Применение метода координат при решении стереометрических задач ЕГЭ
статья по геометрии (11 класс)

Применение метода координат при решении

стереометрических задач ЕГЭ (профильный уровень)

Задачи из курса стереометрии на ЕГЭ сложны и вызывают затруднения. Такие задачи можно решать двумя способами:

1. с помощью аксиом, теорем, определений (геометрический метод)
2. с помощью метода координат (аналитическая геометрия)

Характерной особенностью метода координат является определение геометрических фигур уравнениями, что позволяет производить геометрические исследования и решать геометрические задачи средствами алгебры. Другое достоинство метода координат состоит в том, что его применение избавляет от необходимости прибегать к наглядному представлению сложных пространственных конфигураций.

Прямоугольная система координат в пространстве

Если через точку пространства проведены три  попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве.

Прямые с выбранным на них направлением называют осями координат, а их общая точка – началом координат.

Векторы

Любой вектор а можно разложить по координатным  векторам, т.е. представить в виде  

Коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по координатным векторам называются координатами вектора а в данной системе координат.

1. Каждая координата  суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если а {х1; у1; z1} и b {х2; у2; z2}, то вектор а+b имеет координаты {х1+х2; y1+у2; z1+z2}.

2. Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Другими словами, если а {х1; у1; z1} и b {х2; у2; z2}, то вектор а-b имеет координаты {х1-х2; у1-у2; z1-z2}.

3. Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на число. Другими словами, если а {х; у; z}- данный вектор, ɑ - данное число, то вектор аɑ имеет координаты {ɑх; ɑy; ɑz}.

Основные формулы метода координат

1. Косинус угла ɑ между ненулевыми векторами  a {х1; у1; z1} и b {х2; у2; z2} вычисляется по формуле:

2. Известно, что три точки в пространстве определяют единственную плоскость. Поэтому, если заданы три точки, то мы можем найти уравнение плоскости  ах+bу+сz+d = 0.

Мы можем подставить координаты заданных точек в уравнение плоскости и решить систему из трех уравнений с тремя переменными. В этой системе четыре неизвестных, однако, мы можем избавиться от одной, если разделим все уравнения на D:

3. Иногда эта система оказывается несложной. Но иногда бывает трудно ее решить, и тогда можно использовать следующую формулу:

Обозначение |M| означает определитель матрицы М.

В нашем случае матрица представляет собой таблицу 3х3 элемента. И определитель |M| вычисляется следующим образом:

.

Таким образом, уравнение плоскости будет записано так:

4. Пусть координаты точки: , уравнение плоскости: .

Тогда Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле: 

5. Чтобы найти угол между прямой и плоскостью, нужно найти угол между этой прямой и нормалью к плоскости.

Нормалью  к плоскости называется любой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной к этой плоскости.

 Допустим, что нам заданы прямая АВ и плоскость. Зададим координаты направляющему вектору прямой  и нормали. Косинус угла между прямой и нормалью равен синусу угла между этой прямой и плоскостью. Угол  между прямой и плоскостью вычисляется по следующей формуле:

 где угол   -угол между прямой и плоскостью, -вектор нормали к плоскости

АВ} - направляющий вектор прямой.

6. Плоскость ɑ задана уравнением а1x+b1y+c1z+d=0 и её вектор нормали n1{a1; b1; c1}, плоскость β задана уравнением а2x+b2y+c2z+d=0 и её вектор нормали n2{a2; b2; c2}, тогда косинус угла φ между плоскостями:                                                                                                

7. Обозначим через φ величину угла между прямыми l1 и l2, а через ψ - величину угла между направляющими векторами а и b этих прямых.

Тогда, если ψ <90° (рис. а), то φ = ψ; если же ψ > 90° (рис. б), то φ = 180° - ψ. Очевидно, что в обоих случаях верно равенство cos φ = |cos ψ|. По формуле (косинус угла между ненулевыми векторами а и b равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин) имеем

8. Расстояние между точками 

А(x1;y1;z1) и B(x2;y2;z2):  

9. Середина отрезка    

10. Длина вектора 

Применение метода координат при решении задач

1. Задача на нахождение расстояния от точки до плоскости

Задача 1. АВС…D1 – куб с ребром 4. Найти расстояние от точки А до плоскости ЕКС (Е – середина D1C1, K – середина C1B1)

Решение. Введем систему координат с началом в вершине А так, как показано на рисунке:

Интересующие нас точки будут иметь координаты:

A(0; 0; 0), C(4; 4; 0), E(4; 2; 4), K(2; 4; 4).

Напишем уравнение плоскости ЕКС:

 .

Решая ее, получим значения А, В, С и D: .

Уравнение плоскости имеет вид: 

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости ЕКС:   .

Ответ: .

2. Задача на нахождение объёма

Задача 2. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1  сторона основания AB равна 4, а боковое ребро AA1 равно 5√3. На ребре DD1 отмечена точка M так, что DM:MD1=3:2. Плоскость α параллельна прямой A1F1 и проходит через точки M и E.

Найдите объем пирамиды, вершиной которой является точка F, а основанием – сечение призмы ABCDEFA1B1C1D1E1F1 плоскостью α.

Решение. VFBKME=1/3∙SBKME∙hпир.

 Для нахождения высоты hпир пирамиды FBKME введем систему координат как показано на рисунках и по формуле найдем расстояние от точки F до плоскости BME:

По теореме косинусов из ∆AFB найдем BF:  BF=4√3

Найдем координаты точки F и точек плоскости основания: B,E,M.

Составим уравнение плоскости BME:

Сложим 1 и 2 уравнение и получим D=0.

Из второго уравнения: A=B/√3

Из третьего уравнения: С=-4B/3√3

Тогда, уравнение плоскости BME примет вид:

Разделим обе части уравнения на B:

Ответ: 36

3. Задача на нахождение синуса между прямой и плоскостью

Задача 3. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

Решение.

Введем прямоугольную систему координат:

Начало координат поместим в точку В, поэтому все координаты этой точки равны нулю.

Запишем уравнение плоскости SBC. Для этого найдем координаты точек S, B и C и подставим их в уравнение плоскости 

 (все ребра пирамиды равны 1)

Чтобы найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ:

Так как плоскость SBC проходит через начало координат, ,

Получим систему уравнений:

Отсюда , .

Уравнение плоскости имеет вид:

. Разделим обе части равенства на с, получим:

.

Таким образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:

Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для этого найдем координаты точек B и D, а затем из координат конца вычтем координаты начала.

D(1;1;0), B(0;0;0),    

Ответ: 

4. Задача на нахождение угла между прямыми

Задача 4. В правильной шестиугольной призме  ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между прямыми BA1 и DB1: 

Решение. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке Е:

Найдем  координаты направляющего вектора прямой A1B, для этого найдем координаты точек A1 и  B. Длину отрезка AE найдем по теореме косинусов из треугольника AOE: 

; . Чтобы найти координаты вектора , из координат конца вычтем координаты начала. Получим:  

Найдем  координаты направляющего вектора прямой B1D, для этого найдем координаты точек B1 и D

Найдем косинус угла  между векторами   и  .

Ответ:  

5. Задача о вычислении угла между плоскостями

Задача 5. В правильной четырёхугольной призме ABCDA1B1C1D1 стороны основания равны 1, а боковые рёбра равны 5. На ребре АА1 взята точка Е так, что АЕ : ЕА1 = 2 : 3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

Решение.

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке B.

Угол между плоскостями равен углу между векторами нормалями этих плоскостей.

ВВ1⊥ АВС; – вектор нормали к плоскости АВС.

{0; 0;5}.

Найдем координаты вектора нормали  к плоскости BED1

Уравнение плоскости имеет вид   ах+bу+сz+d = 0.

Так как плоскость BED1 проходит через начало координат, то d=0.

Е(1;0;2); D1 (1;1;5).

Подставим координаты точек в уравнение плоскости, получим систему уравнений:    

Уравнение плоскости примет вид:- 2сх - 3су + сz = 0.

Разделим обе части плоскости уравнения на – с (с≠0), получили уравнение плоскости BED1: 2х + 3у –  z = 0, тогда вектор нормали имеет координаты

{2;3;-1}. Вычислим угол φ между плоскостями АВС и ВЕD1:

 .

Значит, искомый угол равен   .

Ответ: .

Выводы

Формальное применение координатно-векторного метода может значительно затруднить решение даже самой простой задачи. Поэтому я привожу несколько общих указаний, которые помогут сориентироваться и решить, можно ли в данной задаче использовать векторы и координаты.

Во-первых, естественно, нужно применять координатный или векторный метод, если в условиях задачи говорится о векторах или координатах;

Во-вторых, очень полезно применить координатный метод, если из условия задачи не понятно, как расположены те или иные точки, прямые и плоскости;

В-третьих, что для нас особенно важно, полезно и удобно применять координаты и векторы для вычисления углов и расстояний;

В-четвёртых, этот метод удобно применять, если даны правильные призмы или пирамиды.

В-пятых, вообще, часто, когда не видно никаких подходов к решению задачи, можно попробовать применить координатный метод. Он не обязательно даст решение, но поможет разобраться с условиями и даст толчок к поиску другого решения.

Список источников информации

ЕГЭ. Математика. Профильный уровень: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2023.

https://infourok.ru/individualnyj-issledovatelskij-proekt-po-matematike-na-temu-metod-koordinat-v-prostranstve-vypolnen-studentkoj-gruppy-1-afk-savc-5183383.html 

https://resh.edu.ru/subject/lesson/6083/conspect/ 

https://11klasov.net/19-geometriya-uchebnik-dlya-10-11klassov-atanasyan-ls-i-dr.html 

https://кунгурова.рф/tasks/view/40-zadanie-14-asenko-36var-2021-2021-03-19 

https://ege-ok.ru/2012/03/28/ugol-mezhdu-pryamoy-i-ploskostyu-metod-koordinat-zadanie-s2 

https://ege-ok.ru/2012/04/25/ugol-mezhdu-skreshhivayushhimisya-pryamyimi-metod-koordinat-zadanie-s2