Планиметрия. Теорема Стюарта. Теорема Чевы.
материал для подготовки к егэ (гиа, 9 класс) по теме

Планиметрия

1.  Теорема Стюарта и параметры треугольников

Теорем и задач, которые вошли в учебники геометрии довольно много.  Некоторые из них заслуживают определённого внимания, так как обладают некоторой общностью и могут помочь в сложных заданиях ЕГЭ.

Формулы, позволяющие определить медианы и биссектрисы треугольника по заданным сторонам треугольника, являются частными случаями более общей формулы, которая является основой теоремы Стюарта (Мэтью Стюарт, шотландский астроном и математик , 1717-1785).  Рассмотрим треугольник АВС (см. рис.), в котором АВ = с, ВС = а, ВК = х, АК = p, КС = q,

АС = b. Задача состоит в том, чтобы по заданным четырём параметрам – а, с, p, q – определить отрезок ВК.

Воспользуемся известным равенством для векторов , , :      , из которого после возведения в квадрат получаем выражение  .        С другой стороны, .

Таким образом, после подстановки и некоторых преобразований, можно получить формулу для определения отрезка ВК:   .

Тот же результат можно получить, если записать теорему косинусов для треугольников АВК и АВС, выбрав общий угол А.

Рассмотрим частные случаи этой формулы.

1).     Пусть ВК является медианой. Тогда  и имеем формулу для расчета  медиан      .

2).  Пусть ВК является биссектрисой.  Тогда  и получаем формулу для    биссектрисы .

3).     Если  ВК – отрезок в равнобедренном треугольнике, то в этом случае ,  где а – боковая сторона треугольника.

Следующие формулы для биссектрисы являются необходимым дополнением к решению треугольников.

Формула  легко получается из простого соотношения  (все обозначения соответствуют рис.).

Формула для биссектрисы, выраженная через три стороны треугольника, получается после ряда преобразований. Так как , откуда , то первую формулу для биссектрисы легко преобразовать в следующую: .  Таким образом, имеем    .

Учитывая, что , получаем ещё ряд полезных соотношений: ,    включая и уже полученный ранее результат  .

Формула для медианы, полученная ранее, также выводится из других источников. Например, следует из известного равенства для параллелограмма , если в нём принять ,   (см. рис.).  В результате получаем следующее выражение .

Этот же результат можно получить, применяя теорему косинусов для треугольников ABC и AOC,  выбрав общий угол ОАС.

2.  Теорема Чевы.  Пересечение высот в треугольнике.

        В обязательный минимум содержания основных образовательных программ профильного уровня по геометрии входят известные теоремы планиметрии: теорема Чевы и теорема Менелая. Но эти теоремы интересны ещё и своими следствиями. Прежде обратимся к самой теореме Чевы (Джованни Чева, итальянский математик, 1648-1734).

Теорема Чевы                                                        

Если на сторонах АВ, ВС, СА треугольника АВС (см. рис.) взяты соответственно точки С1, А1, В1, то отрезки АА1,  ВВ1,  СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда      (*)    

В основе доказательства прямой теоремы лежат следующие соображения. Пусть отрезки пересекаются в точке О,                                                                

тогда    .  При выводе был использован принцип равных отношений: .

Таким образом, имеем:  ,  ,  . Перемножая эти выражения, получаем соотношение (*).

В обратной теореме на сторонах треугольника взяты точки С1, А1, В1 так, что выполняется равенство (*). Пусть точка . Проведём , которая пересекается с  в точке . По доказанному выше, имеем равенство:  . Поделив оба выражения друг на друга почленно, окончательно приходим к выводу, что  , т.е. точки  и  делят сторону  в одном и том же отношении, что означает совпадение этих точек и исходные отрезки пересекаются в одной точке.

Воспользовавшись этим результатом, докажем теперь теорему о пересечении чевиан.

Теорема о пересечении чевиан

Чевианы в треугольнике АВС точкой пересечения О делятся в отношении

, считая от вершины.

Имеем, с одной стороны:   и . Откуда следует, что: . С другой стороны, получаем такой же результат из другого условия: . Таким образом, утверждение теоремы доказано.

Рассмотрим частные случаи этой формулы. В случае медиан получаем классический результат:  или .

В случае пересечения биссектрис следует учесть, что  и . Таким образом, имеем: .

Рассмотрим подробнее задачу о пресечении высот, так как здесь возможны две конфигурации.

1. Случай остроугольного треугольника  (см. рис.). При пересечении высот следует учесть, что каждый отрезок  можно записать через высоты и  углы треугольника. А именно, .   В результате окончательно получаем  . Конечно, данный результат можно получить и другим путём, не используя теорему о чевианах. Однако, такой подход наиболее оптимален.
2. Случай тупоугольного треугольника (см. рис.). Воспользуемся формулой, полученной выше:  .

Из рисунка следует, что   или

.