Устные вычисления
учебно-методический материал по математике

 Одной из основных задач преподавания курса математики является формирование у учащихся сознательных и прочных вычислительных навыков. Особенно большое значение имеют устные вычисления для сознательного усвоения законов и свойств арифметических действий. Существуют основные алгоритмы, которые нужно знать, помнить и применять мгновенно, автоматически:

 Вычитание 7, 8, 9. 

Чтобы вычесть 9 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 1. Чтобы вычесть 8 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 2. Чтобы вычесть 7 из любого числа, нужно вычесть из него 10 и прибавить 3.

Например, 24 – 9 = (24 – 10) + 1 = 15

Сложение 7,8, 9. 

Чтобы прибавить  9 к любому числу, нужно прибавить к нему 10 и вычесть 1. Чтобы прибавить  8 - нужно прибавить к нему  10 и отнять 2. и т. д.

Например, 56 + 8 = (56 + 10) – 2 = 64

Данные алгоритмы можно использовать при сложении и вычитании двузначных чисел.

Например, 34 + 48 = (34 + 50) – 2 = 8

Вычитание из 100, 1000 и т.д.

Чтобы выполнить вычитание из 100, 1000, можете пользоваться этим простым правилом: Отнимите от 9 все цифры, кроме последней. А последнюю цифру отнимите от 10:

Например, 1000-648

Шаг1: от 9 отнимите 6 = 3
Шаг2: от 9 отнимите 4 = 5
Шаг3: от 10 отнимите 8 = 2
Ответ: 352

Некоторые примеры из таблицы умножения можно легко посчитать, используя пальцы, «природные счеты человека». И это касается не только самых простых произведений, но и, к примеру, умножения на 9.

Умножение на 9.

 Кладем руки ладонями вниз друг рядом с другом, пальцы нужно выпрямить. Теперь, чтобы умножить любое число на 9 просто загибаем палец под номером этого числа (считая слева). Число пальцев до загнутого будет являться десятками ответа, а после – единицами.

Умножение на 2. 

Для умножения на 2 некруглых чисел пробуйте округлять их до ближайших более удобных.

Так 139 · 2 проще считать, если сначала умножить 140 на 2 (140 · 2 = 280), а потом вычесть 1·2 = 2 (именно 1 нужно прибавить к 139, чтобы получить 140).

Итого: 140 · 2- 1·2 = 280 – 2 = 278.

Деление на 2. 

В сложных случаях так же пытайтесь округлять числа.

Например, чтобы разделить 198 на 2, нужно сначала разделить 200 (это 198+2) на 2 и отнять 1 (1 мы получили, разделив прибавленные 2 на 2). Итого: 198 : 2 = 200 : 2 – 2 : 2 = 100 - 1= 99.

Умножение на 5

Для умножения на «5» достаточно число умножить на «10» и взять от результата половину.

Например, 36 · 5 = 36 ·10 : 2 = 360 : 2 = 180

Умножение на 9. 

Быстро умножить любое число на 9 можно следующим образом: сначала умножьте это число на 10 (просто добавьте ноль в конце), а затем вычтите из результата само число.

Например: 89 · 9=890-89=801.

Умножение на 11.

Закономерность здесь такая:

Например, 53 · 11 
Шаг 1 — Складываем две цифры двузначного числа: 5 + 3 = 8
Шаг 2 — Помещаем результат между двумя числами двузначного числа: 583

Если сумма чисел в центре дает результат больше 10, тогда добавляем единицу к первой цифре, а вместо второй цифры пишем сумму цифр умножаемого числа минус 10.

Например: 29 ·11 = 2 (2+9) 9 = 2 (11) 9 = 319.

94 х 11 = 9 (9+4) 4 = 9 (13) 4 = 1034; 78 х 11 = 7 (7+8) 8 = 858.

Умножение чисел от 10 до 20

 К одному из чисел прибавляем количество единиц другого, сумму умножаем на 10 и прибавляем произведение единиц чисел.

Например:

15 · 17 = (15 + 7) · 10 + 5 · 7 = 220 + 35 = 255

Умножение на 25. 

Умножение на 25 соответствует делению на 4 (с последующим умножением на 100).

Так 120·25 = 120 : 4 ·100=30 ·100=3000.

Умножение однозначного или двузначного числа на 37.

Запомни!

37 · 2 = 74        37 · 3 = 111                                          37 · 3 = 111                

37 · 6 = 37 · 3 · 2 = 111· 2 = 222                                  37 · 6 = 222

37 · 8 = 37 · (6 + 2) = 222 + 74 = 296                          37 · 9 = 333

37 · 18 = 37 · 3 · 6 = 111·6 = 666                                 37 · 12= 444

37 · 15 = 555 и т.д.

Этот прием поможет быстро возвести в квадрат двузначное число, которое заканчивается на 5.

Например, 85 · 85 
Шаг 1 — Умножаем первую цифру первого множителя на первую цифру второго множителя, увеличенную на единицу: 8 · (8 + 1) = 72
Шаг 2 — Дописываем к получившемуся результату число25. Итог  - 7225

Умножение двузначного числа на 101

Пожалуй, самое простое правило: припишите ваше число к самому себе. Умножение закончено.

Например: 57 · 101 = 5757 

Умножение двузначного числа на 111, 1111 и т.д.

24 х 111 = 2 (2 + 4) (2+4) 4 = 2664 (количество шагов – 2)

24 х 1111 = 2 (2 +4) (2 +4) (2+4) 4 = 26664 (количество шагов – 3)

48 х 11111= 4 (4 +8)(4 +8)(4 +8)(4 +8) 8 = 533328(количество шагов – 4) и т.д

Умножение на число, состоящее только из цифр 9

Допустим, нужно умножить 154 на 999 (99, 9999 или любое другое число из девяток). Вычисляем так:

154 · 999 = 154 · (1000 - 1) = 154000 - 154 = 153999 - 153 = 153846

В 6классе изучается тема «Признаки делимости» на 2, 3,5,9,10. Целесообразно добавить

 Признак делимости на 11

Натуральное число делится без остатка на 11, если сумма цифр, стоящих в записи числа на чётных местах:

— равна сумме цифр, стоящих на нечётных местах;

— отличается от неё на 11.

Например, для шестизначного числа признак делимости на 11 схематично выглядит так:

Примеры.

Определить, какие из чисел делятся на 11:

572; 415; 2673; 6395; 1529; 88132; 70811; 717541; 619109.

Решение:

572 делится на 11, так как сумма цифр, стоящих на нечетных местах 5+2, равна числу 7, стоящему на чётном месте. 415 не делится на 11, так как сумма цифр 4+5=9, стоящих на нечётных местах, не равна числу 1, стоящему на чётном месте, и 1=(4+5)-8.

2673 делится на 11, потому что сумма цифр 6+3=9, стоящих на чётных местах, равна сумме цифр 2+7=9, стоящих на нечётных местах. 6395 не делится на 11. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 3+5=8. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 6+9=15. Суммы отличаются на 7. 1529 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на нечётных местах, 1+2=3. Сумма цифр, стоящих на чётных местах, 5+9=14. Суммы отличаются на 11: 1+2=(5+9)-11.

Признак делимости на12

Число делится на 12, если оно кратно 3 и 4.

Проверить делимость чисел на 1212: 90129012 и 2398823988.

 1. Сумма цифр ​90129012 ​делится на 3:  9+0+1+2=123=49+0+1+2=123=4 и последние две цифры делятся на 4:124=34:124=3.

2. 2398823988  сумма цифр делится на 3:2+3+9+8+8=303=103:2+3+9+8+8=303=10 и последние две цифры делятся на 4:884=22.4:884=22.. Вывод: числа 90129012 и 2398823988делятся на 12.

Признак делимости на13

Число делится на 1313, если число его десятков умножить на 44 и сложить с оставшимися цифрами, кратно 1313.

Проверить делимость чисел на 1313: 845845 и 676676.

1. 84+(4∗5)=104−84+(4∗5)=104−делится на 1313.
2. 67+(4∗6)=67+24=91−67+(4∗6)=67+24=91− делится на 13.

Ответ: числа 845,676845,676 делятся на 13.

Признак делимости на25

Число делится на 2525, если две его последние цифры делятся на 25, то есть если его последние цифры оканчиваются на 00,25,50,25,50 или 75 или число кратно 5.

            Используя некоторые из этих приемов  на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении этой школьной дисциплины.

                                 Литература

1. «Повышение вычислительной культуры учащихся»: Пособие для учителя/ Ройтман П.Б. и др. – М.: Просвещение, 1980.-48с.
2. «Занимательные задания в обучении математике»: Книга для учителя/ М.Ю. Шуба.- М.: Просвещение
3. Преподавание математики. Пособие для учителя.

                              Автор Жохов В. И.

4. Приемы быстрого счета. Автор: Бугулов Е. А.

                        6.  Занимательная алгебра. Перельман Я. И.

                        7. Справочник по элементарной математике.

                        8.  «Математика» приложение к газете «1 сентября»

9. Борода Л.Я., Борисов А.М. Некоторые формы по привитию интереса к математике. //Математика в школе.

                        10. Бурлыга А.Я. Интересные приёмы устного счёта.

                    Бурлакова Устный счёт на уроках математики. //Начальная .школа.