МБОУ «Бишевская средняя общеобразовательная школа» Апастовского муниципального района Республики Татарстан

Занимательная логика в математике

Выполнил: ученик 6 класса

Тихтуров Альберт Юрьевич

Руководитель: учитель

математики Шагиева Л. К.

с. Бишево, 2022

Оглавление

Введение…………………………………………………………………………3

1. История появление занимательных логических математических задач….5

2. Типы логических задач………………………………………………………6

        2.1. «Правдивые задачи»………………………………………………..6

2.2. Задачи на последовательности…………………………………….6

2.3. Задачи на вычисление соотношения………………………………7

2.4. Задачи на переливание…………………………………………….14

3. Методы решения логических задач………………………………………...16

4. Заключение…………………………………………………………………..17

5. Список использованных источников и литературы………………………18

Введение

Логика – это Бог мыслящих.

Л. Фейхтвангер

Зачем логика ребенку? Дело в том, что на каждом возрастном этапе создается как бы определенный «этаж», на котором формируются психические функции, важные для перехода к следующему этапу. Таким образом, навыки, умения, приобретенные в дошкольный период, будет служить фундаментом для получения знаний и развития способностей в  старшем возрасте – в школе. И важнейшим среди этих навыков является навык логического мышления, способность «действовать в уме».

Мышление - одна из высших форм деятельности человека. Это социально обусловленный психический процесс, неразрывно связанный с речью. В процессе мыслительной деятельности вырабатываются определенные приемы или операции (анализ, синтез, сравнение, обобщение, конкретизация).

Развитие логического мышления – это очень важный и необходимый процесс для всех!

Что же такое логическое мышление? Для ответа на этот вопрос нужно сначала ответить на вопрос – Что такое логика?

Логика – эта наука о законах мышления и его формах. Она возникла в 4 веке до н. э., основателем считается древнегреческий философ Аристотель. Как наука логика изучается в высших и специальных учебных заведениях.  Знание законов логики важно  при выработки решений в сложных, ситуациях,   при управлении простыми и сложными системами. Владея навыками логического мышления, человек сможет быстрее освоить профессию и более успешно реализовать себя в ней, не растеряться, попав в тяжелые жизненные обстоятельства.

Ребёнку, который не владеет навыками логического мышления, будет труднее усваивать новый материал, он не сможет грамотно использовать полученные знания в процессе решения практических задач. Решение каждой учебной задачи будет отнимать у него массу сил и энергии, ослабляя его физическое состояние, подавляя психику и нивелируя желание учиться.

Дети, освоившие навыки и приёмы логического мышления:

•        Умеют легко сосредоточиваться на проблеме;

•        Очень внимательны;

•        Обладают хорошей памятью;

•        Легко концентрируются над решением поставленной задачи;

•        Чётко мыслят и рассуждают в верном направлении;

•        Не теряются в рассуждениях, обладают чёткой структурой мысли;

•        Легко справляются с решением любой логической задачи;

•        Мыслят неординарно и находят нестандартные способы решения задач;

•        Очень общительны и любознательны;

•        Помимо обучения в школе, как правило, дополнительно посещают различные кружки и студии по интересам.

Дети, обладающие навыками логического мышления, владеют комплексом «инструментов» — логических операций, крайне необходимых им для общего развития, получения качественного образования и воспитания.

Умение правильно рассуждать необходимо в любой области человеческой деятельности: науке и технике, юстиции и дипломатии, планировании экономики и  военном деле.

Я выбрала именно эту тему, потому что владение элементами математической логики поможет мне в моей будущей экономической профессии. Ведь маркетолог анализирует тенденции рынка, цены, объём оборота и методы маркетинга, собирает данные о конкурирующих организациях, выдаёт рекомендации. Для этого нужно использовать знание логики.

Многие люди считают, что математика – это только процесс вычисления, формулы и больше ничего. Если бы им сказали, что это не так, они бы удивились и, скорее всего, не поверили бы. А ведь это именно так. Математика – это еще и своеобразный тип мышления и восприятия окружающего. Примером, иллюстрирующим данное утверждение, является тот любопытный факт, что логические задачи, относящиеся к математическим, лучше решаются школьником, чем студентом, а сложнее всего они даются профессорам и академикам. Более того, доказано, что школьник, сидящий где-нибудь на «Камчатке» будет более успешен в решении такого рода задач, чем какой-нибудь отличник, потому что ему постоянно приходится искать «способы выживания» в том или ином случае. Именно поэтому я бы хотела предоставить и рассмотреть различные логические задачи. Мои цели и задачи - это систематизация типов задач и выделение основных способов их решения. Также я хочу доказать, что основные способы решения не основаны на методах вычисления.

Цель работы: изучить и использовать возможности математической логики в решении проблем в различных областях и деятельности человека.

Задачи:

1. Проанализировать литературу о сущности и возникновении математической логики.

2. Изучить элементы математической логики.

3. Подобрать и решить задачи с элементами математической логики.

Методы: анализ  литературы, понятий, метод аналогий в решении задач, самонаблюдение.

1. История появление занимательных логических математических задач

Иногда дети спрашивают друг у друга: что тяжелее – килограмм пуха или килограмм железа? Вдобавок, могу сказать, что существует такая игра, как «Ситуации» (кто-то ее знает как «Данетки», «Следователь» или «Детектив») основная задача в которой составить пропущенную последовательность действий и объяснить то или иное происшествие, которая основана именно на математическом способе мышления. Давайте сначала рассмотрим, откуда же взялись эти задачи.

Математика является наукой, в которой все утверждения доказываются с помощью умозаключений, то есть путем использования законов человеческого мышления. Изучение законов человеческого мышления является предметом логики.

Как самостоятельная наука логика оформилась в трудах греческого философа Аристотеля (384-322 г. до н. э.). Он систематизировал известные до него сведения, и эта система стала впоследствии называться формальной, или Аристотелевой логикой.

Формальная логика просуществовала без серьезных изменений более двадцати столетий. Естественно, что развитие математики выявило недостаточность Аристотелевой логики и потребовало дальнейшего ее развития.

Впервые в истории идеи о построении логики на математической основе были высказаны немецким математиком Г. Лейбницем (1646-1716) в конце XVII века. Он считал, что основные понятия логики должны быть обозначены символами, которые соединяются по особым правилам. Это позволит всякое рассуждение заменить вычислением.

«Мы употребляем знаки не только для того, чтобы передать наши мысли другим лицам, но и для того, чтобы облегчить сам процесс нашего мышления» (Лейбниц).

Первая реализация идеи Лейбница принадлежит английскому ученому Д. Булю (1815-1864). Он создал алгебру, в которой буквами обозначены высказывания, и это привело к алгебре высказываний. Введение символических обозначений в логику имело для этой науки такое же решающее значение, как введение буквенных обозначений для математики. Именно благодаря введению символов в логику была получена основа для создания новой науки - математической логики.

Применение математики к логике позволило представить логические теории в новой удобной форме и применить вычислительный аппарат к решению задач, малодоступных человеческому мышлению, и это, конечно, расширило область логических исследований. К концу XIX столетия актуальное значение для математики приобрели вопросы обоснования ее основных понятий и идей. Эти задачи имели логическую природу и, естественно, привели к дальнейшему развитию математической логики.

Особенности математического мышления объясняются особенностями математических абстракций и многообразием их взаимосвязей. Они отражаются в логической систематизации математики, в доказательстве математических теорем. В связи с этим современную математическую логику определяют как раздел математики, посвященный изучению математических доказательств и вопросов оснований математики.

2. Типы логических задач.

Существует множество разных логических задач. В ходе знакомства с ними, я выделила несколько основных типов задач:

2.1. «Правдивые задачи». В этих задачах нужно определить, какое выражение истина. Такие задачи могут иметь разную форму, но в них есть одна общая часть. В условие будет сказано, что есть человек, говорящий всегда правду, и его антагонист, говорящий всегда неправду.

Задача: В одном городе кто-то угнал машину у градоначальника. Полиция задержала троих человек: Джона, Джека и Джо. Полиции было известно, что один из них - лжец, один - всегда говорит правду, а про третьего точно неизвестно, говорит ли он правду или ложь. Полиция также знала, что один из них угнал машину, и что этот человек всегда говорит правду. Три человека сказали следующее:

Джон: Я не виновен.

Джек: Он говорит истинную правду.

Джо: Я угнал машину.

 Кто угнал машину и кто лжец?

Решение: Джон сказал: "Я не виновен". По условию задачи два человека являются невиновными: лжец и шутник. Джон не может быть лжецом, так как лжец, в данном случае, сказал бы, что он виновет. Джон не может быть и правдолюбцем, так правдолюбец виновен, и он не сможет сказать неправду. Остается, что Джон шутник, при этом он говорит правду, так как он, действительно невиновен. Джек подтверждает невиновность шутника Джона, т.е. Джек говорит правду, поэтому он не лжец, а правдолюбец, Джек и угнал машину. Джо - лжец и как положено лжецу, он всех обманывает, говоря, что он угнал машину.

2.2. Задачи на последовательности. В этих задачах может быть дан какой-то шифр, разгадав который, вы сможете ответить на вопрос задачи.

Задача 1. Продолжите следующую последовательность букв : 
С О Н Д Я Ф М ...

Решение: Здесь использована последовательность первых букв в названии месяцев года, начиная с сентября : Сентябрь, Октябрь, Ноябрь, Декабрь, Январь, Февраль, Март. Следовательно, следующей буквой будет «А» – Апрель.                         Ответ: А

Задача 2.  Попробуйте понять, по какому правилу сформирована нижеуказанная числовая последовательность и запишите следующее число
1 
11 
21 
1211 
111221 
312211 
13112221 
1113213211 

Решение: Каждое следующее число описывает одно предыдущее. Например: число во второй строке «11» говорит, что в предыдущей строке одна единица (1(одна)1(единица)); число в третьей строке «21» говорит, что в предыдущей строке две единицы или 2(две)1(единицы); число в четвертой строке «1211» говорит, что в предыдущей строке одна двойка и одна единица или 1(одна)2(двойка)1(одна)1(единица). И так далее. 

Ответ: 31131211131221.

2.3. Задачи на вычисление соотношения. Эти задачи довольно популярны среди составителей задачников и даже ученых. Самая известная из таких задач называется загадкой Эйнштейна. Это, пожалуй, одна из самых известных загадок на логику. Считается, что ее придумал Альберт Эйнштейн. Он утверждал, что ее могут решить в уме (без использования каких-либо записей или средств сохранения информации) всего лишь 2% населения планеты. Только логика — и ничего больше. Однако не существует никаких документальных свидетельств, что Эйнштейн когда-либо утверждал подобное.

Условие задачи: На улице стоят подряд 5 домов разного цвета в которых живут 5 человек разной национальности, они выращивают 5 разных плодовых кустарников, занимаются разведением 5 разных животных и отдают предпочтение 5 разным напиткам.
При этом:

• Норвежец живёт в первом доме
• Француз живёт в красном доме
• Зелёный дом находится левее белого
• Армянин пьёт чай
• Тот, кто выращивает смородину, живёт рядом с тем, кто разводит кошек
• Тот, кто живёт в жёлтом доме, выращивает малину
• Сириец выращивает ежевику
• Тот, кто живёт в центре, пьёт молоко
• Сосед того, кто выращивает смородину, пьёт айран
• Тот, кто выращивает голубику, занимается разведением попугаев
• Немец разводит собак
• Норвежец живёт рядом с синим домом
• Тот, кто разводит кроликов, живёт в синем доме
• Тот, кто выращивает крыжовник, пьёт ряженку
• В зелёном доме пьют кофе

Вопрос: Кто разводит рыбок?

Решение загадки Эйнштейна табличным способом

Для начала определимся с каждой пятёркой данных, используя условие задачи:

• национальность: норвежец, француз, армянин, сириец, немец
• цвет дома: красный, зелёный, белый, жёлтый, синий
• кустарник: смородина, малина, ежевика, голубика, крыжовник
• животное: кошки, попугаи, собаки, кролики, рыбки
• напиток: чай, молоко, айран, ряженка, кофе

Систематизируем эти данные, используя специально составленную таблицу. Дома условно прономеруем и определимся с тем, где у нас лево, а где право.
В таблице будем фиксировать наши с вами рассуждения.

Для начала снимем пенки с условия задачи

Заполним несколько ячеек нашей таблицы:

• Норвежец живёт в первом доме
• Норвежец живёт рядом с синим домом
• Тот, кто разводит кроликов, живёт в синем доме
• Тот, кто живёт в центре, пьёт молоко

Приступаем к рассуждениям. Так как:

• Француз живёт в красном доме, следовательно, норвежец в красном доме жить не может, равно как и в синем доме, так как он рядом с синим домом живёт.

Не может жить он и белом доме, так как:

• Зелёный дом находится левее белого,а дом норвежца – самый левый. В зелёном доме он тоже жить не может, так как справа от зелёного стоит белый дом, а справа от норвежца – синий.
  Следовательно, норвежец живёт в жёлтом доме и, согласно условию задачи, выращивает малину.

• Тот, кто живёт в жёлтом доме, выращивает малину

Идём дальше. Так как:

• Зелёный дом находится левее белого, следовательно, его номер либо 3, либо 4.
  Так как в 3-тьем доме пьют молоко, а в зелёном доме пьют кофе:

• Тот, кто живёт в центре, пьёт молоко
• В зелёном доме пьют кофе,

следовательно, зелёный дом у нас 4-тый, белый дом – 5-тый, а красный – 3-тий, а ещё:

• Француз живёт в красном доме
• В зелёном доме пьют кофе

Фиксируем наши рассуждения в таблице:

Так как:

• Сириец выращивает ежевику, то он не выращивает крыжовник и не пьёт ряженку:

• Тот, кто выращивает крыжовник, пьёт ряженку.

Не пьёт сириец и молоко, которое пьёт француз, не пьёт он и чай, так как:

• Армянин пьёт чай, следовательно, сириец пьёт либо айран, либо кофе.

Норвежец не может пить ряженку, так как он выращивает малину, а не крыжовник. Не пьёт норвежец и молоко, так его пьёт француз. Не пьёт норвежец и кофе, так как живёт он в жёлтом доме, а кофе пьют в зелёном доме. Так же норвежец не пьёт чай, так как чай пьёт армянин. Следовательно, норвежец пьёт айран, а сириец кофе. Согласно условию задачи:

• Сириец выращивает ежевику.

Так как норвежец пьёт айран, то его сосед выращивает смородину.

• Сосед того, кто выращивает смородину, пьёт айран.

Так как:

• Немец разводит собак,то он не может жить во 2-ом доме (там разводят кроликов). Следовательно, немец живёт в 5-ом белом доме. А во втором синем доме живёт армянин, который, согласно условию задачи, пьёт чай:

• Армянин пьёт чай.

А ещё, согласно данным нашей таблицы получается, что немец у нас предпочитает ряженку.

Идём дальше… Наслаждаемся прелестями табличного способа решения логических задач.

Разберёмся с плодово-ягодными пристрастиями француза и немца.
Голубикой и крыжовником.

Согласно условию задачи:

• Тот, кто выращивает крыжовник, пьёт ряженку.

Ряженку у нас пьёт немец. Очень может быть, что это русский немец. Без русского следа у нас сейчас никак. Даже в загадке Эйнштейна. Согласно условию задачи, немец, пьющий ряженку, выращивает крыжовник. Так как в строке «кустарник» у нас осталась одна незаполненная ячейка, то получается, что голубику выращивает француз, и он же занимается разведением попугаев:

• Тот, кто выращивает голубику, занимается разведением попугаев

В нашей таблице остались незаполненными только две ячейки – кошки и рыбки.
Ещё раз пробежимся глазами по условию задачи в поисках кошек.

• Тот, кто выращивает смородину, живёт рядом с тем, кто разводит кошек.

Смородину выращивает армянин, который живёт во втором доме. Справа от него живёт француз, который занимается разведением попугаев, следовательно, второй сосед армянина (тот, кто живёт слева от него) – норвежец. Получается, что норвежец занимается разведением кошек. С кошками разобрались.

А с рыбками и разбираться не надо, так как в нашей таблице осталась незаполненной только одна ячейка.

Получается, что рыбок разводит сириец.

В стиле загадки Эйнштейна: Белоснежка и гномы.

В зависимости от типа мышления, эта загадка может показаться простой, интересной, сложной, непреодолимой, занятной, пустой, интригующей, требующей большой аналитической работы. В зависимости от типа мышления, можно использовать бумагу, или разбираться в уме, или воспользоваться какими-либо предметами для пущей наглядности, ну и так далее.

Условие задачи. С тех пор как Белоснежка поселилась у гномов, у нее стало очень много работы: каждому она ежедневно готовит его любимое блюдо, а гномы каждый день по очереди помогают ей заниматься хозяйством. За столом все гномы сидят на постоянных местах. У каждого свой любимый напиток, а посуду украшает свой цветок. Все гномы носят разную обувь и одежду разного цвета. Каждый ухаживает за какой-либо зверюшкой, птичкой или рыбками.

Теперь посмотрим, что мы о них знаем:

1. Напротив Белоснежки сидит Кико. Так зовут гномика, у которого живет ежик. Кико дежурит по субботам.
2. Тико в зеленом колпаке, он носит сандалии и держит птицу.
3. Гном Тото сидит справа от Белоснежки, у него на стакане с любимым какао нарисована роза.
4. Один из соседей по столу гнома Коко пьет воду, у него нет попугая.
5. Любитель пирога с маком, который по утрам пьет чай, занимает место за столом напротив гнома в белой курточке.
6. Гном в коричневых штанишках на своих тарелках имеет изображение незабудки, а гном, у которого на посуде лилия, помогает Белоснежке по вторникам и не любит блинов.
7. Тато сидит напротив Кото, он разводит аквариумных рыбок.
8. Гном в темной рубашке любит ситро, а тот, кто любит кофе с молоком, носит тапочки.
9. Цветок Коко — тюльпан, у гнома Кито — маргаритка.
10. Тато дежурит по средам, а гномик в ботинках дежурит по четвергам.
11. У Кото нет рыбок, а гномик, пьющий черный кофе и не сидящий на стороне Тото, держит золотых рыбок.
12. Кико сидит посередине. Около Тато сидит Тико, он не любит ни молока, ни кофе.
13. Гном в мокасинах имеет рыбок-неонов, а тот, кто носит тапочки, дежурит по понедельникам.
14. Канарейка живет у гномика, любящего блины.
15. Гном в черном колпаке любит голубцы, он не дежурит по субботам.
16. У гнома в лаптях на тарелке нарисован мак, а тот гном, на посуде которого фиалка, содержит птичку и не любит холодец.
17. Гном в синих шароварах дежурит по пятницам, а гном, который любит уху, имеет аквариум и дежурит по воскресеньям.
18. У гнома, который любит гуляш, живет кошка, а хозяин собаки любит жареное мясо и не пьет какао.
19. Гном, любящий молоко, сидит посередине, Сосед Кито не носит полуботинок.
20. Гном Тото одет в красную рубашку, он не имеет ни птичек, ни рыбок.
21. Гном с самой длинной бородой носит сапоги.

Есть версия, что результатов решения может быть несколько.

Задача, конечно, на порядок легче, чем знаменитая загадка Эйнштейна о домах и их жителях, но, тем не менее, у автора на руках имеется её обоснованное решение. 

В Елийском четырёхэтажном дворце живёт Царь Вениамин IV со своей семьей: женой, сыном и дочерью. Каждый живет на своём этаже и занимает один этаж. Царская семья увлекается разведением рыбок, рисованием, астрономией и бадминтоном. В семье любят есть уху, студень, рёбрышки и плов. Любимые цвета членов семьи - синий, белый, оранжевый и зеленый.

Ваша задача - разгадать, кто из членов семьи на каком этаже живет, что любит кушать, чем увлекается и угадать любимый цвет каждого. Известно, что:

Любимый цвет увлекающегося бадминтоном - синий.

Живущий на первом этаже любит кушать плов.

Кто любит рёбрышки - предпочитает оранжевый цвет.

Астроном живет на 2 этажа выше того, кто разводит рыбок.

Сын живет на самом верхнем этаже.

Жена и дочь - соседи по этажам.

Житель второго этажа предпочитает студень.

Увлекающийся рисованием любит уху.

Любитель зеленого живет выше любителя белого.

Царь не поднимается выше второго этажа.

1  царь  бадминтон  плов      синий
2  жена  рыбки       студень  белый
3  дочь  рисование  уха        зеленый
4  сын   астрономия ребра    оранжевый

2.4. Задачи на переливание.

Ну и последний тип, на котором я хотела бы остановиться, это задачи о различных сосудах, с помощью которых необходимо отмерить какое-то количество жидкости.

Все задачи на переливания принципиально делятся на 2 типа. Первый – когда у нас есть много жидкости (озеро, бесконечно большая бочка, водопровод), и мы можем наполнять доверху сосуды сколько угодно большое количество раз, то есть количество жидкости не ограничено. При этом мы можем безбоязненно выливать воду из сосудов. Второй – это когда жидкости у нас ровно столько, сколько изначально налито в сосудах (в этом случае у нас обычно не простая жидкость, а какая-либо особенная: молоко, сок и т. д.). Чаще всего эту жидкость ещё и нельзя проливать – авторы стараются это отдельно оговаривать. Если же мы можем выливать жидкость, то в условиях задачи обычно присутствует какой-либо персонаж, который может пить данный тип жидкости: Кот Баюн, сосед Гриша и тому подобное.

Задача №1 (первого типа): Для приготовления компота маме нужно налить в 5-литровую кастрюли 4 литра воды. Как маме справиться с этой задачей, если у мамы есть кроме этой кастрюли ещё 3-литровая банка, водопроводный кран и раковина, куда можно выливать воду?

Решение. Нальём в 3-литровую банку воду и перельём её в кастрюлю. Затем еще раз наполним банку и выльем в кастрюлю, сколько поместится. Тогда в кастрюле будет 5 литров и 1 литр в 3-литровой банке. Теперь выльем всю воду из кастрюли в раковину. Затем перельем литр из банки в кастрюлю и добавим ещё три литра, наполнив банку ещё раз. Теперь в кастрюле 1 + 3 = 4 литра, что и требовалось. Задача решена. Наше решение можно проиллюстрировать таблицей:

 Итак, мы получили желанные 4 литра. Задача решена! Такой способ решения с помощью таблицы является достаточно наглядным.

Задача №2 (второго типа): У Марьи есть 2 кувшина объёмом 8 и 3 литра. В восьмилитровом кувшине налит весь имеющийся у Марьи кисель. Как отмерить 2 литра киселя? Все излишки киселя можно отдать Коту Баюну, который просто обожает это лакомство.

Решение. Наполним трехлитровый кувшин доверху из восьмилитрового, после этого у нас будет 5 литров в 8-литровом и 3 литра в 3-литровом. Отдадим весь кисель из 3-литрового кувшина Коту Баюну. После этого у нас осталось 5 литров в 8-литровом и 3-литровый кувшин пуст. Снова наполним 3-литровый кувшин из 8-литрового. После этой операции в 8-литровом кувшине у нас останется ровно 2 литра (5 – 3 = 2). Мы отмерили 2 литра. Задача решена! Решение также можно проиллюстрировать таблицей:

3. Методы решения логических задач.

Я выделила 4 метода решения логических задач.

1. Первым способом, о котором я расскажу, решаются самые простейшие задачи, но в то же время на нем основываются остальные. Это метод рассуждения. Идея этого метода – последовательность рассуждений и выводы их утверждений, содержащихся в условии задачи.

С помощью этого метода решаются задачи о правде, а также задачи на последовательность.

2. Второй способ, который я выделила – это метод таблицы, который очень удобен при решении задач на соотношение. Его выгода в наглядности логических размышлений, возможности контролировать цепочку рассуждений, а также возможность формализовать некоторые новые логические суждения.

3 метод немного сложнее двух предыдущих, он заключается в том, что вводятся обозначения, выводится логическая формула из условия задачи, а затем решается и записывается ответ.

4 метод называется методом блок-схем, и он лучше подходит для решения задач, в которых необходимо перелить из одного сосуда в другой.

Заключение.

В заключение хочу сказать, что логические задачи необходимо решать, потому что

1. При решении логических задач вырабатывается навык нестандартного мышления, который пригодится в различных жизненных ситуациях.

2. Логические задачи помогают научиться делать последовательные логические выводы, приводящие к единственно верному решению.

3. Основные методы решения основаны на систематизации данных и выведении основных выводов на их основе.

4. Решение логических задач предполагает, что человек обладает разнообразными знаниями и умеет обращать внимание на незначительные, на первый взгляд, мелочи, без которых решение будет неправильным.

Список использованных источников и литературы

1. Игошин В.И. Задачи и упражнения по математической логике и теории алгоритмов / В.И. Игошин. – 3-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 304 с.

3. Математическая логика // Википедия / http://ru.wikipedia.org

4. Успенский В.А., Верещагин Н.К., Плиско В.Е. Вводный курс математической логики. 2-е изд. – М.: Физматлит, 2002. – 128 с.

5.  Фарков А.В.  Методы решения олимпиадных задач. 10-11 классы. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 110 с. (Серия «Математика: элективный курс»).

6. HorobryhDaniil.pdf (pstu.ru)

7. Барбара Оакли. «Думай как математик», 2015 г.