Применение метода координат к решению задач.
учебно-методический материал на тему

Применение метода координат к решению задач.

( Доклад. )

Учитель: Посохина Галина Люциевна,

                                                   Высшая категория,

МБОУ «СОШ с. Тоора-Хем»

Метод координат служит основой аналитической геометрии, в которой геометрические фигуры изучаются с помощью методов алгебры.

По учебнику Л.С. Атанасяна метод координат вводится в 9 классе. Назначение главы – расширить и углубить представления учащихся о методе координат, развить умение применять алгебраический аппарат при решении геометрических задач. Учащиеся должны усвоить, что практическое применение метода координат состоит в том, что вводится подходящим образом прямоугольная система координат, условие задачи записывается в координатах и далее решение задачи проводится с помощью алгебраических вычислений.

Полезно подчеркнуть, что систему координат нужно выбирать так, чтобы координаты точек фигуры, которые используются при решении задач, находились по заданным ее элементам наиболее простым образом. Поскольку развитие умения применять метод координат для решения геометрических задач является весьма трудной задачей, то на данном этапе эта цель не может ставиться в отношении всех учащихся.

В учебнике  «Геометрия 7 – 9»  приведены примеры решения геометрических задач методом координат –  № 952, 953, 981, 984.

Разберем еще одну задачу – № 956.

Условие:

Докажите, что в равнобедренной трапеции диагонали равны.

Решение:

Пусть АВСD – данная трапеция с основанием AD = 2а и высотой h. Введем прямоугольную систему координат  Оху  с началом  О  в середине отрезка AD так, чтобы точка D  лежала на положительной полуоси Ох, а прямая ВС пересекала положительную полуось  Оу.

                         у

                                                                                              А (-а; 0)

               В                               С                                           D (а; 0)

                                                                                               В (х1; h)

                                                                                               С (х2; h)

    А –а     х1        0          х2       а   D        х                  х2 – х1 = ВС

АВ2 = (х1 + а)2 + h2                          АС2 = (х2 + а)2 + h2

СD2 = (а – х2)2 + h2                           BD2 = (x1 – a)2 + h2

AB = CD    ⇒      (x1 + а)2 = (а – х2)2

                              х12 + 2ах1 + а2  = а2 – 2ах2 + х22

                              х12 + 2ах1 + 2ах2 – х22 = 0

                              (х1 – х2)(х1 + х2) + 2а(х1 + х2) = 0

                              (х1 + х2)(х1 – х2 + 2а) = 0

АD ≠ ВС    ⇒        х1 – х2 + 2а ≠ 0

                               х1 + х2 = 0

                               х1 = -х2

ВD2 = (-х2 – а)2 + h2 = (x2 + a)2 + h2 = AC2    ⇒  BD = AC, ч.т.д.

Метод координат применим также и при решении задач из стереометрии. Приведу пример задачи, которая легко решается, если правильным образом ввести систему координат.

Это задача  № 456 из учебника  «Геометрия 10 – 11»  Л.С. Атанасяна.

Условие:

Дан прямоугольный параллелепипед  АВСDA1B1C1D1, в котором  АВ = 1, ВС = СС1 = 2. Вычислите угол между векторами

           DВ1  и ВС1.

Решение:                                   z

                                                В1                           С1

                  А1                          D1 

        2

                 y

        C

                                                               1

           A         D

                    х

Введем систему координат так, чтобы  АВ∈ОХ ;  ВС∈ОУ ;  ВВ1∈OZ ,  В – начало координат. Тогда

В1(0; 0; 2)                      С1(0; 2; 2)

D(1; 2; 0)                        В(0; 0; 0)

DВ1 { -1; -2; 2}  ;            BC1 { 0; 2; 2}

DB1; BC1 = ϕ

           Cos ϕ = ( -1⋅0 + (-2)⋅2 + 2⋅2)/( 3⋅2√2 ) = ( -4 + 4)/6√2 = 0

Значит  ϕ = 90° .

Используемая литература:

Геометрия: Учеб. Для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.

Геометрия: Учеб. Для 10 – 11 кл. сред.шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – М.: Просвещение.