Метод координат при решении задач по стереометрии
статья по геометрии (10 класс)

        Одним из способов  решения задач по стереометрии является метод координат. Освоив его, найти угол между поверхностями или прямыми, расстояние от точки до линии, то есть фактически определить положение объекта не составит труда. Главное достоинство применения этого способа заключается в избавлении от наглядности представления сложных пространственных фигур. Исследование свойств геометрических тел привело к возникновению отдельной науки — аналитической геометрии. Основополагающим открытием, позволяющим решать задачи, связанные с фигурами, стал координатный метод.

        Суть метода координат на плоскости и в пространстве заключается в следующем.

1. Ввести систему координат удобным образом (исходя их свойств заданной фигуры)
2. Записать условие задачи в координатах, определив во введенной системе координат координаты точек и/или векторов
3. Используя алгебраические преобразования, решить задачу
4. Интерпретировать полученный результат в соответствии с условием данной задачи

В координатах удобно решать задачи, связанные с поиском расстояний и углов. Но для того чтобы его использовать, нужно знать некоторые формулы:

• Угол между прямыми
• Угол между прямой и плоскостью
• Угол между плоскостями
• Расстояние от точки до плоскости
• Расстояние от точки до прямой в пространстве
• Расстояние между скрещивающимися прямыми

Расстояние между параллельными плоскостями определяется как расстояние от точки, лежащей в одной плоскости, до другой плоскости.

После изучения основных формул метода координат предлагаются задачи на применения метода . Так же необходимо обсудить с учащимися способы введения системы координат, на первых же уроках предлагаются задачи на определение координат вершин многогранника в предложенной системе координат. Далее в данной статье предлагаются задачи по различным темам.  Целесообразно на уроке использовать задачи из разных групп.

1.Метод координат в кубе.

1. В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите угол между прямыми ВА1 и B1D1.
2. В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите синус угла между прямой А1D1 и плоскостью АСB1
3. В кубе АВСDA1B1C1D1 найдите косинус угла между плоскостями AB1D1 и  СB1D1
4. В единичном кубе АВСDA1B1C1D1 найдите расстояние от точки В до плоскости DА1C1
5. Ребро куба равно а.  Найдите расстояние между прямыми, на которых лежат скрещивающиеся диагонали двух смежных граней куба.

2. Координаты в пирамиде.

1. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:   АВ = 8  3, SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC.
2. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:  АВ = 12  3, SC = 13. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой АМ, где М точка пересечения медиан грани SBC.

3. В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием АВС известны ребра:   АВ = 8  , SC = 17. Найдите угол, образованный плоскостью основания и прямой проходящей через середины ребер АS и BC.

4. Нахождение углов

1. Найти угол между плоскостями.
2. В кубе ABCDA1B1C1D1 найдите угол

между плоскостями AB1C и BC1D .

3. В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите косинус угла   между плоскостями ABC и СВ1D1
4. В кубе ABCDA1B1C1D1 точки E и F — середины ребер соответственно  A1B1 и A1D1. Найдите тангенс угла между плоскостями AEF и BDD1.
5. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1 –прямоугольник ABCD, в котором AB=12, AD=5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину ребра AD перпендикулярно прямой BD1, если расстояние между прямыми AC и B1D1 равно 13.

6. Нахождение расстояний.

1. В   правильной шестиугольной призме А…F1   , все ребра которой равны 1, найти расстояние от точки А до плоскости BEF1.
2. В правильной треугольной призме АВСА1В1 С1, все ребра  которой равны 1. Найдите расстояние  между прямыми АВ и СВ1 
3. В правильной 4-угольной пирамиде SABCD  М – середина SA,. Найдите расстояние  между прямыми МD и SB, если АВ = 3, SА= 5.
4. В правильной 4-угольной пирамиде SABCD все ребра равны 1, Е – середина апофемы грани ASB.  Найдите угол между DE и ASC.
5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, у которого AB =,  BC =3,  CC1 =6.  Найдите расстояние от точки А  до плоскости  A1DB.