Исследовательский проект "Волшебное число «Пи»"
проект по математике (7 класс)

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение «Брединская средняя общеобразовательная школа №4»

Индивидуальный проект

Тип проекта: исследовательский

Тема проекта: Волшебное число «Пи»

Автор проекта: Иван Горн, обучающийся 7 класса

Наставник проекта: Баранбаева Айна Маратовна

Учитель математики

Маяк, 2021

Содержание

    Введение. Актуальность темы………………………………………………...3

1. Основная часть. Волшебное число «Пи» 

1.1 Понятие числа π ……………………………………………………………5

1.2 История числа π. …………………………………………………………...7

1.3 Обозначение числа π……………………………………………………….8

1.4 Поэзия числа π……………………………………………………………...8

1.5 Как запомнить число π с точностью до одиннадцати знаков…………...9

1.6 Рекорд запоминания числа π. ……………………………………………11

1.7 Интересные факты………………………………………………………...11

1.8 О вычислениях значения числа π на современном этапе………………12

2. Практическая часть

2.1 Проведение опроса «Загадочное число π »………………………………...14

2.2 Вычисление приближенного значения π.………………………………......15

Заключение……………………………………………………………………….17

Список литературы………………………………………………………………18

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность работы

В бесконечном множестве   чисел, так же как среди звезд Вселенной, выделяются отдельные числа и целые их «созвездия» удивительной красоты, числа с необыкновенными свойствами и своеобразной, только им присущей гармонией. Надо только уметь увидеть эти числа, заметить их свойства. Всмотритесь в натуральный ряд чисел – и вы найдете в нем много удивительного и диковинного, забавного и серьезного, неожиданного и курьезного. Видит тот, кто смотрит. Ведь люди и в летнюю звездную ночь не заметят… сияние  Полярной звезды, если не направят свой взор в безоблачную высь.

Переходя из класса в класс я познакомился с натуральными, дробными, десятичными, отрицательными, рациональными. В этом году я изучил иррациональные. Среди иррациональных чисел есть особое число, точными вычислениями которого занимаются ученые уже много веков. Оно встретилось мне ещё в 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». Было акцентировано внимание на то, что довольно часто будем встречаться с ним на уроках в старших классах. Интересны были практические задания на нахождение числового значения числа π. Число π является одним из интереснейших чисел, встречающихся при изучении математики. Оно встречается в разных школьных дисциплинах. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Услышав об этом числе много интересного, я сам решил путём изучения дополнительной литературы и поиска в Интернете узнать как можно больше информации о нём и ответить на проблемные вопросы:

- Как давно люди знали о числе пи?

- Для чего необходимо его изучение?

- Какие интересные факты с ним связаны

- Верно ли, что значение пи равно приближённо 3,14

Поэтому, перед собой я поставил цель: исследовать историю числа π и значимость числа π на современном этапе развития математики.

Задачи:

- изучить литературу и пространство интернета с целью получения информации об истории числа π;

- установить некоторые факты из «современной биографии» числа π;

- провести опрос среди учащихся моей школы и вычислить приближенные значения числа π;

- расширить свой кругозор, получить новые знания

Объект исследования: Число π.

Предмет исследования: Интересные факты, связанные с числом π.

1. Основная часть. Волшебное число π.

1.1 Понятие числа π.

Пи – математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра. Если принять диаметр окружности за единицу, то длина окружности и есть число Пи.

Обозначается число Пи буквой греческого алфавита π (произносится «пи»).

Обозначение числа Пи происходит от греческого слова «perijerio», что означает «окружность». Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик Уильям Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически использовать Леонард Эйлер.

Старое название числа Пи – лудольфово число.

Если разложить на плоскости четыре диаметра любого круга, и поставить точку отсчета, а от нее раскрутить длину окружности, конечная точка остановится чуть меньше 3,5. А если быть точнее 3,14… - это и получается число Пи!

Пи – это число, значение которого не может быть точно выражено в виде дроби , где m и n – целые числа. Следовательно, его десятичное представление никогда не заканчивается и не является периодическим. Такие числа называются иррациональными, т. е. число Пи – иррациональное число.

Первые тысяча знаков после запятой числа Пи:

3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

В школе обычно используют значение числа Пи до сотых, т. е. π ≈ 3,14. И в обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.

Рациональные приближения числа Пи:

•  -  Архимед,
•   -  дана в книге индийского мыслителя и астронома Ариабхаты в V веке н. э.,
•  -  приписывается современнику Ариабхаты китайскому астроному Цзу Чунчжи.

Число π в науках:

• Алгебра:  π – иррациональное и трансцендентное число.
• Тригонометрия: радианное измерение углов.
• Планиметрия: длина окружности и её дуги; площадь круга и его частей.
• Стереометрия: объем шара и частей; объем цилиндра, конуса и усеченного конуса; площадь поверхности цилиндра, конуса и сферы.
• Физика: теория относительности; квантовая механика; ядерная физика.
• Теория вероятностей: формула Стирлинга для вычисления факториала.
• Кроме этого, в астрономии, космонавтике, архитектуре, навигации, электронике и мн.др.

1.2. История числа  π

Считается, что число Пи было впервые открыто вавилонскими магами. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни, история которой вошла в Библию. Однако, недостаточно точное исчисление привело к краху всего проекта.

Считается также, что число Пи лежало в основе строительства знаменитого Храма царя Соломона.

История Числа начинается с египетского папируса 2000 г. до нашей эры. В то время в Древнем Египте число Пи считали равным дроби , или , т.е. = 3,160… Постепенно древние ученые поняли бесплодность подобных попыток и стали искать другой подход к столь важной практической и теоретической проблеме. Рассматривая правильный 96-угольник, Архимед определил, что π = 3,1419… . Архимед, одними лишь рассуждениями, без измерений нашел для Пи значение  или . Дробь  теперь еще называют «Архимедовым числом».

В Древней Греции вскоре после Архимеда было получено более точное приближение к числу Пи – . В V веке н.э. китайским математиком было найдено более точное значение =3,1416927… . Спустя полтора столетия в Европе нашли число Пи только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников, но при этом Ф.Виету принадлежит первенство в открывшейся возможности отыскания Пи. Это открытие имело огромное значение, так как позволило вычислять число Пи с какой угодно точностью. Вначале XVII в. Голландский математик из Кельна (Кейлен) нашел 32 правильных знака. С тех пор (1615г.) значение числа Пи с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа. В настоящее время число Пи вычислено с точностью до миллионов знаков.

С появлением компьютеров темпы возросли.

1.3 Обозначение числа π

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом пи английский математик Уильям Джонс в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова «periferia», что в переводе означает «окружность». Введённое У. Джонсом обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Леонарда Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

В конце XVIII в. Адриен Мари Лежандр на основе работ Иоганна Генриха Ламберта доказал, что число пи иррационально. Затем немецкий математик Фердинанд фон Линдеман, опираясь на исследования Шарля Эрмита, нашёл строгое доказательство того, что это число не только иррационально, но и трансцендентно, т.е. не может быть корнем алгебраического уравнения. Поиски точного выражения пи продолжались и после работ Франсуа Виета. В начале XVII в. Голландский математик из Кёльна Лудольф анн Цейлен (1540-1610)  (некоторое историки его называют Л.Ван Кейлен) нашёл 32 правильных знака. С тех пор (год публикации 1615) значение числа пи с 32 десятичными знаками получило название числа Лудольфа или «лудольфово» число.

1.4 Поэзия числа π

Большинство из нас будут удивлены, узнав, сколько людей интересуется числом пи.

В школе на геометрии я уяснил, что это отношение длины окружности к диаметру, что ж тут может быть интересного? Но познакомившись поближе с этим виртуальным героем, был удивлен еще больше, ибо история человечества предстанет нам как череда усилий величайших умов по уточнению знаков числа пи и поисков алгоритмов для этого процесса.

… Рассмотрите внимательно его первую тысячу знаков, проникнитесь поэзией этих цифр, ведь за ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени.

Зачем, спросит обыватель, нам столько знаков пи, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков? А уже в XVII веке были получены первые 34 знака. Трудно объяснить деловым людям, ожидающим непременную сиюминутную выгоду от каждого движения, что число пи — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира, в конце концов, это очень интересно.

Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа пи, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр.

Попробуйте поискать в первых десяти тысячах знаков пи свой телефон или дату рождения; если не получится — ищите в ста тысячах знаков. Да что ходить далеко: даже в первой тысяче есть неожиданности — пять девяток подряд.

Есть гипотезы, предполагающие, что в числе пи скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе и различные предсказания – надо лишь найти их и расшифровать; имея под рукой компьютер – это не составит большого труда. Хочется только напомнить, что один исследователь в ответ на сообщения о наличии в Библии зашифрованных предсказаний сказал, что он с помощью программы нашел в Библии предсказание о том, что в ней нет никаких предсказаний. Но это вовсе не значит, что мы должны прекратить наши опыты с пи.

1.5 Как запомнить число π с точностью до одиннадцати знаков

Число «Пи» – это отношение длины окружности к ее диаметру, оно выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака (3,14). Однако в некоторых расчетах нужна большая точность.

У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника – там есть понятие «круговой частоты переменного тока». Для запоминания числа «Пи» было придумано двустишие (к сожалению, мы не знаем автора и места первой публикации его; но еще в конце 40-х годов двадцатого века московские школьники занимались по учебнику геометрии Киселева, где оно приводилось).

Двустишие написано по правилам старой русской орфографии, по которой после согласной в конце слова обязательно ставился «мягкий» или «твердый» знак. Вот оно, это замечательное историческое двустишие:

Кто и шутя, и скоро пожелаетъ

«Пи» узнать число – ужъ знаетъ.

Тому, кто собирается в будущем заниматься точными расчетами, имеет смысл это запомнить. Так чему же равно число «Пи» с точностью до одиннадцати знаков? Сосчитай количество букв в каждом слове и напиши эти цифры подряд (первую цифру отдели запятой).

Такой точности уже вполне достаточно для инженерных расчетов. Кроме старинного существует и современный способ запоминания, на который указал читатель, назвавшийся Георгием:

Чтобы нам не ошибаться,

Надо правильно прочесть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Надо только постараться

И запомнить всё как есть:

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девяносто два и шесть.

Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, два, шесть, пять, три, пять.

Чтоб наукой заниматься,

Это каждый должен знать.

Можно просто постараться

И почаще повторять:

«Три, четырнадцать, пятнадцать,

Девять, двадцать шесть и пять.»

Не исключена пригодность и рифмованной шутки из учебника Магницкого для закрепления в памяти рационального выражения π – «числа Архимеда»- π ≈ .

Двадцать две совы скучали

На больших сухих суках.                                    

Двадцать две совы мечтали                                

О семи больших мышах,

О мышах довольно юрких,

В аккуратных белых шкурках.

Слюнки капали с усов

У огромных серых сов.

Ну а математики с помощью современных компьютеров могут вычислить практически любое количество знаков числа «Пи».

1.6 Рекорд запоминания числа π.

Запомнить знаки пи человечество пытается уже давно. Но как уложить в память бесконечность? Любимый вопрос мнемонистов-профессионалов. Разработано множество уникальных теорий и приёмов освоения огромного количества информации. Многие из них опробованы на пи.

Ученик десятого класса специализированного учебно-научного центра Уральского федерального университета (УрФУ) Денис Бабушкин попал в Книгу рекордов России после того, как воспроизвел по памяти более 13 тысяч знаков числа пи за 6 часов 20 минут с перерывами. В октябре 2019 года Бабушкин получил диплом и официальное подтверждение того, что он занесен в Книгу рекордов России.

Предыдущий рекорд России принадлежал учителю истории и ОБЖ из городского округа Химки Московской области Владимиру Кондрякову, который сумел воспроизвести 13 183 знака.

Мировой рекорд принадлежит японцу Акира Харагучи, он запомнил число до 100 тысячного знака после запятой, ему понадобилось почти 16 часов, чтобы воспроизвести число целиком.

1.7 Интересные факты

22 июля празднуется день приближённого значения числа пи, равного 22, делённому на 7. Считается, что именно это число было первым, использовавшимся в Европе для приближенного вычисления данного числа – Архимед получил данную оценку, рассматривая правильный 96-угольник. К слову, дробь 22/7, точнее приближает число π, чем число 3,14.

Международный праздник «День числа Пи» отмечается 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день) записывается как 3.14, что соответствует приближённому значению числа π.

В день числа Пи, 14 марта 1879 года, родился, вероятно, самый знаменитый ученый в истории, Альберт Эйнштейн, а 14 марта 2018 года, ушёл из жизни, один из известнейших физиков современности, Стивен Хокинг.

В мире существуют клубы поклонников числа Пи, и даже проводятся соревнования, побеждает в которых тот, кто в правильной последовательности назовёт наибольшее количество знаков после запятой. Занятие, может быть, и не слишком практичное, зато оно отлично упражняет память.

Числу Пи даже посвящено несколько памятников, большинство выполнено в виде буквы “π” того или иного размера. Самый известный из них можно увидеть в США, в городе Сиэтл. Там монумент установлен у входа в Музей искусств.

В русском языке число π читается «пи», а в английском «pi» - «пай». Произносится также, как «pie» - «пирог». Это является источником многих околоматематических шуток. Забавно то, что если число 3.14 отразить зеркально, получится надпись, похожая на «pie».

Число Пи бесконечно. Но даже в тех его знаках после запятой, что уже известны человечеству, можно найти любую последовательность цифр, от номера своего телефона до точной даты рождения любого человека на Земле.

1.8 О вычислениях значения числа π на современном этапе

С появлением ЭВМ значения числа π было вычислено с достаточно большой точностью. В США, например, был получен результат с более 30 млн. знаков. Если распечатать значение числа, полученное в США, то оно займёт 30 томов по 400 страниц в каждом. Вычисление такого числа знаков для π не имеет практического значения, а лишь показывает огромное преимущество и совершенство современных средств и методов вычисления по сравнению со старыми. Так за полвека вырастала запись точного значения числа π с помощью компьютера:

• 1949 год — 2037 десятичных знаков
• 1958 год — 10000 десятичных знаков
• 1961 год — 100000 десятичных знаков
• 1973 год — 10000000 десятичных знаков
• 1986 год — 29360000 десятичных знаков
• 1987 год — 134217000 десятичных знаков
• 1989 год — 1011196691 десятичный знак
• 1991 год — 2260000000 десятичных знаков
• 1994 год — 4044000000 десятичных знаков
• 1995 год — 4294967286 десятичных знаков
• 1997 год — 51539600000 десятичных знаков
• 1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

Суперкомпьютер в сентябре 1999 года работал 37 часов 21 минут 4 секунды, используя 865 Гбайт памяти для основной задачи, и 46 часов и 816 Гбайт для вспомогательной оптимизации вычислений.

Число, которое мы знаем сейчас, открыли совсем недавно, В Японском  университете Цукобо в 2009 году, в нем более 7 триллионов цифр после запятой.

По состоянию на 2019 год вычислено 31,4 триллионов знаков после запятой, последний рекорд принадлежит сотруднице Google в Японии Эмме Харука-Ивао.

2. Практическая часть

2.1 Проведение опроса «Загадочное число π»

Я провел социологический опрос 20 человек из нашей школы, среди которых были ученики 6-11классов. Обучающимся были заданы следующие вопросы:

1. Знакомо ли Вам число π?
2. Назовите численное значение числа π?
3. Что еще Вы знаете об этом числе?

Результаты опроса показали, что 80 % опрошенных знают число π и 60 % могут назвать чему равно его значение.

Но, при вопросе «рассказать об этом числе поподробнее», с этим справились 50 % обучающихся, их ответы приведены ниже в диаграмме.

2.2 Вычисление приближенного значения π

Опыт №1

Т.к. число  π  выражает отношение длины окружности к длине ее диаметра, я попытаюсь экспериментальным путем вычислить его значение. Для этого я использовал 4 предмета: кружку, ведро, кувшин и пенал пластмассовый круглый.

Измерил диаметр каждого предмета и длину окружности с помощью метра и линейки. Вычислил для каждого случая значение числа π, округлив результат до сотых.

Составил таблицу по найденным данным:

Вывод: отношение длины к диаметру в любой окружности  ≈ 3,14.

Но определяя π указанным способом, можно получить результат, не совпадающий с 3,14,  и он будет зависеть от разных факторов. В связи с этим становится понятным, почему так долго не могли установить правильного отношения длины окружности к диаметру.

Опыт № 2  Проверка соотношений человеческого тела

Художники эпохи Возрождения заметили следующие соотношения в размере человеческого тела. Оказывается отношения размаха рук (h) к росту человека (H) всегда равно одному и тому же числу, связанному с числом Фидия (Ф) и числом π. Надо знать, что   ;          Ф=1,62

Этот факт я и попытался установить, данные приведены в таблице.

Вывод: число пи близко к 3,14.

Опыт №3  Измерение с помощью  наблюдения и расчета

Вывод:

 =  ≈ 3,1… (число π)

Заключение

Число пи появляется в формулах, используемых во многих сферах. Физика, электротехника, электроника, теория вероятностей, строительство и навигация - это лишь некоторые из них. И кажется, что подобно тому как нет конца знакам числа пи, так нет конца и возможностям практического применения этого полезного, неуловимого числа пи.

     В современной математике число пи - это не только отношение длины окружности к диаметру, оно входит в большое число различных формул. Эта и другие взаимозависимости позволили математикам ещё глубже выяснить природу числа пи. Точное значение числа π в современном мире представляет собой не только собственную научную ценность, но и используется для очень точных вычислений (например, орбиты спутника, строительства гигантских мостов), а также оценки быстродействия и мощности современных компьютеров.

Проведенная работа мне была интересна. Я хотел узнать об истории числа π, практическом применении и думаю, что достиг поставленной цели.

Посмотрел наглядно, какими способами можно получить число. На основе экспериментов вычислил приближенное значение числа различными способами. Провел опрос среди школьников и пришел к выводу, что не все знакомы с этим числом и даже не представляют, какие интересные факты в нем скрыты.

Поэтому мною был создан буклет, который поможет познакомиться с этим числом поближе, расширить свой кругозор  и приподнять завесу богатейшей истории числа, которым человечество пользуется уже много веков.  

Подводя итог работы, я прихожу к выводу, что данная тема актуальна. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к изучению.

Список литературы

1. Математика 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений /  [Н. Я. Виленкин и др]. – М.: Мнемозина, 2020.
2. Геометрия 7-9 классы. Атанасян

3. Жуков А.В. Вездесущее число Пи. – Едиториал УРСС, 2004.

4. Жуков А. В. О числе π. – Едиториал УРСС, 2004.

5. Я.И. Перельман «Занимательная геометрия». – М.: АСТ.Астрель, 2003.

6. Эмоциональная презентация детищей несоизмеримости. // Математика в школе – 1998 - № 1 – с. 76 – 77.

7. Число Пи – магический геометрический символ. // Математика – 1993 - № 27 – 28.

8. Сайт: π-Club или Клуб фанатиков числа π: http://www.arbuz.uz/z_piclub.html

9. http://ru.wikipedia.org

10. https://www.mk.ru/science/2019/03/14/znachenie-chisla-pi-vychislili-do-314-trln-znakov-posle-zapyatoy.html

11. https://ria.ru/20191028/1560308043.html