека).

Ответы на вопросы: «Что такое функция?», «Определение производной функции», «Что такое производная простыми словами?» итд, решение примеров. (Слайды 7-13)

Мы с вами хорошо поработали, я вижу что материал усвоен в достаточной степени, поэтому мы можем с вами двигаться дальше и переходим непосредственно к теме нашего урока.

Изучение нового материала

1. Физический (механический) смысл производной заключается в следующем- скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени V(t)=S’(t). И наоборот. В обратную сторону это равенство тоже работает.

Это чистая физика. При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков- И. Ньютона и Г. Лейбница.

Ньютон пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени (мгновенной скорости).  Нам известно такое понятие как равномерное движение- то есть когда тело в равные промежутки времени проходит равные по длине отрезки пути. На практике это явление встречается очень редко. Зачастую мы имеем дело с неравномерным движением. (Пример- движение автомобиля, человека с разной скоростью.) Отсюда вытекает такое понятие как средняя скорость. А есть еще и следующее понятие- мгновенная скорость- это скорость тела в определенный момент времени. Я думаю, что с таким понятием вы точно сталкивались на уроках физики.

С точки зрения физики, это выглядит вот так: (Слайд 14)

На математике мы попробуем решить задачи с применением производной. То есть с математической точки зрения (Слайд 16)

Задача №1. Путь, пройденный материальной точкой, задается следующей функцией времени:

S=3t²-2t+4. Найти скорость движения точки на 5-й секунде.

Задача №2 Высота тела, брошенного вертикально вверх меняется в зависимости от времени по закону Н= 200t-4,9t². Найти скорость тела на 10-й секунде. Сколько тело будет лететь вверх и какой наибольшей высоты оно достигнет?

Задача №3 Два тела движутся прямолинейно: одно по закону S=t³+t²-27t, другое по закону S=t²+1. Определите момент, когда скорости этих тел окажутся равными.

Задача №4 Тело массой 8 кг движется прямолинейно по закону S=2t²+3t-1. Найти кинетическую энергию тела (mV²/2) через 3 с после начала движения.

2. Геометрический смысл

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной своим уравнением. Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Поэтому:

То есть, по сути, мы сможем определить под каким углом наклонена касательная к графику функции, не строя, при этом, никаких графиков. Всё можем делать аналитическим методом, а не графическим. (Слайд 17-18)

Задача №1. Найти угловой коэффициент касательной к параболе y=x²-3 при x=1/2

Задача №2. Найти угол наклона касательной к кривой у=1/12х³+5 в точке, абсцисса которого равна 2. (Слайд 20)

Если    

Говоря про геометрический смысл производной конечно нельзя обойти графическую сторону вопроса.

Вот несколько примеров того, как на самом деле всё это выглядит:

 (Слайд 22)

Физкультминутка (Слайд 23-24)

Однажды великого греческого философа Сократа спросили о том, что, по его мнению, легче всего в жизни. Он ответил, что легче всего поучать других, а труднее – познать самого себя. Мы познаем окружающий нас мир. Но сегодня давайте заглянем в себя. Как мы воспринимаем окружающий мир? Как художники или как мыслители?

Психологический тест

1) Переплетите пальцы рук. Большой палец правой или левой руки оказался у Вас сверху? Запишите результат буквами «Л» или «П».
2) Скрестите руки на груди (поза «Наполеона»). Кисть, какой руки оказалась сверху?
3) Изобразите «бурные аплодисменты». Ладонь, какой руки у Вас сверху?

Подведем итоги, учитывая, что результат «ЛЛЛ» соответствует художественному типу личности, а «ППП» – типу мыслителя. (Эти различия связаны с функциональной асимметрией мозга человека: у «художников» более развитое правое полушарие и преобладает образное мышление, у «мыслителей» – соответственно – левое полушарие и логическое мышление).

Прежде чем мы займем наши места, мы должны разделиться на 3 команды.

Работа в командах

Итак, ребята, в ходе изучения нового материала мы уже выяснили как применяется производная в физике (а конкретно в механике), а теперь мы ответим на следующий вопрос: Применяется ли производная в каких-то других областях науки? Или же она существует только в математике и физике? (Да, применяется в биологии, химии, географии, экономике, физики, электротехнике).

Ребята из групп заранее получили задание, изучили как применяется производная в некоторых науках и готовы выступить с небольшими докладами и нам тоже это рассказать.

1-я группа - применение производной в биологии;

2-я группа – применение производной в экономике

3-я группа –применение производной в строительстве,                             архитектуре и эксплуатации зданий ;

1-я группа - Биологический смысл производной.  (Слайд 25-26)

Биологический смысл производной связан с популяциями. Популяция – это совокупность особей данного вида, занимающих определённый участок территории внутри ареала вида, свободно скрещивающихся между собой.

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у = x(t). Пусть ∆t - промежуток времени от некоторого начального значения t до t+∆t. Тогда  ∆у = x(t+∆t)-x(t) изменение числа особей организмов. Отношение ∆у/∆t - является средней скоростью размножения или, как принято говорить, средней производительностью жизнедеятельности популяции.

На языке математики популяция микроорганизмов – это функция, а время – аргумент.

ВЫВОД: Значит, скорость роста популяции есть производная численности популяции в момент времени t.

Задача: Пусть зависимость между числом особей популяции микрooрганизмов x(t) и временем t её размножения задана уравнением: x (t) = 3000 + 100t2.  Найти скорость роста популяции    в момент t = 1 c.

Решение: х’(t)= 200t

                 x’(1)= 200*1= 200

2-я группа - Экономический смысл производной (Слайд 27-28)

Экономический смысл производной связан с производительностью труда. Производительность труда измеряется количеством продукции, выпущенной работником за какое-то время.  В экономике очень часто объем произведенной продукции задается формулой. Например, пусть объем продукции выпущенной в течение дня задан формулой у = -2t³ +10t² +50t – 16, где t – время, выраженное в часах.  Для нахождения производительности труда в определенный промежуток времени t0, необходимо найти предельное значение средней производительности за период времени Δt, т.е. у´(t).

На языке математики производительность - функция, а время - аргумент.

 ВЫВОД: производительность труда есть производная объема выпускаемой продукции.  

Задача: Вычислить производительность труда во время каждого часа работы, при условии, что объем продукции у в течение рабочего дня представлен функцией у = -2t³ +10t² +50t – 16, t– время (ч).

Решение:

1. Найдем производную у´(t) = -6t² +20t + 50

2. Найдем значение производной в течение каждого часа:

t=1  y’(1) = -6*1² +20*1 + 50= 64

t=2  y’(2) = -6*2² +20*2 + 50= 66

t=3  y’(3) = -6*3² +20*3 + 50= 56

t=4  y’(4) = -6*4² +20*4 + 50= 34

t=5 y’(5) = -6*5² +20*5 + 50= 0            

Вывод: После второго часа работы производительность работы начинает падать. Такой результат является следствием усталости, ухудшением условий в помещении и много других факторов, влияющих на производительность труда. Можно сделать вывод, что продуктивными являются первые два часа работы.

И, конечно же, мы не можем обойти стороной такое направление как строительство

3-я группа- Производная в строительстве (Слайд 29-30)

1. В строительстве мостов- зависимость нагрузочного момента в расчетной точке от расстояния до ближайшей опоры моста, что является залогом прочности и безопасности моста.
2. В архитектуре, строительстве и эксплуатации зданий- распределение нагрузки для устойчивости конструкции и оптимальное использование строительных материалов.
3. При монтаже промышленных и сельскохозяйственных зданий небольшой высоты широко используются автомобильные краны. Для правильного выбора крана необходимо знать многие исходные данные о сооружаемом объекте. В частности, габаритные данные объекта позволяют заранее определить требуемую длину стрелы крана.

Вы замечательно поработали. Надеюсь, этот материал вы не забудете, он пригодится вам в конце учебного года на экзамене. 

Рефлексия (Слайд 31)

- Давайте вспомним, каковы были цели, поставленные нами в начале урока?

- Достигнуты ли цели?

- Что удалось?

- Какой этап урока вам показался наиболее интересным?

- Что не получилось?

Домашнее задание (Слайд 32)

Выставление оценок

Вы молодцы! Я хочу пожелать, чтобы у вас была только положительная производная, чтобы знания ваши только возрастали.

И в заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение: (Слайд 33)

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,

Живопись – радовать глаз,

Поэзия - пробуждать чувства,

Философия – удовлетворять потребности разума,

Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,

а математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик   Морис Клайн.