Теорема Чевы. Теорема Менелая
методическая разработка по геометрии (10 класс) по теме
Урок геометрии в 10 профильном классе по теме "Теорема Чевы. Теорема Менелая"
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 2.91 МБ |
Предварительный просмотр:
Тема: Теорема Менелая. Теорема Чевы. (2 часа)
Цели урока:
- обобщить, расширить и систематизировать знания и умения учащихся; научить использовать знания при решении сложных задач;
- способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении задач;
- развивать логическое мышление и математическую речь учащихся, умение анализировать, сравнивать и обобщать;
- воспитывать у учащихся уверенность в себе, трудолюбие; умение работать в коллективе.
Задачи урока:
- Образовательная: изучить теоремы Менелая и Чевы; применить их при решении задач.
- Развивающая: учить выдвигать гипотезу и умело доказательно отстаивать свое мнение; проверить умение обобщать и систематизировать свои знания.
- Воспитательная: повысить интерес к предмету и подготовить к решению более сложных задач.
Ход урока
I этап. Организационный момент (1 мин.)
Учитель сообщает тему и цель урока.
II этап. Лекция
Чева Джованни (1648-1734 гг.) – итальянский инженер – гидравлик и геометр. Теорема, носящая его имя, опубликована в 1678 году.
Менелай Александрийский (1 – 2 вв. н.э.) – греческий математик и астроном.
Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1, B1, C1, то имеет место равенство
Доказательство. Проведём CD || AB. Рассмотрим треугольник A1BC1 и
треугольник A1CD.
Угол DA1C=углу C1A1B (вертикальные)
Угол D = углу C1 (накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник A1BC1 подобен треугольнику A1CD. Стороны подобных треугольников пропорциональны
Рассмотрим треугольник B1 AC1 и треугольник B1 CD
Угол DB1C = углу AB1C1 (Вертикальные)
Угол D = углу C1 (Накрест лежащие при CD || AC1 и секущей C1D)
Следовательно, треугольник B1AC1 подобен треугольнику B1CD. Следовательно,
У нас получилось два равенства и
Перемножим почленно эти равенства: . Получим
Воспользуемся свойством дробей:
(Например )
Имеем . Теорема доказана.
Доказательство остаётся в силе
и в том случае, когда все три
точки A1, B1, C1 лежат на
продолжениях сторон
треугольника ABC
Прежде чем рассмотреть обратную теорему, сделаем одно уточнение. Пусть ABи CD – ненулевые коллинеарные векторы. Если, то будем писать:
. Значит, число k равно отношению длин векторов
и
, взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправлены, и со знаком «минус», если они направлены противоположно. При таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:
Докажем обратную теорему.
Пусть на прямых BC, CA, AB, определяющих треугольник ABC, даны точки A1, B1, C1. Если выполняется равенство , то эти точки лежат на одной прямой.
Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая A1B1 пересекает прямую AB в точке C2. Согласно прямой теореме,
. Сравнивая это соотношение с данным, получим, что
.
Прибавим к обеим частям равенства 1. , получим:
т.е.
, откуда, т.е.
C1 и C2 совпадут.
Теорема Чевы
Теорема. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда
Доказательство. Пусть прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в точке O, лежащей внутри треугольника (рисунок а) или вне ABC (рисунок б).
Применим теорему Менелая к BCC1 и секущей AA1, получим:
Для треугольника ACC1 и секущей BB1 получим:
Перемножим почленно эти равенства
Что и требовалось доказать.
Замечание. Если AA1, BB1, CC1 параллельны, то доказательство проводится с использованием теоремы об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми.
Для решения задач чаще применяется обратная теорема.
Обратная теорема Чевы. Пусть на сторонах BC; CA; AB треугольника ABC или их продолжениях взяты соответственно точки A1; B1; C1. Если выполняются равенство , то прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке или параллельны.
Доказательство. Пусть AA1BB1=O. Проведём прямую CO, С2=CO
AB.
По теореме Чевы . Учитывая условие имеем:
, откуда
=k
,
=k
. Вычтем второе равенство из первого
. По свойству векторов получим
=k
=
= - k.
Т.к. k -1 (иначе бы
, но точки A и B не совпадают), следовательно,
, т.е. точки C1,C2 совпадают. Но это и означает, что прямые AA1; BB1; CC1 пересекаются в одной точке.
Аналогично доказывается, что если AA1||BB1, то и CC1||BB1.
III этап. Решение задач. (22 мин.)
. Рассмотрим задачи на применение теоремы Менелая.
Задача №1
Решение
Рассмотрим ABN и секущую CM (точки пересечения M, K, C). По теореме Менелая:
. т.к.
,
, тогда
, то
, следовательно,
Ответ: =
Задача №2
Решение
1 способ
Рассмотрим ACC1 и секущую BB1 (точки пересечения B1, K, B). Применим теорему Менелая
.
;
из этого следует
=3. Подставим в равенство
, отсюда,
Рассмотрим ABA1 и секущую CC1 (Точки пересечения C1, N, C) По теореме Менелая:
;
, отсюда,
, подставим в равенство,
, отсюда,
Рассмотрим BB1C и секущую AA1 (точки пересечения A, P, A1) По теореме Менелая:
;
, отсюда,
. Подставим в равенство
, отсюда,
Далее будем использовать свойство площадей частей треугольника
, где D
AC
Действительно,
Обратимся к рисунку к задаче
В C1BC
, следовательно, S3+S4=6S2
В AA1C
, следовательно, S5 +S6 =6S4
В ABB1
, следовательно, S2+S7=6S6.
т.к. BA1 = 2 A1C, следовательно, SABA1 = 2SAA1C, следовательно, S1+S2+S3+S7=2S6+2S5+2S4 (1)
т.к. AC1 = 2BC1, следовательно, SACC1 = 2SBCC1, следовательно, S1+S5+S6+S7=2S2+2S3+2S4 (2)
т.к. SB1BC = 2SABB1 (B1C = 2 B1A)
S1+S3+S4+S5=2S2+2S6+2S7 (3)
Сложим равенства (1), (2), (3) почленно:
3S1+S2+2S3+S4+2S5+S6+2S7=4S2+4S4+2S3+2S5+4S6+2S7.
После упрощения получим:
3S1=3S2+3S4+3S6; S1=S2+S4+S6
Из доказанного, что S3+S4=6S2 следует, что , так же
и
, подставим,
S1= +
+
т.е. S1=
(S2+S3+S4+S5+S6+S7)=
, следовательно, S=7S1, где S=SABC; S1=SPKN.
Ответ: S=7S1
2 способ
По теореме Менелая:, следовательно,
.
Значит, SC1KB = SC1BC
Аналогично SAB1P=SAB1B, SA1NC=
SACA1
По условию A1C=CB, следовательно, SACA1=
SABC, следовательно, SA1NC=
SABC
AB1=AC, следовательно, SABB1=
SABC, следовательно, SAPB1=
SABC
C1B=AB, следовательно, SC1BC=
SABC, следовательно, SC1BK=
SABC
SABC=SACA1+SCC1B-SA1NC+SAPKC1+SKPN , пусть SABC=S.
S=S+
S-
S+
S+SKPN
S=S+ SKPN, откуда SKPN=(1-
)S=
S; SKPN=
S
Ответ: SKPN=S
Задача №3
Решение
А) Используем свойство площадей треугольников:
(в случае, если BD –медиана, то SABD= SCBD)
Проведём медианы в B1AC1, в
B1A1C и в
BC1A1.
Обозначим площади частей A1B1C1 буквами S1;S2;S3;S4;S5;S6;S7
По свойству, приведённому выше:
S1=S2 (AB – медиана B1BC)
S6=S7 (A1A – медиана B1A1C) , следовательно, S1=S7
S6=S1 (AC – медиана ABA1)
S2=S3 (B1B – медиана AB1C1), следовательно, S1=S3
S1=S4 (CB – медианаACC1)
S4=S5 (C1C – медиана BC1A1), следовательно, S1=S5
SA1B1C1 = S1+S2+S3+S4+S5+S6+S7 = 7SABC, где SABC=S1
Значит, =
Б) точки A, B, K – лежат на одной прямой, пересекающей стороны A1B1C По теореме Менелая:
,
т.к. B1A=AC;
т.к. BC=CA1, следовательно,
т.е.
Ответ: =
,
Задача №4
Решение
Используем теорему Менелая для BCD и секущей EP.
; CN=ND; следовательно,
.
, следовательно,
.
Рассмотрим ABD и секущую MP. По теореме Менелая:
; BM=MA, следовательно,
, тогда,
, следовательно,
.
Из двух равенств: и
, следует что,
. Что и требовалось доказать.
Задача №5
Решение
Используем теорему Менелая поочерёдно к треугольникам:
AKM и секущая DO (точки пересечения O, P, D)
;
, следовательно, AO=2OK.
BPN и секущая OC (точки пересечения O, K, C)
;
, следовательно, BO=2OP.
AOD и секущая AK (точки пересечения M, P, K)
;
, следовательно, DP=3PO
BOC и секущая PN (точки пересечения P, K, N)
;
, следовательно, CK=3OK.
Значит, DO=4PO; BO=2PO, т.е.
CO=4OK; AO=2OK, т.е. . В
AOB и
COD
,
AOB =
DOC – вертикальные, следовательно,
AOB подобен
COD, следовательно
BAO=
DCO (накрест лежащие при прямых AB и DC и секущей AC), следовательно, AB || DC. Значит, ABCD – трапеция.
Из равенств и
видно, что стороны подобных треугольников
AOB и
COD относятся как
, значит
или DC=2AB. Что и требовалось доказать.
Рассмотрим задачи на применение теоремы Чевы.
Задача №1
Доказательство
Пусть AA1, BB1, CC1 – медианы треугольника ABC.
Проверим равенство: , 1*1*1=1 (верно).
Утверждение доказано согласно теореме Чевы.
Задача №2
Доказательство
Пусть BE, CM, AK – биссектрисы ABC.
Воспользуемся свойством: биссектриса треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим к ней сторонам.
Значит, . Найдём произведение
, по теореме Чевы прямые BE, CM, AK пересекаются в одной точке.
Задача №3
Решение
Прямые AA1, BB1 и CM пересекаются в одной точке P. По теореме Чевы: ,
, поэтому
=>
CB1A1 подобен
CAB (
;
C – общий)
Значит, CB1A1 =
CAB – соответственные при прямых B1A1 и AB и секущей AC, поэтому A1B1 || AB. Что и требовалось доказать.
Задача №4
Решение
Пусть r – радиус окружности.
Из прямоугольных треугольников OBC1 и OCB1 находим CB1=r*ctg C, C1B=r*ctg B.
Из прямоугольных треугольников ABA1 и ACA1 имеем BA1=AA1*ctg B; A1C=AA1*ctg C; AB1=AC1 – как отрезки касательных, проведённых из одной точки.
Найдём произведение:
=
=
Согласно теореме Чевы прямые AA1, BB1, CC1 пересекаются в одной точке, т.е. PAA1. Что и требовалось доказать.
Задача №5
Решение
Пусть SCDM=S1, SBDN=S2, SANM =S3, SABC=S.
Знаем, что площади двух треугольников, имеющих общий угол, относятся как произведения сторон, заключающих этот угол. Имеем
По условию , следовательно
;
, следовательно,
, отсюда,
Аналогично, ;
Найдём SDMN = S- (S1+S2+S3)
SDMN = S-(+
+
)=
=S-=
=
== =
В треугольнике ABCотрезки AD, BM, CN пересекаются в одной точке. По теореме Чевы
Значит, Что и требовалось доказать.
Задача №6
Доказать. Что отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
Решение
По свойству отрезков касательных, проведённых из одной точки AM=AP=a; BM=BN=b; CN=CP=c.
Найдём произведение отношений:
По теореме Чевы AN BP
CM=O1
V этап. Итог урока
VI этап. Домашнее задание
1. В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне AB взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:BK = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Qпересечения прямых СК и BL удалена от прямой AB на расстоянии . Найдите длину стороны АВ. (Ответ: 4.)
2. На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К. АК = 1, КС = 3. На стороне АВ взята точка L. AL:LВ = 2:3, Q – точка пересечения прямых ВК и СL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В. (Ответ: 1,5.)
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/02/picture-168504-1357150608.jpg)
Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности ге...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/04/picture-1080537-1546609859.jpg)
Теорема Чевы и Менелая
Урок геометриии для 8 класса школы с углубленным изучением математики. Задачи урока: - повторить теоремы Менелая и Чевы; - отработать применение теорем при решении задач;- развивать мышление и логику...
![](/sites/default/files/pictures/2019/07/20/picture-436044-1563600057.jpg)
Теорема Чевы и Менелая в задачах ЕГЭ
Применение теоремы Чевы и Менелая необходимо для подготовки учащихся 11-ч классов к ЕГЭ для решения 14-ч номеров....
Программа факультатива по математике для 9 классов на тему: «Теоремы Чевы и Менелая и их применение к решению задач»
Данная программа факультатива по математике «Теоремы Чевы и Менелая и их применение к решению задач» рассчитана на обучение учащихся 9 классов с разным уровнем подготовки, но проявляющих и...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/06/picture-169727-1357498123.jpg)
Задачи по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Подборка задач предназначена для отработки умений использовать теоремы Чевы и Менелая....