Слайд 1

Слайд 2

Теорема Чевы Пусть в ∆ ABC на сторонах BC,AC,AB или их продолжениях взяты соответственно точки A 1 , B 1 и C 1 ,не совпадающие с вершинами треугольника. Прямые A A 1 , BB 1 и CC 1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайд 3

Теорема Менелая Пусть на сторонах AB, BC и на продолжении стороны AC (либо на продолжениях сторон AB,BC и AC) ∆ABC взяты соответственно точки C 1 ,A 1 и B 1 , не совпадающие с вершинами ∆ABC . Точки A 1 , B 1 , C 1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется равенство

Слайд 4

Теорема Менелая и пропорциональные отрезки в треугольнике Задача 1. В треугольнике ABC точка D делит сторону BC в отношении BD : DC = 1: 3, а точка O делит AD в отношении AO : OD =5:2. В каком отношении прямая BO делит отрезок AC? Задача 2. В ∆ ABC на стороне AC взята точка M , а на стороне BC – точка K так, что AM : MC = 2:3, BK : KC = 4:3. В каком отношении AK делит отрезок BM ? Задача 3. В ∆ ABC AA 1 - биссектриса, BB 1 - медиана; AB =2, AC =3; Найти BO : OB 1

Слайд 5

Теорема Чевы и ее следствия. Следствие 1 . Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Следствие 2 . Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 3 . Высоты треугольника (или их продолжения) пересекаются в одной точке.

Слайд 6

Теорема Чевы и ее следствия. Следствие 4 . Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Следствие 5 . Прямые, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых вписанная окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.

Слайд 7

Задачи, связанные с нахождением площадей Задача 1. Медиана BD и биссектриса AE треугольника ABC пересекаются в точке F . Найти площадь треугольника ABC , если AF =3 FE , BD =4, AE =6. Задача 2. На сторонах AB и BC треугольника ABC взяты точки M и N соответственно. Отрезки AN и CM пересекаются в точке L . Площади треугольников AML , CNL и ALC равны соответственно 15, 48 и 40. Найти площадь треугольника ABC .

Слайд 8

«Теорема Менелая и теорема Чевы » Задача. В треугольнике ABC на стороне AC взята точка N так, что AN : NC = m : n , на стороне BC - точка K . BN пересекает AK в точке Q , BQ : QN = p : q . Найти отношение площадей треугольников AKC и ABK . Рассмотрим треугольник BCN и секущую AK. По теореме Менелая

Слайд 9

Решение: AN = NC , AM =5+2=7. Рассмотрим ∆AMC и секущую NB. По теореме Менелая Пусть коэффициент пропорциональности равен k , тогда СМ=3 k , BM =2 k . Из ∆ ACM- прямоугольного: , Задача. В равнобедренном треугольнике ABC ( A С= BC ) проведены медиана BN и высота АМ, которые пересекаются в точке D . AD =5, DM =2. Найти

Слайд 10

Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач. Задача. На продолжении ребра АС правильной треугольной пирамиды ABCD с вершиной D взята точка K так, что КА:КС=3:4, а на ребре DC взята точка L так, что DL : LC =2:1. В каком отношении делит объем пирамиды плоскость, проходящая через точки B , L и К?

Слайд 11

Применение теорем Менелая и Чевы в решении стереометрических задач. Задача. Дана правильная треугольная призма с боковыми ребрами AA 1 , BB 1 и CC 1 . Причем на продолжении ребра BA взята точка M так, что MA=AB . Через точки M,B 1 и середину ребра AC проведена плоскость. В каком отношении она делит объем призмы?