Презентация к уроку "Теорема Чевы"
презентация к уроку по геометрии (8 класс) по теме

Повторение – мать учения I. Подобные треугольники
А
В
С
А1
В1
С1
Треугольник АВС подобен треугольнику А1В1С1 , если <А= <А1;<В= II. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
А
В
С
А1
В1
С1
Треугольники подобны, если:
1) Два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника.
2) Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы заключённые между этими сторонами равны.
3) Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника.
Задача 1
А
В
С
Д
К
АВ II CДДоказать:Тр. АКВ подобен тр. ДКС
Задача 2
Треугольник АВС подобен треугольникуА1В1С1 АВ= 2см., В1С1= 15 смАВ: А1В1=1:5Найти:А1В1=? ВС= ?
Теорема ЧевыИталия (18 век ) Пусть точки А1, В1, С1 лежат соответственно на сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС . Отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда выполняется равенство: АВ1 . СА1 . ВС1 **В1С А1В С1А 1
А
В
С
А1
В1
С1
О
М
Н
--.Пусть отрезки АА1, ВВ1, СС1 пересекаются в точке О. докажем, что выполняется соотношение**
1) Рассмотрим тр. АА1С и тр. НА1В
Из подобия треугольников следует СА1 =АС (1) А1В ВН
2) Рассмотрим тр.ВС1М и тр. АС1С
: из подобия треугольников следует ВС1 = МВ (2) С1А АС
(3) 3) Рассмотрим тр.АОВ1 и тр. НОВ
: из подобия треугольников следует АВ1 = ОВ1 ВН ОВ
4) Рассмотрим тр. СОВ1 и тр.МОВ
: из подобия треугольников следует В1С = ОВ1 (4) МВ ОВ
Из (3) и (4) следует, что АВ1 =В1С , т. е. АВ1 =ВН (5) ВН МВ В1С МВ
(5)*(1)*(2) : АВ1 * СА1*ВС1 = ВН * АС * МВ = 1 В1С А1В С1А МВ ВН АС
Покажем , что отрезки АА1, ВВ1 и СС1проходят через одну точку. (*)
А
В
С
С1
А1
В
Так как три отрезка АА1, ВВ!, СС1 пересекаются в одной точке, то имеет место равенство: АВ!. СА1 . ВС1 1 В! С А1В С1А (**)
Из равенств (*) и (**) следует, что АВ = АВ1 В С В1С
=к
АВ! = кВ!С и АВ1 = к В1С (***)
Но АВ! +В! С = АС из (***) имеем кВ! С+В! С=(к+1)В! С=АС АВ1 + В1С =АС из (***) имеем кВ1С+В1С=(к+1)В1С = АС
Значит В1С=В!С
Так как точки В1 и В! лежат на отрезке АС, то В1иВ! совпадают
Значит отрезок ВВ1 проходит через точку О
Пусть точки А1, В1, С1 лежат на сторонах ВС, АС и АВ треугольника АВС и пусть для отрезков сторон выполняется равенство: АВ1 . СА1 . ВС1 1 В1С А1В С1А