Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
творческая работа учащихся по геометрии (9 класс) по теме

Городская научно-практическая конференция

«В науку шаг за шагом»

Исследовательская работа

Теоремы Чевы и Менелая

                                 Выполнена: учеником 9-А класса                                       МОУ «Гимназия №20»

Храмеевым Максимом

Александровичем

  Руководитель: учитель математики,

                                                                      Бондаренко Ольга Валентиновна.

Донской,2011год

Оглавление

1. Введение.                                                                                                    3-5                                                                                                                                                        
2. Основная часть.                                                                                                                  

1.  Теорема Менелая                                                                            6-7
2.  Теорема Чевы.                                                                                 7-8
3.  Задачи на применение доказанных теорем.                                   9-18

3. Заключение.                                                                                               19
4. Задачи для самостоятельного решения                                                    20
5. Список литературы.                                                                                   21  
6. Приложение.                                                                                               22-37                                                                                                                      

Введение

        «Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и, по крайней мере, столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени, чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться». Е. Т. Белл.

  Геометрия - одна из наиболее древних математических наук.

 Первые геометрические факты мы находим в вавилонских клинописных таблицах и египетских папирусах.

 Возникновение геометрических знаний связано с практической деятельностью людей.  И уже в древности геометрия превратилась в дедуктивную, строго логическую науку, построенную на основе системы аксиом. Постепенно развиваясь, она обогащалась новыми теоремами, идеями, методами. Интересы геометров и направление их научных исследований порою менялись в процессе исторического развития этой науки, поэтому, нелегко дать точное и исчерпывающее определение, что такое геометрия сегодня, каков её предмет, содержание и методы.

 В III в. до н. э. древнегреческий учёный Евклид написал книгу под названием «Начала». В этой книге Евклид подытожил накопленные к тому времени геометрические знания и попытался дать законченное аксиоматическое изложение этой науки. Написана она была настолько хорошо, что в течение 2000 лет всюду преподавание геометрии велось либо по переводам, либо по незначительным переработкам книги Евклида.

  Например, таким пособием был учебник А. Д. Александрова, затем А.П. Киселёва, по которым советская школа работала до середины  20 столетия.

 Но жизнь идёт своим чередом, издаются новые учебники, под редакцией А.В. Погорелова;  Л. С. Атанасяна, И.М. Смирнова и др.

 В результате различных преобразований со страниц этих учебников как – то незаметно исчезли многие замечательные утверждения, свойства, которые просто необходимо знать при решении многих планиметрических задач.

Обучаясь в Научном Обществе Гимназии и работая с различной дополнительной литературой по геометрии, я столкнулся с тем, что в действительности многие удивительные соотношения и изящные геометрические факты не входят в основной курс геометрии. Многие из них сейчас выглядят малоинтересными, несовершенными и встречаются только в энциклопедиях. Однако некоторые из них продолжают жить, и по сей день. Одни из них теоремы Менелая и Чевы. Это теорема, которая была доказана древнегреческим математиком и астрономом Менелаем Александрийским, жившим в I веке до нашей эры и теорема, опубликованная в 1678 году итальянским математиком и инженером Джованни Чевой.  В честь этих учёных теоремы названы их именами.

Эти теоремы просты, интересны и находят применение при решении как простых, так и весьма сложных задач. Несмотря на это Теоремы Менелая и Чевы не изучаются в школе на уроках геометрии и встречаются только в школьном учебнике геометрии под редакцией Атанасяна Л.С. в приложении. Доказательства, предложенные автором сложны. Задачи, помещённые в учебнике на применение обратной теоремы Менелая трудны, а задачи на применение прямой теоремы вовсе не рассматриваются.

Актуальность темы:

1. Данная тема является дополнением и углублением изученных в курсе     геометрии свойств.
2. Применение опыта решения планиметрических  задач с использованием теоремы Чевы и Менелая помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.
3. Изучение данной темы поможет более глубоко подготовиться к вступительным экзаменам и олимпиадам.
4. Хорошо известно, что выводы школьной геометрии находят широкое применение при решении самых разнообразных практических  задач. Знание геометрии необходимо всем кому  приходиться исследовать свойства различных фигур и тел. Геометрия изучает наш реальный мир.

   Цель работы:

1. ознакомление с  теоремами Чевы и Менелая ;
2. исследование способов доказательства теорем;
3. овладение приемами решений планиметрических задач с использованием      теоремы Чевы и Менелая;
4. систематизация и обобщение теоретического и практического материалов.

Задачи исследования: 

1. изучить состояние проблемы в научной литературе и школьной    программе;
2. выявить теоретические положения для доказательства теорем;
3. систематизировать теоретический материал доказательств:

а) Теоремы Чевы,

                                           б) Теоремы Менелая;

4. проверить эффективность и целесообразность применения               теорем при решении задач;
5. научиться применять теоремы Чевы и Менелая в задачах разной сложности;
6. сравнить задачи, решенные с использованием теорем Менелая и Чевы с    задачами, решенными традиционным способом;

Теоремы Чевы и Менелая можно назвать «двойственными» они, похоже, формулируются и доказываются. В своей работе я предлагаю доказательства теоремы Менелая (прямая и обратная), используя подобия треугольников, а теорему Чевы доказываю с помощью теоремы Менелая.

Однако при решении целого класса задач эти теоремы позволяют легко и изящно получить решение, в то время когда традиционные подходы приводят к громоздким и утомительным преобразованиям.

Научная новизна исследования 

состоит в том, что в нем проблема доказательства теоремы Чевы и Менелая  решается разными способами.

Теоремы Чевы и Менелая позволили нам обнаружить глубоко скрытое общее содержание в таких важнейших теоремах элементарной геометрии, как теорема о трех высотах, медианах и биссектрисах треугольника.

2.Основная часть

Переходя к основной части работы, я начну с замечательных точек треугольника. К числу таких точек, изучаемых в школьном курсе геометрии, относятся:

   а) точка пересечения биссектрис (центр вписанной окружности), которая

  находится внутри треугольника;

   б) точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной

 окружности), которая может находится внутри (остроугольный треугольник),  

 вне треугольника (тупоугольный треугольник)  или в вершине прямого угла

 прямоугольного треугольника;

   в) точка пересечения высот (ортоцентр). Для остроугольного треугольника

 ортоцентр находится внутри треугольника, а в тупоугольном – вне.

   г) точка пересечения медиан (центроид), которая находится внутри треугольника.

Тот факт, что, каждая из троек данных отрезков пересекаются в одной точке, я докажу позже.

2.1.Теорема Менелая.

Теорема названа в честь древнегреческого учёного Менелая ( I в. н.э.), которая была им доказана и опубликована в третей книге «Сферики». Долгое время её называли «теоремой о секущих».

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны или продолжения сторон BC, CA и AB треугольника ABC соответственно в точках A1 , B1 и C1 , не совпадающие с вершинами треугольника, то имеет место равенство

Доказательство

           Пусть прямая пересекает стороны BC и CA треугольника АВС в точках А1 и В1 ,а продолжение стороны АВ в точке С1.

1. Через вершину С треугольника АВС                проведем прямую CD  АВ; которая пересечет прямую А1В1 в точке D.
2. А1ВС1   А1CD по двум углам
3. В1АС1  В1CD по двум углам
4.      из пунктов 2 и 3 следует, что    и    .

5. Перемножим эти равенства, получим доказываемое соотношение.

Доказательство остается в силе и в том случае, когда все три точки A1 ,  B1  и C1 лежат на продолжениях сторон АВС.

Для пояснения приведённого доказательства сделаем одно уточнение. Пусть  – ненулевые коллинеарные векторы. Если , то будем писать:  Значит, число k равно отношению длин векторов , взятому со знаком «плюс», если векторы сонаправленны, и со знаком «минус», если они направлены противоположно.

Легко проверить, что при таком соглашении полученное выше равенство принимает вид:

Обратная теорема. Если выполняется равенство, то точки A1 ,  B1  и C1 лежат на одной прямой.

Для доказательства обратной теоремы используем вышеуказанное уточнение

Доказательство.

Допустим, что выполнено равенство , и пусть прямая А1В1 пересекает прямую АВ в точке С2. Согласно прямой теореме,

Сравнивая это соотношение с данным, заключаем, что

Прибавив к обеим частям равенства 1, получим:  откуда  , т. е. точки C1 и C2 совпадают.

Объединяя прямую и обратную теоремы, получаем следующий результат.

Если на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС или на их продолжениях взяты точки A1 ,  B1  и C1, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда,когда

ЗАМЕЧАНИЕ. При решении задач, когда расположение точек A1 ,  B1  и C1 известно равенство используют в скалярном виде, т. е. рассматривают длины отрезков, а правую часть равенства берут равной 1. 

2.2. Теорема Чевы.

Джовани Чева (1648-1734) – итальянский инженер-гидравлик и экономист. Носящая его имя теорема содержится в опубликованной им в 1678г. работе « О прямых линиях».

 Теорема Чевы. Пусть на сторонах ВС, СА, АВ треугольника АВС или их продолжениях взяты соответственно точки А1, В1, С1, не совпадающие с вершинами треугольника. Тогда если прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются или попарно параллельны, то

Доказательство.

I) Пусть прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О, лежащей внутри или вне треугольника  АВС. В том и другом случае, применив теорему Менелая к треугольнику ВСС1 и секущей АА1, Получим:

Аналогично из треугольника АСС1, пересеченного прямой ВВ1, находим:

Перемножим последние два равенства

почленно и получим:

II) Рассмотрим случай, когда прямые АА1, ВВ1, СС1 параллельны. Пусть точка В1 лежит на продолжении стороны АС, точка А1 лежит на стороне ВС, точка С1 лежит на стороне АВ. Тогда достаточно доказать, что

Используя теорему об отрезках, отсекаемых на сторонах угла параллельными прямыми, имеем:

Подставим эти равенства в левую часть формулы  (*) имеем:

Что и требовалось доказать.

Обратная теорема. Если выполняется равенство  , то прямые AA1 , BB1 и CC1  либо пересекаются в одной точке, либо попарно параллельны.

Доказательство.

Предположим теперь, что выполняется равенство (*), и докажем, что тогда прямые АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке. Пусть С2 – Точка пересечения прямой АВ с прямой проходящей через точку С и точку пересечения прямых АА1, ВВ1. Для точки С2 выполняется  отношение , как и для точки С1.

Поэтому,  =  . Следовательно, C2 совпадает  C1 , т. е. прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Замечание. Записывая отношение отрезков, следует двигаться по контуру треугольника от вершины до точки пересечения с прямой и от точки пересечения до следующей вершины.

2.3. Задачи на применение теорем.

Как видно из доказательств, они очень похожи, поэтому, при рассмотрении теоретического материала, я рассмотрел сразу обе теоремы. А теперь в практической части попробую доказать свою гипотезу, показав красоту решения некоторых задач с использованием ранее неизвестных мне теорем. И для сравнения покажу решение одной и той же задачи разными способами.

Задача 1. На сторонах АВ и АС АВС взяты точки M и N так, что  . Отрезки BN и CM пересекаются в точке K. Найдите отношение отрезков

Решение. Применим теорему Менелая к  и секущей CM. Получим,  

K

Решение задачи используя подобие треугольников.

1. Проведём прямую BD параллельную стороне АС. Точка D точка пересечения этой прямой  с прямой СМ.
2. Рассмотрим треугольники DKB и CKN. Данные треугольники подобны.

3. ;
4. 

5. , из условия.
6. 

                                        Ответ:

Задача разобрана мною двумя способами для сравнения. Краткость решения во втором способе подтверждает моё предположение о необходимости изучения этих теорем в школе. Продолжу:

Теперь докажем известные нам факты о замечательных точках с использованием теоремы Чевы.

Задача 2:  Доказать, что биссектрисы углов треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Пусть АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы треугольника АВС, т.к. биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, длины которых пропорциональны противолежащим сторонам, то

Перемножив полученные равенства, получим:

Т.о. по теореме Чевы, биссектрисы пересекаются в одной точке.

С

В1

А1

А

В

С1

Задача 3: Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. Так как точки А1, С1, В1 лежат на сторонах треугольника, достаточно доказать, что выполняется равенство

 Так как ВВ1, СС1, АА1 медианы имеем,  что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые ВВ1, СС1, АА1 пересекаются в одной точке. Ч.т.д.

Школьное доказательство.

Рассмотрим треугольник АВС. Обозначим буквой О точку пересечения медиан АА1 и ВВ1.

Проведём среднюю линию А1В1 этого треугольника.

 Отрезок А1В1параллелен стороне АВ, поэтому

Следовательно, и значит их стороны пропорциональны:

АВ = 2 А1В1,  поэтому АО = 2А1О и ВО = 2В1О.

Таким образом, точка О пересечения медиан АА1 

и ВВ1делит каждую из них в отношении 2:1,

считая от вершины.

Аналогично доказывается, что точка пересечения

медиан ВВ1 и СС1 делит каждую из них

 в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы треугольника АВС пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая с вершины.

Задача 4. Докажите что высоты остроугольного треугольника пересекаются в одной точке.

Доказательство. 

Пусть BN,AM,CK высоты треугольника АВС проведённые соответственно к сторонам АС,СВ ,АВ. Так как точки M,N,K лежат на сторонах треугольника АВС, то достаточно доказать, что

Тогда в силу теоремы Чевы прямые  BN, AM, CK пересекаются в одной точке.Ч.т.д.

Школьное доказательство.

Рассмотрим произвольный треугольник АВС и докажем. Что прямые АА1, ВВ1,СС1, содержащие его высоты пересекаются в одной точке.

Проведём через каждую вершину треугольника АВС прямую ,параллельную каждой стороне. Получим треугольник А2В2С2.

1. Точки А, В, С середины сторон треугольника АВС. АВ = А2С,

АВ = СВ2как противоположные стороны параллелограмма АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С  = СВ2.

2. Аналогично С2А = АВ2, С2В = ВА2.
3. .

Таким образом прямые АА1, ВВ1,СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2.Значит, они пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Задача 5: Доказать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точки касания вписанной окружности, пересекаются в одной точке, называемой точкой Жергона.

 (французский математик Жозеф Диаз Жергон, 1776 – 1831 г.г)

Доказательство:

Пусть окружность касается сторон треугольника АВС в точках А1, В1, С1, т.к. длины касательных, проведённых из одной точки к окружности, равны, то  АВ1=АС1, ВС1=ВА1, СА1=СВ1.

Тогда

Следовательно, по теореме Чевы, данные прямые пересекаются в одной точке.

С

А1

В

А

В1

С1

Задача 6: Докажите, что прямые, проходящие через вершины треугольника  и точки касания вневписанных окружностей, пересекаются в одной точке (точке Нагеля).

(немецкий учёный Нагель Христиан Генрих фон (1803-1882 г.г)).

    Чтобы доказать данную теорему, необходимо ввести определение вневписанной окружности.

     Определение: Окружность называется вневписанной, если она касается одной стороны этого треугольника и продолжений двух других его сторон.  Сделаем чертёж.  Центр вневписанной окружности, лежит в точке пересечения биссектрис  внешних углов треугольника.    

Доказательство:

Тогда, из прямоугольных треугольников ОВС1, ОАС1 получим: ;

из прямоугольных треугольников О2В1С, О2АВ1  получим: ;

из прямоугольных треугольников О1ВА1, О1А1С  получим: ,  составим произведение соответствующих отрезков с использованием равенства из теоремы Чева:

Т.о. данные прямые пересекаются в одной точке.

Таким образом, мы добавили к замечательным точкам треугольника ещё две: точку Жергонна и точку Нагеля.  

Задача 7 (прямая Симпсона). Основания перпендикуляров, проведенных к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки, описанной около него окружности, лежат на одной прямой.

Решение. Пусть PA1, PB1, PC1 перпендикуляры, проведённые к прямым, содержащим стороны треугольника АВС. Запишем теорему Менелая для

А теперь докажем, что это равенство верно.

Следовательно, в силу теоремы Менелая точки А1, В1. С1 лежат на одной прямой.

Задача 8  (Теорема Дезарга). Прямые АА1 , ВВ1 , СС1 пересекаются в одной точке О. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A1B1 , BC и B1C1 , AC и A1C1 лежат на одной прямой.

Решение. 

Пусть A2 , B2 , C2 – точки пересечения прямых BC и B1C1 , AC и A1C1 , AB и A1B1 . Применим теорему Менелая к следующим треугольникам и секущем:

Перемножив равенства получим.

4. Следовательно в силу теоремы Менелая точки А2, В2, С2Лежат на одной прямой.

Заключение.

Теоремы Чевы и Менелая  просты  в  понимании. Но  трудности,  связанные  с  освоением  этих  теорем, оправданы  их  применением  при  решении  задач.

Замечательным свойством теорем является то, что они могут служить отправной точкой при повторении основных свойств треугольника в 9 классе. В частности, с их помощью легко доказываются следующие утверждения:

1.  Медианы треугольника пересекаются в одной точке.
2. Высоты треугольника пересекаются в одной точке.
3. Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке.

   Одним из замечательных свойств геометрических задач является многообразие методов их решения. Поэтому остановимся на том, когда же имеет смысл применять теорему Менелая при решении задач? Возможность применить теоремы Менелая имеет смысл, когда  в условии задачи:

1. Идёт речь, об отношении отрезков (иногда завуалированном: доказать равенство отрезков, доказать, что точка является серединой отрезка).
2. Если на чертеже имеются элементы, присутствующие в теореме Менелая (треугольник и прямая, пересекающая его стороны или их продолжения).

     3.Иногда полезно применять обратную теорему (если необходимо доказать, что какие-нибудь точки лежат на одной прямой). А также при доказательстве теорем.

 В своей работе  с помощью теоремы Менелая я доказываю теорему Чевы, Симпсона, Дезарга и многие другие известные соотношения.

Доказательства утверждений приводятся в работе.

Применение опыта решения планиметрических  задач с использованием теорем Чевы и Менелая даёт дополнительные возможности при изучении геометрии, помогает повысить уровень пространственного воображения и уровень логической культуры.

Теоремы Чевы и Менелая  помогают решить задачи более  рационально, чем их  решение  другими  способами, например  векторным, которое  требует  дополнительных  действий ; быстро  и  оригинально  решить  задачи  повышенной  сложности.  

    Данная работа содержит геометрический материал достаточный для того, чтобы использовать его на элективных курсах и как дополнительный материал для учащихся интересующихся математикой. Данную работу можно продолжить, изучив применение этих теорем в пространстве.

Задачи для самостоятельного решения

1. Точка С1 и А1 делят стороны АВ и ВС треугольника АВС в отношении 1:2. Прямые СС1 и АА1 пересекаются в точке О. Найдите отношение, в котором прямая ВО делит сторону АС.
2. Точка А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях 2:1 и 1:2. Прямые АА1 и ВВ1пересекаются в точке О. Площадь треугольника АВС равна 1. Найдите площадь треугольника. ОВС.
3. В треугольнике АВС точки D и К лежат соответственно на сторонах АВ и АС, отрезки ВК и CD пересекаются в точке О, при этом ВО : ОК = 3:2 и CO:OD =2:1. Найти в каком отношении точка К делит сторону АС, т.е. АК : КС.
4. Точка D и F лежат на сторонах ВС и АС треугольника АВС, отрезки AD и BF пересекаются в точке О. Известно, что AF:FC =3:2 и ВО = OF. Чему равно отношение BD:DC?
5. Используя теорему Чевы доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке.
6. Через точку М, взятую на медиане AD треугольника АВС, и вершину В проведена прямая, пересекающая сторону АС в точке К. Найти отношение , если: а) М – середина отрезка AD;  б) .
7. Биссектрисы MD и NK треугольника MNP пересекаются  в точке О.

      Найдите отношение ОК:ON, если MN = 5 см,  NP = 3 см, МР = 7 см.

8. Основание равнобедренного треугольника относится к боковой стороне треугольника как 4:3, а высота, проведённая к основанию, равна 30 см. Найдите отрезки, на которые эту высоту делит биссектриса угла при основании.

Список литературы

1. Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. М.: Аванта +, 2002.      
2. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии: Ч.1. М.: Наука, Физматлит, 1995.
3. Сканави М. И. Сборник задач по математике для поступающих во Втузы. М.: Высшая Школа, 1995.
4. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М.: Наука, 1991.
5. Математика. Еженедельное учебно-методическое приложение к газете «Первое сентября», 2004 №13,14.

6. Б.Орач  «Теорема  Менелая». Квант № 3, 1991.

7. Шарыгин И.Ф. Геометрия. Задачник.9—11 классы. — М.: Дрофа, 1996.

8. К. А. Иванов «О пропорциональных отрезках в треугольнике» , журнал              « Математика в школе» №8-2004.

9. Е. Качалкина « Применение теорем Чевы и Менелая», журнал  «Математика в школе» №13,14 -2004.

10. Г.И.Глейзер. История математики в школе – 1983, - 316с.

Приложение.

Задача 1. На стороне ВС АВС выбрана точка F. Оказалось, что отрезок AF пересекает медиану BD в точке Е так, что АЕ = BE. Доказать, что BF = FE.

Решение.

Запишем теорему Менелая для и  прямой  BD

т. к. CD = DA и AE = BC имеем  ,

 значит FB = EF.Ч.т.д.

Задача 2. Площадь  равна S.  Отрезок AM поделил сторону ВС в отношении ВМ : МС = 4 : 3, а отрезок BN поделил сторону AC в отношении AN : NC = 5 : 3. Найдите площадь четырехугольника NKMC (K-точка пересечения AM и BN)

Решение:        

SMKNC = SBNC - SBKM

1. SBNC =  S;

N делит сторону АС отношении 3 : 8.

У  и   высоты совпадают.

 ; SBNC=  S

2. т. к.   имеют общий угол

 , из условия задачи.

3. Для того, чтобы найти отношение   воспользуемся теоремой Менелая для треугольника NBC и секущей MK  

Задача 3. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника АВС взяты точки A1 ,  B1  и C1 такие, что   Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми АА1, ВВ1 и СС1 , если площадь треугольника АВС равна S.

Решение:        
 

I. 

1.  имеют равные высоты   (из условия задачи). .

2.  имеют общий угол   .

3. Применим теорему Менелая к .

-     из условия

II.

1. S

S

2. S

       S

3. S
4. 

Ответ:

Задача 4. На медиане СМ треугольника АВС дана точка Р. Прямые АР и ВР Пересекают стороны ВС и АС соответственно в точках А1 и В1.Доказать, что отрезок А1В1 параллелен АВ.

Доказательство.

Прямые АА1, ВВ1, МС пересекаются в одной точке.

В силу теоремы Чевы  

 .. В силу теоремы об пропорциональных отрезках  отсекаемых параллельными прямыми на сторонах угла отрезок А1В1 параллелен АВ. Ч.т.д.

Задача 5. В треугольник АВС вписана полуокружность так, что её диаметр лежит на стороне ВС, а дуга касается сторон АВ и АС соответственно в точках С1 и В1. Доказать, что прямые пересекаются на высоте АА1 треугольника.

                                                      Доказательство.

 Из условия задачи следует, что точки А1, С1, В1 лежат на сторонах треугольника АВС. Следовательно , достаточно доказать, что

Центр О полуокружности соединим с точками касания С1 и В1.

Обозначим через r радиус окружности, из прямоугольных треугольников ОВС и ОСВ находим: ;.

Из прямоугольных треугольников АВА1 и АСА1, следует ;.

АВ1=АС1, как отрезки касательных.

Следовательно, согласно теореме Чевы,

прямые ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.

  Задача 6.

Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK:KD=3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.

Решение. 

Пусть BD = DC = a, KD = m;  тогда AK = 3m. Пусть Р – точка пересечения прямой ВК со стороной АС.

 Необходимо найти отношение  

Так как треугольники АВР и РВС имеют равные  высоты, проведенные из вершины В, то

По теореме Менелая для треугольника ADC и секущей PB имеем:

Итак,

Ответ: 3:2.

 Задача 7.

В треугольнике АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 5, АС = 4.

А1 ,В1и С1 – точки касания, принадлежащие соответственно сторонам ВС,АС и ВА. Р – точка пересечения отрезков АА1 и СС1. Точка Р лежит на биссектрисе ВВ1. Найдите АР:РА1.

Решение. 

 Пусть С1В = x, тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введем обозначения : ВА1=ВС1=х, А1С = СВ1= 5-х, АВ1= АС1= 8-х.

Так как  АС=4

8-x+5-x=4,

Значит,

В треугольнике АВА1 прямая С1С пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

Ответ: 70:9.

  Задача 8.

В треугольник АВС, описанном около окружности, АВ = 8, ВС = 12, АС = 9, А1 и С1 – точки касания, лежащие соответственно на сторонах ВС и АВ. Q – точка пересечения отрезков АА1 и ВВ1. Q лежит на высоте ВВ1. Найдите отношение ВQ:QB1.

Решение. 

Треугольник АВС – разносторонний, значит, точка В1 не совпадает с точкой касания.

1. Пусть С1В = x,тогда, используя свойство касательных, проведённых к окружности из одной точки, введём обозначения:

 ( 13-x ) + ( 12-x ) = 9, x = 8.

 Значит, С1В = 8, АС1 = 5.

2. По формуле Герона

      3.   Из треугольника АВВ1( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ1 =

      4.   В треугольнике АВВ1 прямая СС1 пересекает две его стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

Ответ: 162:35.

 Задача 9.

 Стороны треугольника 5,6 и 7. Найдите отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

Решение.

 Пусть в треугольнике АВС, АВ = 5, ВС = 7, АС = 6. Угол ВАС лежит против большей стороны в треугольнике АВС, значит, угол ВАС – больший угол треугольника. Центр вписанной окружности треугольника лежит на пересечении биссектрис. Необходимо найти АО:ОD. Так как AD – биссектриса треугольника АВС,

то

то есть BD = 5k, DC = 6k.

Так как BF – биссектриса треугольника АВС,

то  то есть AF = 5m, FC = 7m.

Прямая BF пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ADC. По теореме Менелая          

Ответ: 11:7.

  Задача 10.

Биссектрисы BF и AD треугольника АВС пересекаются в точке Q. Найдите площадь треугольника АВС, если          

Решение.

 Пусть АВ = a, тогда АС =

АD- биссектриса треугольника АВС,

тогда то есть BD = 2p,DC = 3p.

ВЕ – биссектриса треугольника АВС, тогда

   В треугольнике ВЕС прямая АD пересекает две его стороны и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая

 то есть EQ = 9m,QB = 14m.

   Треугольники QBD и EBC имеют общий угол, значит,

   Треугольники АВС и ВЕС имеют равные высоты, проведённые из

вершины В, значит,

тогда

   Ответ: 115:16.

  Задача 11.

В треугольнике АВС, площадь которого равна 6, на стороне АВ взята точка К, делящая эту сторону в отношении АК:ВК = 2:3, а на стороне АС – точка L, делящая АС в отношении AL:LC = 5:3. Точка Q пересечения прямых CK и BL удалена от прямой АВ на расстояние . Найдите длину стороны АВ.

Решение.

1. Треугольники ABL и ABC имеют одинаковую высоту, проведённую из вершины В.

тогда

2.   Прямая КС пересекает в треугольнике ABL две стороны и продолжение третьей. По теореме Менелая

то есть BQ = 4p, QL = p.

3.    Треугольники KBQ и ABL имеют общий угол, значит,

 тогда

4.  

тогда  

Итак, АВ = 4.

Ответ: 4.

 Задача 12.

В треугольнике АВС точки К и L принадлежат соответственно сторонам АВ и ВС. АК:ВК = 1:2, CL:BL = 2:1. Q – точка пересечения отрезков AL и CK. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение.

 В треугольнике МВС прямая AL пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая  1)  

   В треугольнике АВМ прямая КС пересекает две стороны треугольника и продолжение третьей стороны. По теореме Менелая 2)  

то есть МС = 4p, AM =p.

2.   Ещё раз перепишем равенство (1):

то есть MQ = 2l, QB = 5l.

3.   Треугольники BQC и MBC имею общий угол, значит,

тогда

4.   Треугольники АВС и МВС имеют равные высоты, проведённые из вершины В, значит,

   Ответ: 1,75.

  Задача 13.

 На стороне АС в треугольнике АВС взята точка К,  АК = 1, КС = 3.

На стороне АВ взята точка L. AL:LB = 2:3. Q – точка пересечения прямых ВК и CL. Найдите длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины В.

Решение. 

Прямая ВК пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ALC. По теореме Менелая  

то есть LQ = 1p, QC = 5p.

1)   Треугольники ALC и AQC имеют общий угол, значит,

2)   Треугольники АВС и ALC имеют общую высоту, проведённую из вершины С, значит,

3)  

   Ответ: 1,5.

  Задача 14.

Через середину М стороны ВС параллелограмма АВСD, площадь которого равна 1, и вершину А проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке Q. Найдите площадь четырёхугольника QMCD.

Решение. 

так как СО – медиана треугольника BCD, значит, делит треугольник BCD на два равновеликих треугольника.

   1) МА пересекает две стороны и продолжение третьей треугольника ВОС, значит, по теореме Менелая

откуда

   2) Треугольники BQM и BOC имеют общий угол, значит  

Итак,

   3)

 Ответ:

  Задача 15.

В трапеции ABCD с основанием AD и ВС через середину А проведена прямая, которая пересекает диагональ BD в точке Е и боковую сторону CD в точке К, причем BE:ED = 1:2 и CK:KD = 1:4. Найдите  отношение длин оснований трапеции.

Решение.

Пусть ВC = a, AD = b. Необходимо найти

Пусть Q – точка пересечения прямых ВС и АК.

 1) По теореме Менелая для треугольника BCD и секущей AQ имеем

 2) ( по двум углам ), тогда

Так как a =BC, b = AD,то

Ответ: 1:4.

  Задача 16.

На стороне NP квадрата MNPQ взята точка А, а на стороне PQ – точка В так, что NA:AP=PB:BQ=2:3. Точка L является точкой пересечения отрезков МА и NB. В каком отношении точка L делит отрезок MA?

Решение.

 Проведём прямую Ав. Пусть она пересекает MQ в точке F. Пусть прямая NB пересекает прямую MQ в точке D.

 тогда

 откуда  тогда  откуда

   Из треугольника APB ( прямоугольного ) по теореме Пифагора АВ =

   Из треугольника QBF (прямоугольного ) по теореме Пифагора BF =

Из треугольника AFM по теореме Менелая

Ответ: 25:4.