Теоремы Чевы и Менелая
презентация к уроку по геометрии (10 класс) на тему
Предварительный просмотр:
Подписи к слайдам:
Теоремы Чевы и Менелая « Обладая литературой более обширной, чем алгебра и арифметика вместе взятые, и по крайней мере столь же обширной, как анализ, геометрия в большей степени чем любой другой раздел математики, является богатейшей сокровищницей интереснейших, но полузабытых вещей, которыми спешащее поколение не имеет времени насладиться ». Е. Т. Белл.
ЧЕВИАНА Отрезок, соединяющий вершину треугольника с некоторой точкой на противоположной стороне, называется чевианой . Таким образом, если в треугольнике АВС X , Y и Z - точки, лежащие на сторонах ВС, СА, АВ соответственно, то отрезки А X , В Y , С Z являются чевианами. Этот термин происходит от имени итальянского математика Джованни Чевы , который в 1687 году опубликовал следующую очень полезную теорему
Теорема Чевы Если три чевианы А X , В Y , С Z ( по одной из каждой вершины ) треугольнка АВС конкурентны, то
Когда мы говорим, что три прямые ( или отрезка ) конкурентны , то мы имеем в виду, что все они проходят через одну точку, которую обозначим через Р.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО Для доказательства теоремы Чевы вспомним, что площади треугольников с равными высотами пропорциональны основаниям треугольников. Ссылаясь на рисунок, мы имеем
Теперь, если мы перемножим их, то получим .
Теорема Менелая: Пусть точка А1 лежит на стороне ВС треугольника АВС, точка С1 – на стороне АВ, точка В1 – на продолжении стороны АС за точку С. Точки А1,В1 иС1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство
А В1 В С А1 С1 Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).
Задача 1. В треугольнике АВС на стороне ВС взята точка N так, что NC = 3 BN ; на продолжении стороны АС за точку А взята точка М так, что МА=АС. Прямая MN пересекает сторону АВ в точке F . Найдите: отношение
Решение По условию задачи МА = АС, NC = 3 BN . Пусть МА = АС = b , BN = k , NC = 3 k . Прямая MN пересекает две стороны треугольника АВС и продолжение третьей. По теореме Менелая В F C А M N k 3k b b Ответ:2:3.
Задача 2. Пусть AD – медиана треугольника АВС. На стороне AD взята точка K так, что AK : KD =3:1. Прямая ВК разбивает треугольник АВС на два. Найдите отношение площадей этих треугольников.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/02/picture-168504-1357150608.jpg)
Научно-исследовательская работа по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Математические знания в далеком прошлом применялись для решения повседневных задач, и именно практика в значительной степени руководила всем дальнейшим развитием математики. И уже в древности ге...
![](/sites/default/files/pictures/2012/03/05/picture-64971.jpg)
Теорема Чевы. Теорема Менелая
Урок геометрии в 10 профильном классе по теме "Теорема Чевы. Теорема Менелая"...
![](/sites/default/files/pictures/2019/01/04/picture-1080537-1546609859.jpg)
Теорема Чевы и Менелая
Урок геометриии для 8 класса школы с углубленным изучением математики. Задачи урока: - повторить теоремы Менелая и Чевы; - отработать применение теорем при решении задач;- развивать мышление и логику...
![](/sites/default/files/pictures/2019/07/20/picture-436044-1563600057.jpg)
Теорема Чевы и Менелая в задачах ЕГЭ
Применение теоремы Чевы и Менелая необходимо для подготовки учащихся 11-ч классов к ЕГЭ для решения 14-ч номеров....
Программа факультатива по математике для 9 классов на тему: «Теоремы Чевы и Менелая и их применение к решению задач»
Данная программа факультатива по математике «Теоремы Чевы и Менелая и их применение к решению задач» рассчитана на обучение учащихся 9 классов с разным уровнем подготовки, но проявляющих и...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/06/picture-169727-1357498123.jpg)
Задачи по теме "Теоремы Чевы и Менелая"
Подборка задач предназначена для отработки умений использовать теоремы Чевы и Менелая....