«Элементы топологии на внеклассных занятиях по математике»
методическая разработка по алгебре на тему
Все, что проводится в школе в плане осуществления внеклассной работы во внеурочное время, в некоторых педагогических источниках объединяется одним общим понятием – внеклассная работа.
Внеклассная работа способствует раскрытию индивидуальных особенностей ребенка, которые не всегда удается рассмотреть на уроке. Но, несмотря на некоторую свою произвольность и специфическую воспитательную направленность, внеклассная работа всегда строится на основе программного материала. Но это не исключает рассматривать и дополнительные вопросы, лишь бы они были доступны и весьма интересны изучения их учащимися. Одним из таких вопросов может являться изучение одного из разделов математики – Топология.
«Молодая» по своей сути наука вызывает трудности в ее изучении и преподавании в школе. В то время как ее изучение позволяет развивать у детей наглядно-образное мышление, долговременную память, а также умения конструировать фигуры и поверхности.
Одним из первых, кто оказал помощь учителям в преподавании топологии, был Игорь Фёдорович Шарыгин и Лариса Николаевна Ерганжиева, которые разработали учебник «Наглядная геометрия, 5-6 кл.». В своем учебнике они рассмотрели лишь малую часть того, что можно было бы выдать школьникам – лист Мебиуса, лабиринты, графы.
Я расширила этот материал и предлагаю его в возможном использовании в условиях предпрофильного обучения. Тема эта весьма актуальна и своевременна, т.к. выбор профиля обучения, зависит в большей степени от выбора будущей специальности, от того, какое место будет занимать в ней, в частности, математика. И так, Вашему вниманию представлены два первых занятия на тему «Элементы топологии на внеклассных занятиях по математике».
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
elementy_topologii_na_vneklassnykh_zanyatiyakh_po_matematike.docx | 122.67 КБ |
Предварительный просмотр:
«Элементы топологии на внеклассных занятиях по математике»
Все, что проводится в школе в плане осуществления внеклассной работы во внеурочное время, в некоторых педагогических источниках объединяется одним общим понятием – внеклассная работа.
Внеклассная работа способствует раскрытию индивидуальных особенностей ребенка, которые не всегда удается рассмотреть на уроке. Но, несмотря на некоторую свою произвольность и специфическую воспитательную направленность, внеклассная работа всегда строится на основе программного материала. Но это не исключает рассматривать и дополнительные вопросы, лишь бы они были доступны и весьма интересны изучения их учащимися. Одним из таких вопросов может являться изучение одного из разделов математики – Топология.
«Молодая» по своей сути наука вызывает трудности в ее изучении и преподавании в школе. В то время как ее изучение позволяет развивать у детей наглядно-образное мышление, долговременную память, а также умения конструировать фигуры и поверхности.
Одним из первых, кто оказал помощь учителям в преподавании топологии, был Игорь Фёдорович Шарыгин и Лариса Николаевна Ерганжиева, которые разработали учебник «Наглядная геометрия, 5-6 кл.». В своем учебнике они рассмотрели лишь малую часть того, что можно было бы выдать школьникам – лист Мебиуса, лабиринты, графы.
Я расширила этот материал и предлагаю его в возможном использовании в условиях предпрофильного обучения. Тема эта весьма актуальна и своевременна, т.к. выбор профиля обучения, зависит в большей степени от выбора будущей специальности, от того, какое место будет занимать в ней, в частности, математика. И так, Вашему вниманию представлены два первых занятия на тему «Элементы топологии на внеклассных занятиях по математике».
Тема: На подступах к топологии
Цели: Обучающая: Ввести понятие топологии и одного из ее преобразований – деформация
Развивающая: Создать условия для развития операций логического мышления – анализа, синтеза и обобщения
Воспитывающая: Воспитание умения преодолевать трудности
I Организационный этап
Цель: организовать и настроить учащихся на работу в течение всего урока
II Мотивационный этап
Цель: заинтересовать учащихся в изучении топологии
Метод: частично-поисковый
Прием: решение задач
Учитель: Геометрия, изучаемая в школе, имеет дело почти исключительно со свойствами фигур, связанными с понятиями длины, величины угла, площади и объема. Такие свойства фигур называются метрическими. Лишь очень немногие теоремы и задачи школьного курса геометрии рассматривают свойства иного характера. Например, решим следующую задачу.[25, 63]
Сколько диагоналей можно провести в выпуклом десятиугольнике?
(учащиеся выполняют решение)
У кого какие варианты?
(учащиеся предлагают свои варианты ответов)
Учитель: Если мы будем решать эту задачу непосредственно, т.е. проведем в данном многоугольнике все возможные диагонали, и попытаемся их пересчитать, то увидим, что сделать это не совсем просто. Давайте представим, что все диагонали многоугольника - эластичные тесемки, прикрепленные к соответствующим вершинам. Тогда каждую диагональ можно было бы поднять в пространстве. Например, вторую диагональ поднять чуть выше, чем первую; третью поднять чуть выше, чем вторую и т.д. При этом диагонали не пересекались бы, и мы могли бы без труда их пересчитать. От натяжения тесемок изменились бы их длины, величины, некоторых углов и т.п., а число диагоналей (тесемок) осталось бы тем же самым.
Но для решения этой задачи такие изменения элементов фигур значения не имеют. Здесь мы сталкиваемся с геометрическими свойствами, которые не являются метрическими.[25, 64]
III Этап введения понятия
Цель: ввести понятие топологии и одного из ее преобразования – деформация
Метод: частично-поисковый
Прием: работа с полоской бумаги и с пластилином
Учитель: Топология и является разделом геометрии, изучающим свойства фигур, которые могут быть установлены без измерения и сравнения длин и величин углов, и которые, тем не менее, имеют вполне геометрический характер.
Термин «Топология» (по-гречески «топос» тоже, что по-латыни, situs-«место») был впервые введен немецким физиком, математиком и астрономам Иоганном Бенедиктом Листингом (1808-1882) в своей небольшой книге «Предварительные исследования по топологии», изданном в 1847 г. [ 16,111]
Топология – это раздел геометрии, который рассматривает различные преобразования. [25,64]
Одно из таких преобразований – это деформация. Давайте остановимся на ней поподробнее.
Деформация – это такое преобразование модели фигуры, которое сводится к растяжению, сжатию, изгибанию, скручиванию; при этом две различные точки модели фигуры не должны приводиться в состояние физического соприкосновения друг с другом и, не должно происходить разрывов тех частей модели фигуры, которые были соединены друг с другом. [25,68]
У вас на столах лежат полоски бумаги.
1.Возьмите полоску бумаги, допустим это отрезок АВ.
2.Обозначте его.
3.Применим теперь деформацию к этой геометрической фигуре.
(учащиеся проделывают самостоятельно, учитель контролирует)
Хорошо. 1.А теперь совместите точки А и В, склейте полоску.
Что у нас получилось?
Учащиеся: окружность
Учитель: Мы можем с ней проделать какую-либо деформацию?
Учащиеся: Можем
Учитель: Проделайте, и обратите внимание на то, какие геометрические фигуры вы можете получить при деформации окружности?
(учащиеся проделывают работу)
Иными словами, топологические свойства, изучением которых и занимается топология, - это те свойства, которые остаются инвариантными при любом топологическом преобразовании, под которым можно понимать любой изгиб, сжатие, расширение, искажение размеров и формы фигуры и всякое вообще преобразование, лишь бы сохранить отношения прикосновения, бесконечной близости, т.е. взаимная непрерывность (отсутствие разрывов) и взаимная однозначность (отсутствие какой-либо спайки, склеивания). Такие преобразование называются тоже гомеоморфными или гомеоморфизмами (от греческих слов «гомойос»- подобный и «морфе»- вид, форма, строение). [25,67]
Теперь рассмотрим деформацию в пространстве.
1.Из пластилина слепите шар, представьте, что вы работаете только с поверхностью шара, т.е. сферой.
2.Примените к нему такое преобразование как деформация.
Как вы считаете, при деформации меняются свойства фигур?
Учащиеся: Нет.
IV Этап закрепления понятия
Цель: закрепить понятия деформация и гомеоморфизмы
Метод: частично-поисковый
Прием: решение практических задач
Учитель: Давайте разберемся, ответив на некоторые вопросы:
1.Какие из свойств квадрата изменяются при его деформации; какие остаются неизменными (инвариантными)? Почему иногда говорят, что квадрат более похож на окружность, чем окружность на кольцо?
Учащиеся: При топологических преобразованиях изменяется площадь квадрата, величины углов, прямолинейность ребер и т.д. Неизменным остается непрерывность контура квадрата и т.д.
Квадрат более похож на окружность, чем окружность на кольцо, т.к. окружность и квадрат являются гомеоморфными фигурами, а квадрат и окружность не гомеоморфны кольцу.
Учитель: Так значит, меняются свойства фигур при деформации?
Учащиеся: Да, но не все.
Учитель: Рассмотрим теперь такие рисунки:
а) б) в) г) д)
Какие из фигур, изображенных на рисунке гомеоморфны?
Учащиеся: а) гомеоморфно г).
Учитель: Какие буквы русского алфавита гомеоморфны друг другу? Найдите такие пары. [25,68-71]
Учащиеся: р и ь, э и е, е и ш, с и п.
V Этап подведения итогов
Цель: подвести итоги
Учитель: Ребята, с чем мы сегодня познакомились?
Учащиеся: С элементами топологии и ее преобразованием – деформация
Учитель: Что вам понравилось больше всего?
(учащиеся отвечают)
Что вызвало у вас затруднения?
(учащиеся отвечают)
Спасибо за занятие, можете быть свободны.
Занятие 2
Тема: Лист Мёбиуса
Цели: Обучающая (ознакомить учащихся с топологической поверхностью – тор, и её свойствами)
Развивающая (создать условия для развития абстрактно-логического мышления, произвольной долговременной памяти через установку на запоминание)
Воспитательная (воспитание целеустремленности)
I Организационный этап
Цель: организовать и настроить учащихся на работу в течение всего урока
II Подготовительный этап
Цель: актуализировать опорные знания и умения
Метод: репродуктивный +частично-поисковый
Прием: работа с листом бумаги
Учитель: Давайте вспомним, о чем мы говорили с вами на прошлом занятии. Возьмите лист бумаги, которые лежат у вас на столах. Если мы посадим на одну сторону листа муху, и заставим ее ползти, то, чтобы она попала на другую сторону листа ей надо переползти через край. Сколько раз ей надо переползти через край, чтобы вернуться в тоже место?
Учащиеся: два раза
Учитель: Таким образом, у нас лист имеет две стороны. Представим, что мы посадили муху на край листа и заставили ее ползти по этому краю. К какому результату мы придем? (путь мухи проделайте с помощью ручки)
(учащиеся проделывают опыт)
Учащиеся: Муха вернется в начало своего пути, следовательно, у листа бумаги один край.
Учитель: Если мы немного изменим форму листа бумаги, изменится ли количество краев и сторон?
Учащиеся: Нет. У листа останется один край и две стороны.
Учитель: А если мы сомнем этот лист, его свойства от этого изменятся?
Учащиеся: Нет.
Учитель: Как называется такое преобразование?
Учащиеся: Непрерывная деформация
Учитель: Молодцы! Вспомнили
III Введение нового понятия
Цель: ввести понятие листа Мебиуса и рассмотреть его свойства
Метод: частично-поисковый
Прием: работа с листом бумаги
Учитель: Возьмите лист бумаги и отрежьте полоску. Склейте ее так, чтобы начало одной меньшей стороны совпало с концом другой меньшей стороны. (учитель показывает, как это сделать, учащиеся проделывают то же самое)
Как вы думаете, сколько у полученного кольца сторон и краев? Чтобы узнать, сколько сторон у полученного кольца, нужно взять карандаш и провести непрерывную линию. Что вы получили?
Учащиеся: Карандаш прошел по всему кольцу, не переходя через край, и вернулся в начальную точку. Из этого можем сделать вывод, что у полученного кольца одна сторона и один край.
Учитель: У этого кольца есть особое название – «лист Мёбиуса». Лист Мёбиуса – простейшая односторонняя поверхность. Ее придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинанд Мёбиус (1790-1868 г.). Он был первоначально астроном, как и многие из тех, кому математика была обязана своим развитием. [4,277]
1. Сделайте разрез по средней его линии, параллельно краю.
(учащиеся проделывают опыт)
Что же получилось?
Учащиеся: Лист Мёбиуса не распался, а превратился в замкнутую двустороннюю поверхность.
Учитель:
2. Разрежьте, полученный лист, опять по средней линии.
(учащиеся проделывают опыт)
Учащиеся: Она распалась на две, зацепленные и переплетенные между собой, поверхности.
Учитель: Разрез листа Мёбиуса вдоль линии, параллельно средней линии, приводит к его распаду на более узкий лист Мёбиуса и на двустороннюю, зацепленную с ним, перекрученную поверхность. [9,278]
IV Этап первичного закрепления
Цель: закрепить понятие листа Мёбиуса
Метод: исследовательская работа
Прием: работа с листом бумаги
Учитель: Лист Мёбиуса обладает рядом свойств, которые мы сейчас с вами рассмотрим.
Склейте еще один лист Мёбиуса.
(учащиеся проделывают работу)
Чем отличается прежний лист Мебиуса с полученной нами поверхностью?
Учащиеся: Она перекрутилась два раза.
Учитель: Хорошо, давайте наши результаты запишем в таблицу
Число перекручиваний
Результат разрезания Свойства
Число перекручиваний | Результат разрезания | Свойства |
0 | Два кольца | Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже |
1 | Одно кольцо | Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже |
2 | Два кольца | Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже |
3 | Одно кольцо | Кольцо перекручено шесть раз и оно вдвое уже |
V Итог урока
Цель: подвести итог занятия
Учитель: Ребята, с чем мы сегодня с вами познакомились?
Учащиеся: С топологической поверхностью – лист Мёбиус.
Учитель: Какие трудности у вас возникли при изучении листа Мёбиуса?
(учащиеся предлагают свои варианты ответов)
Спасибо за урок, можете быть свободны.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Разработка внеклассного занятия по математике для учащихся специального (коррекционного) класса VIII вида «Путешествие в страну математики»
Математика, как учебный предмет , многим детям с нарушением интеллекта даётся с большим трудом. Испытывая определённые трудности, часто бывает так, что у детей пропадает интерес к данному предме...
Внеклассное занятие по математике "Мир математики"
Внеклассное занятие по математике "Мир математики" предназначено для обучающихся старшей школы. Разработка содержит конспект занятия с презентациями и раздаточным материалом. Занятие может быть ...
Внеклассное занятие по математике "Ох, уж эта математика! "
Разработка внеклассного занятия по математике...
Внеклассное занятие по математике в 5 классе «Великие математики всех времен»
Цель: Познакомить уч-ся с биографией и открытиями великих математиков, показать связь математики с жизнью. Развить ло...
Внеклассное занятие по математике: «Ключи от замка Математики».
Внеклассное мероприятие по математике с использованием интерактивной доски, проводилось во время недели математики. Мероприятие носит познавательный характер, Содержит оригина...
Внеклассное занятие по математике «Математика и здоровье».
Пропаганда здорового образа жизни посредством решения задач по математике за курс 5 класса....
Декада науки. Внеклассное занятие по математике "Великие математики"
Декада науки. Внеклассное занятие по математике "Великие математики"...