Элективный курс "Логика в математике"
элективный курс (информатика и икт, 6 класс) по теме

Муниципальное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №11»

«ЛОГИКА В МАТЕМАТИКЕ»

Программа элективного курса

для учащихся 6 класса.

                                Разработал:    Губарь Оксана Михайловна,                                                учитель математики,

              первая квалификационная категория.

г. Усть-Илимск. 2010 г.

Содержание:

Пояснительная записка.        

Методические рекомендации.        

Требования к уровню подготовленности школьников.        

Содержание программы.        

Тема 1. Язык и логика (16 часов)        

Введение в логику. (4 ч)        

Логическое следование. (4 ч.)        

Основные логические операции И, ИЛИ, НЕ. (4 ч.)        

Таблицы истинности. (4 ч.)        

Тема 2. Решение содержательных логических задач средствами алгебры логики   (18 часов).        

Табличный способ решения. (4 ч.)        

Графы. Решение задач с помощью графов. (4 ч.)        

Решение задач с использованием кругов Эйлера (4 ч.)        

Решение задач путем логических рассуждений. (5 ч.)        

Игра – обобщение по всей теме. (1ч.)        

Тематическое планирование        

Учебно-методическое обеспечение.        

Литература        

Пояснительная записка.

В наше время практика выдвигает перед математикой и информатикой сложные задачи. Именно в этом причина современного бурного развития математики, появления многих новых ее ветвей, позволяющих глубже и детальнее изучать явления окружающего мира и решать конкретные практические задачи. Чтобы решать их, необходимо не только безукоризненно владеть теми знаниями, которые человечество приобрело в прошлом, но и находить, открывать новые средства математического исследования. Чем больше удается человеку  усвоить дух математики и ее тесную связь с информатикой, а главное  научиться использовать ее методы в различных ситуациях, тем дальше и быстрее он сумеет продвинуться в той области деятельности, которой будет заниматься. Логическое мышление – это, прежде всего, умения рассуждать, доказывать, подбирать факты, аргументы и обосновывать предлагаемые решения. Мыслить логично – значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь вскрывать логические ошибки.

Одним из инструментов развития логического мышления является решение содержательных логических задач. Эти задачи способствуют развитию памяти, смекалки, внимания и других качеств, позволяющих нестандартно мыслить. Кроме того, логические задачи позволяют развивать не только логическое, но также математическое, и алгоритмическое мышление. Они требуют для своего решения некоторого математического аппарата (обычно не очень сложного) и в то же время умения мыслить последовательно (алгоритмически), четко фиксируя каждый шаг решения.

К сожалению ни в курсе математики, ни в курсе информатики решению логических задач не уделяется достаточного внимания. Восполнить этот пробел призван данный элективный курс. Большинство учащихся основной школы не готовы к восприятию и осмыслению основных тем курса «Информатики и  информационных технологий» без дополнительной подготовки в области математической логики. Данная программа предназначена для учащихся 6 классов общеобразовательных учебных заведений.

 Элективный курс дает ученику, во-первых, возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету; во-вторых, уточнить готовность и способность  осваивать выбранный предмет на повышенном уровне.

 Цель курса:

Развитие логического мышления школьников посредством решения содержательных логических задач.

Задачи курса:

1. формирование умения выбирать самостоятельный способ решения  и оценивать его в сравнении с другими способами.
2. ознакомление детей с общими приемами решения задач – «как решать задачу, которую раньше не решали?» и развитие навыков решения логических задач.
3. помощь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Методические рекомендации.

Для того, чтобы реализовать цели курса целесообразно использовать проблемное изложение, частично-поисковый и исследовательский методы обучения. Немаловажным аспектом эффективности учебно-воспитательного процесса является подбор разнообразных форм учебной деятельности, так, например, занятие может проходить в форме игры, турнира смекалистых , урока-практикума, урока с использованием компьютерной техники. Возможна как индивидуальная работа, так и работа в группах

Перед началом изучения данного элективного курса необходимо  провести установочное тестирование, которое поможет определить уровень развития логического мышления у учащихся. Для контроля усвоения программы элективного курса рекомендуется использовать обучающие, творческие самостоятельные работы, тестирование, защиту исследовательских работ.

  В результате изучения данного курса учащиеся должны уметь применять основы логики при решении задач – построение выводов путем применения к известным утверждениям логических операций «если - то», «и», «или», «не» и их комбинаций – «если … и …, то…».

Требования к уровню подготовленности школьников.

1 уровень

Учащиеся должны знать:

что такое понятие, высказывание, умозаключение, отрицание, простые и составные высказывания, основные логические операции.

Учащиеся должны уметь:

выводить логическое следование;  различать простые и составные высказывания; использовать логические операции И, ИЛИ, НЕ в логических выражениях.

2 уровень

Учащиеся должны знать:

алгоритм деятельности по поиску решения логических задач;

Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи средствами алгебры логики и путем логических рассуждений.

3 уровень

Учащиеся должны знать:

Различные способы решения логических задач;

 Учащиеся должны уметь:

решать логические задачи различными способами; производить умозаключения по высказываниям.

4 уровень

Учащиеся должны знать:

как связаны логические операции с математическими, в чем их сходства. 

Учащиеся должны уметь:

использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для распознавания логически неверных утверждений, анализа реальных числовых данных.

Содержание программы.

Программа элективного курса рассчитана на 34 часа, и содержит 2 основных блока:

«Язык и логика» и «Решение содержательных логических задач».

 Существуют разные способы как формализации условия задачи, так и процесса ее решения: алгебраический, табличный, графический и др. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.

Так, например, при применении алгебраического метода наиболее трудным является перевод текста задачи на язык формул. Далее, если учащийся знает логические законы и правила упрощения выражений, решение задачи сводится к формальным преобразованиям и приводит сразу к ответу, который остается лишь расшифровать, исходя из принятых обозначений.

Табличный метод очень нагляден, но не обладает универсальностью, т.е. предназначен для решения определенного класса задач. Он требует анализа находящейся в таблице информации, умения сравнивать и сопоставлять.

Метод графов применяется тогда, когда между объектами, о которых идет речь в задаче, существует много связей. Граф позволяет наглядно представить эти связи и определить, какие из них не противоречат условиям задачи.

Метод диаграмм Эйлера-Венна позволяет графически решать математические задачи на основе теории множеств.

Как правило, задачу можно решить несколькими способами. Чтобы выделить наиболее простой и эффективный способ для каждой конкретной задачи, необходимо знать все эти способы.

Тема 1. Язык и логика (16 часов)

Введение в логику. (4 ч)

История развития логики. Два этапа развития логики. Появление математической логики.                  Основные формы мышления: понятие, высказывание, умозаключение, отрицание, отрицание общих высказываний.

Логическое следование. (4 ч.)                                                                                                                                Понятие логического следования. Отрицание следования. Обратное утверждение. Следование и равносильность. Следование и свойства предметов. Рассуждения.                                                                    

Основные логические операции И, ИЛИ, НЕ. (4 ч.)

Различия между простыми и составными высказываниями. Связь логических операций И, ИЛИ, НЕ с математикой.

Таблицы истинности. (4 ч.)

Логические постоянные (ИСТИНА, ЛОЖЬ). Правила составления таблиц истинности. Связь таблиц с логическими операциями. Примеры логических таблиц для разных логических выражений.

.

Тема 2. Решение содержательных логических задач средствами алгебры логики               (18 часов).

Табличный способ решения. (4 ч.)

Различные способы составления логических таблиц. Применение таблиц для решения сложных логических задач.

Графы. Решение задач с помощью графов. (4 ч.)

Определение графа. Правила начертания графа. Свойства соединительных линий графа. Применение графов для решения логических задач.

Решение задач с использованием кругов Эйлера (4 ч.)

Определение кругов Эйлера. Применение кругов Эйлера для решения логических задач.

Решение задач путем логических рассуждений. (5 ч.)

Законы мышления, понятие, суждение. Использование частичного поиска для решения задач на логику мышления.  Выполнение упражнений на тему « Логические рассуждения».

Игра – обобщение по всей теме. (1ч.)

Повторение всего курса.

Тематическое планирование

Учебно-методическое обеспечение.

1. Конспект занятия по теме: «Язык и логика»
2. Сборник задач по темам курса
3. тест «Логика»

Литература

Обязательная литература:

1. Богомолова, О.Б. Логические задачи по информатике. [Текс]: Серия «Информатика в школе». / О.Б. Богомолова – М.: Информатика и образование, 2001. – 160с.
2. Информатика. Задачник – практикум в 2т./Под ред. И.Г. Семакина, Е.К. Хеннера: Том 1. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 304 с.

Дополнительная литература:

3. Угринович, Н.Д. Информатика и информационные технологии. [Текс]:  Учебник для 10 – 11 классов / Н.Д. Угринович. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 512 с.
4. Мадер В.В.Математический детектив: Кн. Для учащихся. – М.: Просвещение, 1992. – 96с.
5. Т.С. Кармакова, О.В.Сташко «Логические задачи», М. 2001 г.
6. В.И.Курбатов « Как развить свое логическое мышление.»- М. «Зевс», 1997 г.
7. Е.И. Игнатьева «В царстве смекалки»- М. 1982 г.
8. С.Н.Олехник, Ю.В.Нестеренко, М.К.Потапов «Старинные занимательные задачи» - М. 1988 г.
9. Г.Штейнгауз «Сто задач» - М. 1982 г.
10. Р.Смаллиана «Принцесса или тигр» - М. 1985 г.
11. Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон. "Математика 6 класс" -М.: Баллас С-инфо. 1999.
12. Л.Г. Петерсон. “Математика 5-6 класс. Методические материалы к учебникам Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсона.” - М.: Школа 2000… . 2003.

Конспект занятия по теме: «Язык и логика»

Цели урока:

1. Закрепление изученных  понятий математической логики: высказывание, тема, рема, истинное высказывание и ложное высказывание;
2. развитие логического мышления, средствами математической логики;
3. развитие интереса к математике, интегрирование знаний с другими учебными дисциплинами, обогащая знания, расширяя кругозор учащихся.

Материалы: Тетради для факультативных занятий, карандаши двух цветов, набор карточек для упражнений, компьютер для выведения заданий в формате Презентация Microsoft PowerPoint.

Ход занятия:

I. Организационный момент. Я предлагаю эпиграфом нашего занятия взять слова Михаила Васильевича Ломоносова "Математику уж затем учить надо, что она ум в порядок приводит". А вы знаете кто такой Ломоносов? Как вы понимаете эти слова?

II. Цель занятия: Сегодня на занятии мы вспомним и закрепим, уже изученные понятия математической логики.

III. Запишите в тетрадях дату и тему занятия: “Язык и логика”.

IV. Математическая разминка: (Устно)

1. Как называется алфавит, в который входят цифры, буквы, скобки и знаки арифметических действий? (математический). 
2. Как называются математические выражения в записи, которых встречаются только числа? (числовые) 
3. Как называются математические выражения в записи, которых встречаются буквы? (буквенные). 
4. Что означает: найти значение выражения? (решить пример) 

V. Устный счет: У каждого на столе лежит карточка, на которой рядом с примером записана буква. Вам необходимо решить пример, найдя ответ определить какой клетке соответствует буква из вашей карточки. Мы расшифруем название уже известного нам понятия математической логики.

Решите примеры и расшифруйте название понятия математической логики:

VI. Фронтальный опрос: 

1. Как еще называют высказывания? (утверждения)
2. Всякое ли предложение можно назвать высказыванием? Приведите пример
3. На какие части можно разделить всякое высказывание? (тема и рема)

Тема – то, о чем говорится

Рема – то, что говорится о теме.

VII. Тренировочные упражнения: (записаны на доске)

Среди данных предложений выберите и запишите в тетради высказывания, и укажите в них тему и рему, подчеркнув тему красным карандашом, рему – синим карандашом. (Учащимся, которым требуется длительное время для записи можно дать заготовку.)

Когда заканчиваются летние каникулы?

Париж – столица Франции.

Тридцать три.

Который час?

Луна – спутник Земли.

15+15=30

100 – 20 = 120 

1. Все ли утверждения верны?
2. Как называются верные высказывания? (истинные)
3. Как называются не верные высказывания? (ложные)

VIII. Тренировочные упражнения:

Назовите тему и рему следующего утверждения:

200:(100-90) •10+50=260

Проверьте истинность этого утверждения.

X. Задание на печатной основе 

На карточках записаны высказывания. Найдите в них тему и рему. Основываясь на своих знаниях и опыте, определите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. Подчеркнув тему красным карандашом, рему – синим карандашом.

1. В каждом декабре 31 день. (Истина.)
2. В неделе восемь дней. (Ложь )
3. На нуль делить нельзя. (Истина.)
4. Картину “Три богатыря” написал художник Виктор Михайлович Васнецов. (Истина)
5. Дробь, у которой числитель меньше знаменателя – неправильная. (Ложь).
6. У каждого человека есть родители. Истина.
7. По крайней мере у двух великих немецких композиторов – классиков фамилии начинаются с буквы “Б”. (Истина. (Бах, Бетховен))
8. от 18 равно 4. ( Истина.)
9. Наименьшее натуральное число – нуль. (Ложь. (Натуральные числа – те которые используем при счете, верный ответ единица))
10. Слово “красивый” является глаголом. Ложь (прилагательное)
11. У треугольника три угла. (Истина )
12. Третий месяц летних каникул июль. ( Ложь )

XI. (Устно) Задание воспроизводится на компьютере в формате Презентация Microsoft PowerPoint. В следующих высказываниях поменяйте местами тему и рему. Определите, получится ли после этого истинное предложение. 

1. Все люди смертны. (Все смертные люди) ложь (животные, птицы)
2. Все люди двуногие. ( Все двуногие люди) ложь (птицы)
3. Всякое натуральное число, делящееся на 2, является четным. (Всякое натуральное четное число делится на 2.) истина
4. Всякое натуральное число, оканчивающееся на 5, делится на 5. (Всякое натуральное число, делящееся на 5, оканчивается на 5.) ложь (может оканчиваться на 0)

XII. Итог урока:

Придумайте одно истинное и одно ложное высказывание. Укажите в них тему и рему.

Приведите примеры предложений, которые высказываниями не являются.

XIII. Заключение: С какими понятиями математической логики, мы сегодня работали? (высказывания, тема, рема, истина, ложь)

XIV. Подведение итогов.

Литература:

1. Г.В.Дорофеев, Л.Г. Петерсон. "Математика 6 класс" -М.: Баллас С-инфо. 1999.
2. Л.Г. Петерсон. “Математика 5-6 класс. Методические материалы к учебникам Г.В.Дорофеева, Л.Г.Петерсона.” - М.: Школа 2000… . 2003.

1. Сборник заданий по темам курса.

1. Постройте графики функций:

2. Постройте графики функций, проверти верность с помощью программы «Advanced Grapher»:

.

Для каждой функции укажите область определения и множество значений функции.

3. Постройте график функции   Какие значения принимает функция, если
4. Постройте графики функций:  

        ;  

5. На рисунке изображён график функции на отрезке .

       Укажите по графику наибольшее и наименьшее значения функции, нули

   функции. Задайте функцию аналитически (формулами).

6. Постройте графики функций:

Для каждой функции укажите множество значений и промежутки монотонности.

7. Постройте графики функций и проверьте   верность с помощью программы «Advanced Grapher»:

Для каждой функции найдите наименьшее значение.

8.  Постройте график функции  с помощью программы «Advanced Grapher»

Найдите количество промежутков возрастания функции.

9. Постройте график функции у=g(x), где

Сколько корней имеет уравнение g(x)=2?

Какие значения принимает функция, если -3

10.  Постройте график функции

. При каких значениях аргумента значение функции:

а) равно нулю;

б) принимает отрицательные значения;

в) принимает неотрицательные значения?

   11.  На рисунке изображён график функции у=f(x) на отрезке .

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции.

При каких значениях х значения функции у=f(x) отрицательны?

12. Постройте график функции у=f(x), где  

При каких значениях х значения функции у=f(x) неотрицательны?

13. Постройте график функции .

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: .

14. Постройте график функции у=х2.

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=х2+3;  у=(х-4)2-3; y=-(x-4)2; y=2x2; y=x2-4x+7.

 15. На рисунке дан график функции у=f(x).

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=f(x)+3; у=f(x+3);  у=f(x-2)+3;  у=-f(x); у=0,5*f(x).

16. По графикам на рисунках задайте функции аналитически (формулой).

17. Постройте графики функций:

Задания б) проверьте с помощью программы «Advanced Grapher».

Найдите область определения и множество значений каждой функции.

18. Постройте график функции  с помощью программы «Advanced Grapher»

 Найдите наименьшее значение функции и промежутки убывания.

19. Постройте графики функций:

При каких значениях аргумента функция принимает: а) положительные значения, б) отрицательные значения; в) значение равное нулю?

20. Постройте график функции    .

При каких значениях  х выполняется неравенство у<2?

21. Постройте график функции    .

При каких значениях  х выполняется неравенство у>6?

22.Постройте графики функций:

При каких значениях  х функция убывает?

21. По графикам на рисунках задайте функции аналитически (формулой).

а)                                                                   б)  

в)                                                                      г)

22. На рисунке изображены графики функций:

а) у=х3+3х2-4х-12; б) у=-х3-х2+9х+9.

Найдите координаты точек пересечение  графика с осями координат.

а)                                                                       б)

23. Постройте графики функций в среде электронных таблиц  «Excel»:

a)   б)в)

г)

Найдите область определения и множество значений каждой функции, нули функции.

24.Постройте график функции у=х3.

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: у=х3+2; у=(х-3)3-4;  у=0,5х3; .

25. Постройте график функции .

Применяя геометрические преобразования плоскости постройте графики функций: ;.

Найдите область определения каждой функции.

26. Функция задана формулой .

Запишите уравнение каждой функции,

графики, которых изображены

на рисунке.

26. С помощью графиков функций у=f(x), y=g(x) решите уравнение f(x)= g(x) и неравенства: f(x)< g(x); f(x)> g(x). Функции заданы на всей числовой оси.

27. Решите уравнение графическим способом, выполните проверку:

а) б) в) г)

д) е) ж)

28. С помощью графиков определите, сколько решений имеет система уравнений:

а) б)в) г)

Для системы г) найдите решения, выполните проверку.

29. С помощью графиков функций у=f(x), y=g(x) решите уравнение f(x)= g(x) и неравенства: f(x)< g(x); f(x)> g(x). Функции заданы на отрезке .

а)

30. С помощью графиков функций найдите решения неравенств:

а) б)в) г)

31. Опытным путём была установлена зависимость получения меди из руды

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать получение массы меди из данного объема  руды.

32. Опытным путём была установлена зависимость количества покупателей  от стоимости товара

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать число покупателей в зависимости от стоимости товара.

33. При тестировании учащихся по теме «Функции и графики» была составлена таблица зависимости количества баллов от числа верных ответов

Найдите примерное уравнение функции, с помощью которого можно рассчитать оценку в зависимости от числа верных ответов.

34. Функция задана таблицей. Найдите уравнение функции и постройте её график.

у

у

у

у

у

х

х

хх

у

у

х

х

у

у

х

х

у

у

х

х

у

f(x)

у

g(x)

х

у

f(x)

g(x)

х