Исследовательская работа Числа Фибоначчи
творческая работа учащихся (7 класс) на тему

МОУ  «Средняя общеобразовательная школа с углубленным изучением отдельных предметов № 18»

Научно-практическая конференция

«Школьники города – науке 21 века»

Научно – исследовательская работа по математике

на тему:

«Числа Фибоначчи.

Золотое сечение.»

                                                        Выполнила:
                                                       Ученица 7 «Б» класса               Зайцева Юлия

Саранск

2012 г.

Содержание

ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………..3

ЦЕЛЬ РАБОТЫ……………………………………………………………................4

I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ……………………………………………………………5

    1. 1. Изучение биографии Леонардо Фибоначчи………………………………..5

    1. 2. История создания чисел Фибоначчи……………………………………….6

    1. 3. Закономерность чисел Фибоначчи…………………………………………7

II. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ…………………………………………………………….9

     2. 1. История создания «Золотого сечения»…………………………………….9

     2. 2. Числа Фибоначчи и «золотая пропорция»………………………………...9

     2. 3. Прямоугольники золотого сечения……………………………………….10

     2. 4. Второе золотое сечение…………………………………………………...11

     2. 5. Гонки по спирали…………………………………………………………..13

     2. 6. Совершенство форм в «золотых пропорциях». Числа  Фибоначчи и «золотое сечение» в живом………………………………………………………..14

      2. 7. Золотая пропорция в «крови» у человека……………………………….17

III. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ…………………………………………...20

      3. 1. Закономерность Фибоначчи на задаче о живых объектах……………..20

      3. 2. Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи………21

      3. 3. Закономерность Фибоначчи в живой природе………………………….22

      3. 4.  Золотой пятиугольник; построение Евклида…………………………...23

 ЗАКЛЮЧЕНИЕ………………………………………………………………........25

 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ…………………………………………………………26

  ПРИЛОЖЕНИЕ…………………………………………………………………...27

ВВЕДЕНИЕ

     Человек стремится к знаниям, пытается изучить Мир, который его окружает. В процессе наблюдений появляются многочисленные вопросы, на которые, соответственно, требуется найти ответы. Человек ищет эти ответы, а находя их, появляются другие вопросы.  

     Ряд чисел Фибоначчи на первый взгляд не понятен никому. Вот так он выглядит: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55… Ряд этих чисел позволяет решать нам серьезные математические задачи.  Я решила самостоятельно изучить свойства этих чисел и поэкспериментировать с ними.  

     Оказывается, закономерность явлений природы, строение и многообразие живых организмов на нашей планете, всё, что нас окружает, поражая воображение своей гармонией и упорядоченностью, законы мироздания, движение человеческой мысли и достижения науки – всё это можно объяснить последовательностью Фибоначчи.

      В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда, наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая. Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики.

       Такой теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной из самых увлекательных глав элементарной математики.

     Кроме того, и это являются фундаментальным фактом истории математики нашего времени, существенно сместился центр математических исследований в целом. В частности, утратила свои доминирующие позиции теория чисел и резко повысился удельный вес экстремальных задач. В самостоятельную отрасль математики сложилась теория игр. По существу возникла вычислительная математика.

      Наконец было установлено довольно большое количества ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим числам существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма».   Данная работа представляет собой теоретическое и практическое исследования, где в качестве объекта рассматривается всестороннее применение «чисел Фибоначчи», и доказывается их универсальность.

     Предмет исследования:  Числа.

     Объект изучения: Числовой ряд Фибоначчи.

      Цель данной работы – показать различные пути исследования гармонии природы, основанные на рассмотрении разных объектов искусства и естествознания. Скульптура, архитектура, музыка, астрономия, биология, психология– это те сферы, где, обнаруживает себя ряд Фибоначчи.

          В ходе исследования сформировались задачи:

1. Познакомиться с числами Фибоначчи и историей их создания.
2. Рассмотреть закономерность чисел Фибоначчи на примере решения задач о кроликах.
3. Эксперимент с делением сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.
4. Изучить литературу по данной теме.
5. Изучить числовой ряд Фибоначчи
6. Исследовать сферы в которых используется числовой ряд Фибоначчи.

I. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

1.1 Изучение биографии Леонардо Фибоначчи.

     Леонардо из Пизы, известный как Фибоначчи, был первым из великих математиков Европы позднего Средневековья. Будучи рожденным в Пизе в богатой купеческой семье, он пришел в математику благодаря сугубо практической потребности установить деловые контакты. В молодости Леонардо много путешествовал, сопровождая отца в деловых поездках. Например, мы знаем о его длительном пребывании в Византии и на Сицилии. Во время таких поездок он много общался с местными учеными.

Рис. 1

     Невозможно представить современный бухгалтерский и вообще финансовый учет без использования десятичной системы счисления и арабских цифр, начало использования которых в Европе было положено Фибоначчи.

     Один из пизанских банкиров, торговавший в Тунисе и занимавшийся там ссудами и откупом налогов и таможенных налогов, некто Леонардо Фибоначчи, применил к банкирскому счетоводству арабские цифры, ознакомив таким образом с ними Европу.

     Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

     Тему «Числа Фибоначчи» я выбрала не зря, так как считаю важной, интересной и необходимой в наше время.

2.  История создания чисел Фибоначчи.

     Последовательность Фибоначчи, известная всем по фильму "Код Да Винчи" - ряд цифр, описанный в виде загадки Итальянским математиком Леонардо Пизанским, более известным под прозвищем Фибоначчи, в XIII веке. Вкратце суть загадки: Числа Фибоначчи встречаются во многих областях математики. В начале XIII века в городе Пизе жил большой знаток всевозможных соотношений между числами и весьма искусный вычислитель Леонардо ( Пизанский) Фибоначчи. В 1202 году он издал книгу «Liber abci», которая содержала в себе совокупность знаний того времени по арифметике и алгебре. Это была одна из первых книг в Европе, учившая употреблять десятичную систему счисления.

     Каково же было содержание написанной Фибоначчи книги, в которой насчитывалось пятнадцать глав? В ней рассматривался весьма обширный круг вопросов:

1. Индусская система нумерации;

2. Правила действий над целыми числами;

3. Дроби и смешанные числа;

4. Разложение чисел на простые множители;

5. Признаки делимости;

6. Учение об иррациональных величинах;

7. Способы приближенного вычисления квадратных и кубических корней;

8. Свойства пропорции;

9. Арифметическая и геометрическая прогрессии;

10. Линейные уравнения и их системы.

     «Книга абака» резко возвышается над европейской арифметико-алгебраической литературой XII–XIV вв. разнообразием и силой методов, богатством задач, доказательностью изложения. Последующие математики широко черпали из неё как задачи, так и приёмы их решения.

     Практика геометрии» содержит разнообразные теоремы, относящиеся к измерительным методам. Наряду с классическими результатами Фибоначчи приводит свои собственные — например, первое доказательство того, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (Архимеду этот факт был известен, но если его доказательство и существовало, до нас оно не дошло).

1.3 Закономерность чисел Фибоначчи.

     Фибоначчи составил такой ряд из натуральных чисел, который полезен в науке:

1,1,2,3,5,8,13,21…и т.д

     У этой последовательности есть ряд математических особенностей, которых обязательно нужно коснуться. Данная последовательность асимптотически (приближаясь все медленнее и медленнее) стремится к некоторому постоянному соотношению. Однако, это соотношение иррационально, то есть представляет собой число с бесконечной, непредсказуемой последовательностью десятичных цифр в дробной части. Его невозможно выразить точно.

     Закономерность образования этого ряда проста. Первые два числа – единицы, а затем каждый последующий член получается путем сложения двух непосредственно ему предшествующих. Например: 2=1+1, 3=1+2, 5=2+3, 8=3+5 и т.д.

     Любая пара соседних чисел ряда Фибоначчи удволетворяет одному из уравнений:

x– xy - y=1

x – xy - y=(-1)

     Большее число является значением неизвестного х, а меньшее – значением неизвестного у.

     Принцип образования членов этого ряда приводит к следующему отношению между любыми его тремя рядом стоящими числами:

Sn – 2·Sn-1 и Sn;

Sn = Sn-1 + Sn-2

Эта формула позволяет по первым двум числам ряда установить 3 число, по второму и третьему четвертое и т.д.

     Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u1 =1 и u2=1. Условие  (2). как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,

которые уже встречались в задаче о кроликах.

В честь автора этой задачи вся последовательность(1) при u1=u2=1 называется рядом Фибоначчи, а члены её – числами Фибоначчи. 

     Также в этом труде содержалось множество других задач.  Л. Фибоначчи неоднократно путешествовал по странам Востока и в своей книге использовал труды арабских математиков.

II. ЗОЛОТОЕ  СЕЧЕНИЕ

                2.1. История создания «Золотого сечения»

    Принято считать, что понятие о золотом делении ввел в научный обиход Пифагор, древнегреческий философ и математик (VI в. до н.э.). Есть предположение, что Пифагор свое знание золотого деления позаимствовал у египтян и вавилонян. И действительно, пропорции пирамиды Хеопса, храмов, барельефов, предметов быта и украшений из гробницы Тутанхамона свидетельствуют, что египетские мастера пользовались соотношениями золотого деления при их создании. Французский архитектор Ле Корбюзье нашел, что в рельефе из храма фараона Сети I в Абидосе и в рельефе, изображающем фараона Рамсеса, пропорции фигур соответствуют величинам золотого деления. Зодчий Хесира, изображенный на рельефе деревянной доски из гробницы его имени, держит в руках измерительные инструменты, в которых зафиксированы пропорции золотого деления.

     Греки же были искусными геометрами. Даже арифметике обучали своих детей при помощи геометрических фигур. Квадрат Пифагора и диагональ этого квадрата были основанием для построения динамических прямоугольников.

2.2. Числа Фибоначчи и «золотая пропорция».

     Разделим отрезок АВ единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

                         С2              А          С1                   В

     Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию

          (1.1)

откуда                                     х2=1-х                         (1.2)

положительным корнем(1.1) являются        , так что отношения в пропорции (1.1) равны:                                                                                                            

каждое такое деление (точкой С1) называется делением  в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением или золотым пропорцией (сечением).

     Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С2 окажется вне отрезка АВ (такое деление в геометрии называется внешним делением). Как это видно на рисунке. Легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

2.3. Прямоугольники золотого сечения.

     Прямоугольники золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами, имеющими такую форму приятно пользоваться. Поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.д.) часто придается именно такая форма различными философами-идеалистами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников золотого сечения и других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эстетический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми числовыми отношениями пытались не только описать, но и объяснить явления природы и даже общественной жизни.

2.4. Второе золотое сечение.

    Болгарский журнал «Отечество» (№10, 1983 г.) опубликовал статью Цветана Цекова-Карандаша «О втором золотом сечении», которое вытекает из основного сечения и дает другое отношение 44:56.
Такая пропорция обнаружена в архитектуре, а также имеет место при построении композиций изображений удлиненного горизонтального формата.
Деление осуществляется следующим образом. Отрезок АВ делится в пропорции золотого сечения. Из точки С восставляется перпендикуляр СD. Радиусом АВ находится точка D, которая соединяется линией с точкой А. Построение второго золотого сечения
Прямой угол АСD делится пополам. Из точки С проводится линия до пересечения с линией AD. Точка Е делит отрезок AD в отношении 56:44.

 Если работу сердца контролируют при помощи электрокардиограмм, то для суждения о состоянии мозговой деятельности применяют электроэнцефалограммы.

     Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменения активации мозга происходит не непрерывно, а только дискретно, скачками, от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний. Нетрудно заметить, что граничные частоты (верхние и нижние) ритмов мозга или точно отвечают числам Фибоначчи, или очень близки к ним, а отношения тяготеют к золотой пропорции (отношение граничных частот при ритме умственной работы близко к квадрату золотой пропорции).

     Кроме значений граничных частот электрических колебаний мозга различных ритмов, электрические колебания мозга характеризуются и другими величинами. Одной из таких характеристик является среднее геометрическое значение крайних частот. Средняя геометрическая частота делит диапазон любой волны мозга на высокочастотную и низкочастотную области (полосы). Отношение этих полос есть постоянная величина для данной волны – инвариант волны. Этот инвариант советские ученые Я.А. и А.А. Соколовы приняли за основную характеристику ритмов мозга. Для β – ритма. Ответственного за умственную деятельность человека, этот инвариант оказался близким к золотой пропорции.

     Когда исследователь. Изучая ритмы мозга, получает ряд характеристик, он пытается найти связь между ними то, что объединяет эти колебания в одну систему. Такая задача возникла и у Соколовых. Её решение привело к созданию стройной теоретической модели электронных колебаний мозга, которая описывается простой и очень красивой формулой:        bp-bg=1, где p=2,3,4,а g=1,21. Корни этих уравнений и являются инвариантами различных ритмов ЭЭГ. Но, решая это уравнение, авторы получили шесть инвариантов, производных от золотой пропорции. Кроме известных четырех ритмов были получены инварианты со значениями 1,272 и 1,221. Соколовы считают, что эти ещё не обнаруженные опытами, но полученные в результате теоретических расчетов, инварианты характеризуют свойства гипотетических  ритмов g и q. Расчеты показали, что у g-ритма граничные частоты 55118, а у q-ритма = 118-225гц. Известно, что активность деятельности мозга возрастает с ростом частоты электрических колебаний. Поэтому можно предполагать, что ритмы g и q доминируют при наиболее интенсивной умственной работе – творческой деятельности мозга.

     Подтверждением этой гипотезы могут служить высказывания многих ученых о характере их творческих открытий, интуитивного озарения, которое как молния пронизывает мозг. Очевидно, сравнение творческого акта со вспышкой молнии не случайно – оно отражает высокочастотный ритм электрических колебаний мозга, ответственный за наиболее интенсивную творческую деятельность человека.

     Итак, теоретическая модель Соколовых исходит из семи электрических ритмов мозга образующих следующий ряд величин: 2,5; 5,3; 10,2; 22,1; 43,8; 80; 162,9. Сразу ясно что, средняя частота каждого последующего ритма ЭЭГ в два раза больше, чем у предыдущего ритма. Это позволяет описать все семь ритмов одним рядом геометрической прогрессии 1,2,4,8,16,32,64 или общей формулой f = 2, где n= 0,1,2,3,4,5,6.

     Среднее отклонение полученного ряда чисел от соотношения средних геометрических частот ритмов мозга близко к четырем процентам. Следовательно, теоретическая модель системы ритмов мозга, описываемая геометрической прогрессией вида 2, очень точно отвечает совокупности экспериментальных данных.

2.5. Гонки по спирали.

     Выходит, что система электрических колебаний мозга представляет собой свертывающуюся во времени спираль геометрической прогрессии, с нарастающей частотой колебаний каждого последующего дискретного уровня деятельности мозга. Но ведь эта спираль ритмов ЭЭГ отражает и эволюцию организмов. В процессе эволюции организмов от наиболее простых к наиболее сложным происходило возрастание числа ритмов мозга и повышения их частоты. Может быть, не случайно, что эволюция планеты в целом, выраженная в её геологической истории, развертывались по одной и той же спирали – спирали геометрической прогрессии, отражающей самофокусировку развития, самоускорение собственного (геологического, биологического) времени систем.

     И вновь, как и в характере расположения планет Солнечной системы, две основные закономерности развития (по степенной зависимости и «по Фибоначчи») взаимно переплетаются, объединяются и сочетаются в самых разнообразных вариантах.

     Ритмы мозга и сердца отражают временную организацию человека, но корни, истоки этой организации остаются неизвестны.

2.6. Совершенство форм в «золотых пропорциях». Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом.

     По мнению ученого И. Шевелева, пропорции тела человека отвечают геометрической гармонии, основанной  на соотношениях в прямоугольнике «два квадрата», диагональ которого равна  √5, а стороны 1 и 2. По его данным, мужская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,528: 2 и разделена пополам  в  лонном сращении. Женская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,472: 2. Высота «венчания» человека – шея и голова, равны 0,326. Пропорции венчания отвечают золотому сечению: 0,202: 0,326. Пуп делит тело  человека в золотой пропорции: 1,1236: 0,764 = 1,618. Расстояние от локтевого сустава до конца пальцев равно 0,528.

     В приведенных отношениях  числа 0,528, 0,326, 0,202 образуют ряд золотой пропорции, а число 0,472 является производным золотой пропорции. Отношение 528/472 названо архитектором В. Жолтовским «функцией золотого сечения». Прямоугольник, построенный на отношении функции, является «живым квадратом». Случайно ли, что в построении в мужских и женских  тел, по методу разработанному Шевелевым, соотношения прямоугольника их тел  отвечают функции Жолтовского?

     Модель пропорции человека, предложенная Шевелевым, довольно точно отвечает рисункам мужских фигур Леонарда Винчи и Микеланджело, но в других фигурах она не оправдывается. Можно найти ряд интересных  отношений (фигура Поликтета, созданная Дорифором вписывается в прямоугольник с отношением сторон, близким к 1: (). В лонном сращении тело атлета делится на две части, равные , то есть вписывается в два прямоугольника золотой пропорции. Пуп делит тело Поликтета в пропорции золотого сечения.

     Этой же пропорции отвечает и прямоугольник венчания. Расстояние между сосками груди относится к ширине тела в пропорции  и т.д. такой анализ можно продолжить и найти еще ряд интересных отношений, но нужно отметить, что все они приближенны. Представляется наиболее устойчивым и достоверным лишь золотое сечение, проявляющееся неоднократно в пропорциях гармонически развитого тела человека и согласующееся с закономерностями пропорций в других организмах.

     Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат  и в круг. Но и здесь соответствие квадрату среднестатистическое, приближенное, у людей могут быть отклонения от этой идеальной геометрии.

     По – видимому, во всех пропорциях тела человека существуют некоторые идеальные, но «мертвые» соотношения частей, являющиеся основной гармонии.

     Давно уже существует мнение, что пяти-лучевая симметрия, проявляется и в строении человеческих тел, где лучами служат голова, две руки и две ноги.

     В связи с этим многие исследователи математических закономерностей тела человека вписывали его в пентаграмму. Так назвали позу человека с раздвинутыми на 180* руками и разведенными на 90º ногами. Такая модель нашла отражение и в построениях  Леонардо да  Винчи и Дюрера.

     Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким – то образом проявиться.

     Займемся «инвентаризацией» частей человеческого тела. У него одно туловище, одна голова, одно сердце и т. д.; многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги,  руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей. У человека 12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента).

     Характерно строение кисти человека. Кисть состоит из трех основных частей: запястья, пясти и пальцев. В состав запястья входит 8 косточек, оно сочленяется с 5 костями пясти, которые составляют основу ладони. Каждый палец состоит из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Позвоночник человека состоит из 34 позвонков.

     С. В. Петухов при анализе строения животных и человека использовал отношение, связывающее все три части и называемое вурфом. Если это отношение отвечает 1,309…, что равно Ф2/2, оно называется золотым вурфом. Оказалось, что вурф руки человека равен 1,33, вурф ноги – 1,29, вурф пальцев – 1,34. С точностью около 3%  вурфы всех трехчленных блоков человеческого тела равны между собой и близки к 1,309, то есть являются золотым вурфом.

     Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34.

Общее число костей скелета человека близко к 233, то есть отвечает еще одному числу Фибоначчи.

     В развитии организма человека,  в эволюции его конституции, в усложнении организации значительную, а может быть, и определяющую роль играл рост «по Фибоначчи», членение целого на части путем развертывания ряда чисел Фибоначчи. Конечно, на эту закономерность развития человека налагались и другие факторы. И все же дискретность «по Фибоначчи прослеживается и довольно отчетливо. И не только на костях скелета, а  также на мышцах, на строении головного мозга и волоса.

     Этот список частей тела человека можно продолжить. Нетрудно видеть, что в их перечне очень часто встречаются числа Фибоначчи или близкие к  ним величины.

Ряд этих чисел не только отражает дискретный характер роста и членения целого на части, но и отвечает золотой пропорции. Отношения рядом стоящих чисел Фибоначчи приближается к золотой пропорции, значит, и соотношения чисел различных органов часто отвечает золотой пропорции.

2.7. Золотая пропорция в «крови» у человека.

     Закономерности строения человеческого тела в соответствии с золотой пропорцией проявляется иногда в самых неожиданных случаях. Интересные данные приведены в книге Э.Сороко «Структурная гармония систем». Так. Распределение людей по 3м группам крови отвечает отношениям чисел 8/ 21 /34. В состав крови человека входят красные кровяные тела (эритроциты), белые кровяные тела (лейкоциты) и тромбоциты. Эти три типа кровяных тел содержатся в пропорции 62/ 32 /6. Отношения числа эритроцитов к двум остальным телам крови отвечает золотой пропорции.

     В генетике человека известна связь типа людей с характером линейных узоров на кончиках пальцев (отпечатков). При всем разнообразии отпечатков пальцев, которые неповторимы для каждого человека, среди них выделено три основных типа: петлевые, круговые и дуговые. При нормальном кариотипе соотношение этих трех типов отпечатков отвечает числам 62/ 32 /6…,то есть такое же. Как и распределение кровяных тел в крови человека.

     Ученый В.Д. Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная (золотой пропорции) частота сердцебиения, при которой длительность систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382:0,618:1, то есть в полном соответствии с золотой пропорцией. Для человека золотой пропорция равна 63 удара сердца в минуту. А для собак 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Далее В.Д. Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно = 0,382, а дистоническое + 0,618 от среднего давления крови в аорте, что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизирована по правилу золотой пропорции.

     В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые – минимальное и максимальное давления находятся в отношении 0,365/ 0,635 /1, то есть близком к золотой пропорции. Характерно, что это соотношение в аорте не изменяется при изменении уровня нагрузки и соответственно частоты сердцебиения.

     В.Д Цветковым были рассмотрены фазы активности миокарда (главной сердечной мышцы), отвечающие интервалу сердечного цикла – от начала напряжения до окончания сокращений мышечных волокон. На диаграмме было выделено несколько интервалов и фаз мышечной активности. Три интервала в сумме представляют фазу активного состояния миокарда. Первые два интервала(0-2) отвечают фазе подготовки к изгнанию крови, третий интервал (2-3) – фазе изгнания, а интервал(3-4) – фазе наполнения желудочков.

     В результате математической обработки экспериментальных данных В. Цветков получил ряд чисел, отвечающих значениям рассматриваемых интервалов и фаз относительно общей длительности (Т) сердечного цикла; они равны: 0,050; 0,081; 0,131; 0,210; 0,340, то есть отражают последовательность ряда чисел Фибоначчи 5, 8, 13, 21, 34.

     По мнению Цветкова организация сердечного цикла в соответствии с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной эволюции млекопитающих, эволюции в направлении оптимизации структуры и функций, обеспечения жизнедеятельности при минимальных затратах энергии и «живого строительного материала». Очевидно, работа сердечно сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое функционирование всего организма. Но ведь сердечная деятельность органически связана с высшей нервной деятельностью, с работой мозга! Не здесь ли в высшем органе управления организма, заложены команды и импульсы, основанные на золотой пропорции и регулирующие деятельность различных органов?

      III. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.

3.1. Закономерность Фибоначчи на задаче о живых объектах.

      Человек посадил пару кроликов в загон, окруженный со всех сторон стеной. Сколько пар кроликов за год может произвести на свет эта пара, если известно, что каждый месяц, начиная со второго, каждая пара кроликов производит на свет одну пару?

      На второй месяц мы будем иметь одну пару, на третий месяц  1+1=2, на четвертый день 2+1=3 пары, на пятый месяц 3+2=5 пар, на шестой месяц 5+3=8 пар.

Рис. 2

     Отслеживая каждый месяц количество пар кроликов, мы получили такой ряд чисел:

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377…

Ответ: 377 пар.

Решая задачу о размножении кроликов, Леонардо описал бесконечную числовую последовательность, любой член который, начиная с третьего, выражается через предыдущие числа.

3.2. Деление сторон квадрата на части по закону чисел Фибоначчи.

     Я рассмотрела ряд чисел: 1,1,2,3,5,8,13,21… и т.д. и взяла квадрат, сторона которого  равна 13 см.

Рис. 3

     Площадь квадрата равна 168 см. Одну сторону квадрата разделила на две части, длины которых соответствуют двум чмслам Ряда Фибоначчи. Это числа 5 и 8.

13-5=8

13+9=21

Площадь ровна:

21·8=168 (кв.ед.)

     В изученной статье книги М. Гардина Фибоначчи так сформулировал данное свойство: «При возведении в квадрат любого числа этого ряда получается произведение двух соседних членов ряда, плюс или минус единица».

     В моем примере сторона ровна 13, а площадь 167. Числа 8 и 21 – это длины сторон. Площадь ровна 167см,так как число 168 больше на одну единицу.

     Анализируя результаты опыта, я поняла, что «недостаток» или «вырост» для любого ряда чисел Фибоначчи равен разности между квадратом любого их числа и произведением соседних.

3. 3. Закономерность Фибоначчи в живой природе

     Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

      Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.

      На многих шишках семена расположены в трех спиралях, полого навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

     У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Число спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать собственно 55 и 89.

     Про то, как первозданная и необузданная природа функционирует и развивается по математическим законам, описанными числами Фибоначчи, мы попробуем разобраться в следующей главе.

3.4. Золотой пятиугольник; построение Евклида.

     Замечательный пример «золотого сечения» представляет собой правильный пятиугольник – выпуклый и звездчатый
Для построения пентаграммы необходимо построить правильный пятиугольник.
    Пусть О - центр окружности, А - точка на окружности и Е - середина отрезка ОА. Перпендикуляр к радиусу ОА, восстановленный в точке О, пересекается с окружностью в точке D. Пользуясь циркулем, отложим на диаметре отрезок CE = ED. Длина стороны вписанного в окружность правильного пятиугольника равна DC. Откладываем на окружности отрезки DC и получим пять точек для начертания правильного пятиугольника. Соединяем углы пятиугольника через один диагоналями и получаем пентаграмму. Все диагонали пятиугольника делят друг друга на отрезки, связанные между собой золотой пропорцией.
Каждый конец пятиугольной звезды представляет собой золотой треугольник. Его стороны образуют угол 36° при вершине, а основание, отложенное на боковую сторону, делит ее в пропорции золотого сечения.
Есть и золотой кубоид- это прямоугольный параллелепипед с ребрами, имеющими длины 1.618, 1 и 0.618.
    Теперь рассмотрим доказательство, предложенное Евклидом в «Началах».
Посмотрим теперь, как Евклид использует золотое сечение для того, чтобы построить угол в 72 градуса – именно под таким углом видна сторона правильного пятиугольника из центра описанной окружности. Начнем с отрезка АВЕ, разделенного в среднем и крайнем отношении точкой В. Проведем далее дуги окружностей с центрами в точках В и Е и радиусах АВ, пересекающиеся в точке С. Чуть ниже докажем, что АС=АЕ, а пока примем это на веру.
    Итак, пусть АС=АЕ. Обозначим через a равные углы ЕВС и СЕВ. Так как АС=АЕ, то угол АСЕ также равен a. Теорема о том, что сумма углов треугольника равна 180 градусов, позволяет найти угол ВСЕ: он равен 180-2a, а угол ЕАС - 3a - 180. Но тогда угол АВС равен 180-a. Суммируя углы треугольника АВС получаем,180=(3a-180)+(3a-180)+(180-a). Откуда

 5a=360, значит a=72.
    Итак, каждый из углов при основании треугольника ВЕС вдвое больше угла при вершине, равного 36 градусов. Следовательно, чтобы построить правильный пятиугольник, необходимо лишь провести любую окружность с центром в точке Е, пересекающую ЕС в точке Х и сторону ЕВ в точке Y: отрезок XY служит одной из сторон вписанного в окружность правильного пятиугольника; Обойдя вокруг всей окружности, можно найти и все остальные стороны.
    Докажем теперь, что АС=АЕ. Предположим, что вершина С соединена отрезком прямой с серединой N отрезка ВЕ. Заметим, что поскольку СВ=СЕ, то угол СNЕ прямой. По теореме Пифагора:
CN2=а2– (а/2j) 2= а2 (1-4j 2)
Отсюда имеем (АС/а) 2 = (1+1/2j) 2 + (1-1/4j 2) = 2+1/j = 1 + j =j 2
Итак, АС = jа = jАВ = АЕ, что и требовалось доказать

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

     В своей научной работе я описала числа Леонардо Фибоначчи их закономерность и историю создания. Решая задачи, я убедилась в том, что ряд Фибоначчи действительно очень важен для нас в изучении математики. Последовательностью ряда Фибоначчи можно объяснить многое. Даже то, что люди того времени были образованны и трудолюбивы. Есть еще ряд свойств, который можно объяснить с помощью ряда чисел Фибоначчи. Например: Зерна подсолнуха также располагаются согласно последовательности Фибоначчи, а именно соседними числами Фибоначчи выражается число левозакрученных и правозакрученных спиралей, вдоль которых располагаются семена. Аналогичные закономерности выявляются при изучении сосновых шишек, лепестков некоторых цветков, ячеек ананаса.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.  Гарднер М. Математические новеллы // Пер. с англ. - М.: Мир, 1974. – 456 с.

2.  Пойа Д. Математическое открытие. – М.: Наука, 1970. – 452 с.

3.  Реньи А. Трилогия о математике. – М.: Мир, 1980. – 376 с.

4.  Родин В.А., Ясинский С.А. Детерминизм в самоорганизующихся системах. – СПб.: ВУС, 2001. – 108 с.

5.  Соколов А. Тайны «золотого» сечения // Техника молодежи. – М.: 1978. № 5. – С. 40-43.

6.  Стахов А.П. Сакральная геометрия и математика гармонии. – Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 32 с.

7.   Стахов А.П. Новая математика для живой природы.– Винница: ТОВ «IТГ», 2003. – 264с.

8.   Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения. – М.: Знание, 1979. – 64 с.

9.   Стахов А.П. Коды золотой пропорции. – М. Радио и связь, 1984. – 152 с.

10. Стахов А.П. Введение в теорию измерения. - М.: Советское радио, 1977. – 288 с.

11. Ясинский с.а. «Золотое сечение» в экономике // Книга: «Этика. Эстетика.    Экономика».   – СПБ.:  СПб. ТПП, 2002.       – С. 355-388.

12. Ясинский С.А. «Золотая» пропорция в электросвязи. – СПб.: ВУС, 1999. – 164 с.

13. Ясинский С.А Прикладная «золотая» математика и ее приложения в электросвязи. – М.: Горячая линия – Телеком, 2004. – 239 с.

14. Ясинский С.А. Основы динамических аналогий в исследовательской деятельности. – СПб.: ВУС, 2004. –164 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ