Исследовательская работа "Лудольфово число"
творческая работа учащихся по математике (7 класс)

г.Видное

МАОУ «Видновская СОШ №10»

ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА НА ТЕМУ:

                                            «ЛУДОЛЬФОВО ЧИСЛО».    

                                                             Выполнила: учащийся 7 «а» класса

                                                             Минаев Никита

                                                             Руководитель:

                                                             учитель математики

                                                             высшей  квалификационной категории

                                                             А.А.Четвертакова

                                                               2020г.  

Содержание

Введение………………………………………………………….. стр 3

Глава 1.

       1. Из истории открытий ..……………….……………………..... стр 5

   2. Интересные факты о числе π ………………………………… стр 6

        3. Запоминание числа π …………………………………………. стр 9

 Глава 2.

1. Вычисление значения  ……………………………………… стр 11

2. Математика и музыка…………………………………………. стр 11

        Заключение……………………………………………………….  стр 12

        Приложения………………………………………………………. стр.13

        Литература и интернет-ресурсы………………………………...  стр 15

                                                                    «…лезет в дверь, в окно и через крышу»

                                                                                                          Август де Морган

Введение.

Математика – это нечто гораздо большее, чем просто наука для счетоводов и кассиров. Скорее, математика имеет дело с логикой и качественными связями между понятиями. В математике есть много удивительных и загадочных чисел. Но ни одно число не является более загадочным как число π с его знаменитым, никогда не кончающимся числовым рядом. Умы многих математиков, астрономов, физиков, лириков, философов, музыкантов завораживала магия этого числа. Интересные названия давали ему его открыватели: круговая постоянная,  константа Архимеда, число Лудольфа. Конечно, не учитывая самого распространенного – число Пи. Название «Лудольфово число» число π получило в честь голландского вычислителя  Лудольфа ван Цейлена. Именно так я и назвал свою исследовательскую работу.                                                                                                                                                                

Впервые мы сталкиваемся  с этой постоянной в школьном курсе при изучении длины окружности. Это число встречается и в других дисциплинах (физике, электротехнике…).

 Работу над своим проектом, я начал с небольшого опроса среди  обучающихся колледжа с целью узнать, что они знают об этой постоянной. Мне хотелось услышать их мнение о числе π и о его значимости в математике, в жизни. Результаты опроса показали, что  основная часть ребят знают о постоянной π только в рамках школьной программы. О его интереснейших открытиях, о  роли этого числа в жизни мало кому известно. (Приложение 1). Мне захотелось немного приподнять занавес загадки числа π. Ведь π является одним из интереснейших, важнейших чисел, встречающихся при изучении математики.

Актуальность работы:

Мало какому числу из всех чисел, которые используются в математике, в естественных науках, в инженерном деле и в повседневной жизни, уделяется столько внимания, сколько уделяется числу π. С числом π связано много интересных фактов, поэтому оно вызывает интерес к  изучению.    

Цель работы:

Изучить свойства числа π.

Задачи:

1. Провести опрос среди обучающихся колледжа.
2. Изучить источники по истории числа.
3. Провести практическую работу.
4. Показать связь между математикой и музыкой.

Глава 1.

1. Из истории открытий.

Заглянем в историю. Проблеме  π – 4000 лет. Впервые упоминания об отношении длины окружности к ее диаметру и его постоянстве дошли до нас в глиняных табличках Древнего Междуречья. Именно в них мастер клинописного искусства авторитетно сообщает нам, что длина любой окружности в 3 раза больше собственного диаметра.

Пирамида Хеопса является воплощением числа π Исследователи древних пирамид установили, что частное, полученное от деления суммы двух сторон основания на высоту пирамиды, выражается числом 3,1416.

        В III в. до н.э. Архимед обосновал в своей небольшой работе «Измерение круга» три положения:

1.Всякий круг равновелик прямоугольному треугольнику, катеты которого соответственно равны длине окружности и её радиусу;

2. Площади круга относятся к квадрату, построенному на диаметре, как 11 к 14;

3.Отношение любой окружности к её диаметру меньше 3  и больше 3 .

По точным расчётам Архимеда отношение окружности к диаметру заключено между числами 3  и 3  , а это означает, что  π = 3,1419...

        В V в. до н.э. китайским математиком Цзу Чунчжи было найдено более точное значение этого числа: 3,1415927...

        В священной книге джайнизма (одной из древнейших религий, существовавших в Индии и возникшей в VI в. до н.э.) имеется указание, из которого следует, что число π даёт дробь 3,162...

       Древние греки Евдокс, Гиппократ сводили измерения окружности к построению отрезка, а измерение круга - к построению равновеликого квадрата.

        В первой половине XV в. обсерватории Улугбека, возле Самарканда, астроном и математик Аль-Каши вычислил π с 16 десятичными знаками. Аль-Каши произвёл уникальные расчёты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом в 1'. Эти таблицы сыграли важную роль в развитии математики и астрономии.

        Спустя полтора столетия в Европе Франсуа Виет нашёл число π  только с 9 правильными десятичными знаками, сделав 16 удвоений числа сторон многоугольников. Но при этом Виет первым заметил, что π можно отыскать, используя пределы некоторых рядов. Это открытие имело большое значение, так как позволило вычислить π  с какой угодно точностью. Только через 250 лет после Аль-Каши его результат был превзойдён в астрономии.

Первым ввёл обозначение отношения длины окружности к диаметру современным символом π английский математик Уильям Джонсон в 1706 г. В качестве символа он взял первую букву греческого слова "periferia", что в переводе означает "окружность". Введённое Джонсоном обозначение стало общеупотребительным после опубликования работ Леонардо Эйлера, который воспользовался введённым символом впервые в 1736 г.

        Поиски точного выражения π  продолжались и после работ Виета. Андриан Ван Ромен (Бельгия) в XVI получил 17 верных десятичных знаков, а голландский вычислитель  Лудольф ван- Цейлен (1540-1610), вычисляя π, дошел до многоугольников с  6020 сторонами и получил 35 верных знаков для π. Ученый  затратил несколько лет на определение числа π. В его честь современники назвали π - «Лудольфово число». Согласно завещанию, на его надгробном камне было высечено найденное им значение π.

         И наконец, в 1766 году математик Ламберт доказал, что число π является иррациональным, т.е. не может быть выражено никакой простой дробью.

        В 19-м веке было доказано, что число также не может быть корнем какого-либо уравнения. То есть, по сути, число π  является бесконечным, у него нет конца, его можно лишь вычислить с нужной степенью точности.

С появлением компьютеров изучение числа π  пошло на порядки быстрее. В 1949 году на компьютере ЭНИАК было вычислено 2000 знаков числа, на что ушло 70 часов (для сравнения, современный iPhone вычисляет 100000 знаков π  за 10 минут). Рубеж в миллион знаков был преодолен в 1973 году. Существуют различные методы, например, алгоритм Рамануджана, алгоритм Брента-Саламина, формула Плаффа и многие другие.

Таким образом, можно выделить основные три периода в изучении числа π:

1.Древний период, в течение которого π изучалось с позиции геометрии;

2.Классическая эра, последовавшая за развитием математического анализа в Европе в XVII веке;

3.Эра цифровых компьютеров.

2. Интересные факты о числе π.

Есть гипотезы, предполагающие, что в числе π скрыта любая информация, которая когда-либо была или будет доступна людям. В том числе, и различные предсказания — надо лишь найти их и расшифровать. Какое бы сочетание цифр мы бы ни выдумали — оно непременно встретится в знаках числа π, то есть можно ожидать появление любой наперед заданной последовательности цифр.

Во многих областях математики и физики ученые используют число π   и его законы. Его можно встретить в теории вероятностей, в решении задач с комплексными числами.

В книге «Fractals for the Classroom» говорится: «Число π  захватывает умы гениев науки и математиков-любителей во всем мире». Английский математик Август де Морган назвал как-то  π  «…загадочным числом 3,14159…, которое лезет в дверь, в окно и через крышу». Это таинственное число связано с одной из трех классических задач Античности - задаче о квадратуре круга. Задача  влечет за собой шлейф драматических исторических и курьезных занимательных фактов. В комедии «Птицы» (414 г.до н.э.) знаменитый греческий поэт Аристофан, шутя на тему о квадратуре круга, вкладывает в уста астронома Метона следующие слова:

                                     «Возьму линейку, проведу прямую,

                                      И мигом круг квадратом обернётся,

                                      Посередине рынок мы устроим,

                                      А от него уж улицы пойдут -

                                      Ну, как на Солнце! Хоть оно само

                                      И круглое, а ведь лучи прямые!»…

Число π  имеет бесконечное число знаков после запятой, неопознаваемые системы последовательности. Посмотрим на первую тысячу знаков этих цифр. За ними стоят тени величайших мыслителей Древнего мира и Средневековья, Нового и настоящего времени. Удивительно, на получение этого короткого набора строк у человечества ушло 3000 лет.

π = 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196 4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273 7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094 3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912 9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132 0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235 4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859 5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303 5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989

Последовательность цифр похожа на случайную, но могут ли в ней быть повторяющиеся цифры? Оказывается, да, на 762 знаке находится так называемая «точка Фейнмана», состоящая из чисел 999999. В 4000000 знаков π  можно найти все 6-значные последовательности «111111», «222222», «999999». На примерно 40-миллионом знаке можно найти дату начала 2-й мировой войны (220641), а на 70-миллионном – дату ее окончания (090545). Можно поискать и свой день рождения.

Мой день рождения находится на (558024) позиции разложения числа π (http://www.etudes.ru/ru/sketches/).

Зачем, нам столько знаков π, ведь известно, что для расчета полета на край нашей Галактики с точностью, равной диаметру протона, достаточно знать сорок знаков числа, а при расчете земной орбиты вокруг Солнца с точностью до миллиметра достаточно четырнадцати знаков?

Вычисление нескольких тысяч знаков π  в настоящее время стало популярным средством проверки новых вычислительных машин и обучения молодых программистов. В своей книге «Что мы знаем о больших числах» Филипп Джон Девис пишет: «Загадочное и чудесное π стало чем–то вроде покашливания, которым вычислительные машины прочищают горло».

  С помощью компьютера было вычислено десятичных знаков:

1949 год — 2037 десятичных знаков

1958 год — 10000 десятичных знаков

1961 год — 100000 десятичных знаков

1973 год — 10000000 десятичных знаков

1986 год — 29360000 десятичных знаков

1987 год — 134217000 десятичных знаков

1989 год — 1011196691 десятичный знак

1991 год — 2260000000 десятичных знаков

1994 год — 4044000000 десятичных знаков

1995 год — 4294967286 десятичных знаков

1997 год — 51539600000 десятичных знаков

1999 год — 206 158 430 000 десятичных знаков.

По состоянию на 2011 год вычислено 10 триллионов знаков после запятой.

Число π можно сравнить с живым числовым организмом, которое живёт, растёт, развивается и даже имеет свой праздник - « День числа π ». Ежегодно его отмечают 14 марта, которое в американском формате дат (месяц/день), записывается как 3.14. Считается, что праздник придумал в 1987 году физик из Сан-Франциско Лари Шоу, обративший внимание на то, что 14 марта ровно в 01:59 дата и время    совпадают с первыми разрядами числа π = 3,14159.        

Интересно, что праздник числа π совпадает с датой дня рождения одного из наиболее выдающихся физиков Альберта Эйнштейна.

Ещё одной датой, связанной с числом π, является 22 июля, которое называется «Днём приближённого числа π» (Pi Approximation Day), так как в европейском формате дат этот день записывается как 22/7, а значение этой дроби является приближённым значением числа π.

В Сиэтле на ступенях перед зданием Музея искусств установлен памятник числу π. Существует в парфюмерии даже аромат, названный  в честь загадочного числа π.  Он был создан под руководством Alexander Mc Queen - коренного англичанина в Париже Флакон аромата - отдельное произведение искусства. Он был создан знаменитым дизайнером Serge Mansau и представляет собой прозрачную пирамиду с вытесненными геометрическими узорами.

3. Запоминание числа π

Число π выражается бесконечной десятичной дробью. В обиходе нам достаточно знать три знака -  3,14. Однако, в некоторых расчетах нужна большая точность.

        У наших предков не было компьютеров, калькуляторов и справочников, но со времен Петра I они занимались геометрическими расчетами в астрономии, в машиностроении, в корабельном деле. Впоследствии сюда добавилась электротехника  с понятием "круговой частоты переменного тока".

       Приведем некоторые примеры запоминания числа π  в стихотворной форме:

                                             Чтобы нам не ошибаться,

                                             Надо правильно прочесть:

                                             Три, четырнадцать, пятнадцать,

                                             Девяносто два и шесть.

                                             Ну и дальше надо знать,

                                             Если мы вас спросим -

                                             Это будет пять, три, пять,

                                             Восемь, девять, восемь.

                                                              (С. Бобров "Волшебный двурог")

Если соблюдать стихотворную форму, то можно быстро запомнить числа:

Три, четырнадцать, пятнадцать, девять два, шесть пять, три пять
Восемь девять, семь и девять, три два, три восемь, сорок шесть
Два шесть четыре, три три восемь, три два семь девять, пять ноль два
Восемь восемь и четыре, девятнадцать, семь, один.

Число π (3,14...)

                                           Целых частей в π,

                                           Как у треугольника углов – три.

                                           Следом идёт запятая,

                                           После целых частей ставить её не забываю.

                                           Затем стоит единица,

                                           Ребятам, знающим на эту оценку,

                                           В Головинщинской школе не стоит учиться.

                                           Четыре океана всего на Земле,

                                           Один из них, Тихий –

                                           Самый большой по глубине!

                                           Цифр много в числе Пи,

                                           Сочинила лишь про три!

Мировой рекорд по запоминанию знаков числа после запятой принадлежит китайцу Лю Чао, который в 2006 году в течение 24 часов и 4 минут воспроизвёл 67 890 знаков после запятой без ошибки. В том же 2006 году японец Акира Харагути заявил, что запомнил число π до 100-тысячного знака после запятой, однако проверить это официально не удалось.

Глава 2

1. Вычисление значения

       Удивительное свойство окружности открыл  древнегреческий ученый Архимед. Оно заключается в том, что отношение ее длины к длине диаметра одинаково для любой окружности. Проверим это утверждение на практике.

Для этого я взял несколько разных окружностей, измерил их длину с помощью нитки, диаметры измерил линейкой. Вычислил отношение длины окружности к диаметру для каждой окружности и сравнил полученные значения. Все полученные данные представлены в таблице (Приложение 2).

      Сделал вывод, что отношение длины окружности к её диаметру приблизительно равно   3,14.

2. Математика и музыка

Число π занимает умы не одних только математиков, которые с настойчивостью определяют в нем знаки после запятой. Константу пытаются подчинить законам музыки, чтобы узнать, как она может звучать. Музыканты берут партитуру и играют число π, используя любой ритмический рисунок, который пожелают. Так как все играют в одной тональности, звучит красиво, мелодично.

Большое количество чисел в разложение π, отсутствие закономерностей  создаёт ощущение разумного хаоса. Как же тогда высказывание М. В. Ломоносова «Математика ум в порядок приводит»?  Я попробовал  рассмотреть это число по -  другому.

Может ли число π звучать? Можно ли превратить число π  в музыку? Ведь музыка – это гармония. Разложил в тональности «до мажор» число π, присваивая порядковый номер каждой ноте. Работал в двух октавах, так как нот в одной октаве семь, а цифр в переборах десять. Прослушал звучание числа разложенного в секунду, в терцию, … Звучит гармония. Значит всё - таки есть закономерность, есть математические законы, подчиняющие звучание нот. Но эта тайна пока ещё не разгадана.

Заключение

Число π — это вызов нашему интеллекту, волнующая загадка устройства мира.  В конце концов, это очень интересно. Фундаментальная константа нашего мира вдохновляет, поражает, удивляет, вдохновляет не только физиков, но и лириков. Польский поэт ХХ века, лауреат Нобелевской премии 1996 года Вислава Шимборская посвятила стихотворение числу π, цитатой из которого я хочу закончить  свою работу:

                                  π - число, достойное восхищения:

                                      Три запятая один четыре один. 
                                     Каждая цифра дает ощущение 
                                     начала - пять девять два, 
                                     ведь до конца не дойти никогда. 
                                     Взглядом всех цифр не объять - 
                                     шесть пять три пять. 
                                     Арифметических действий - 
                                     восемь девять - уже не хватает,

                                      и трудно поверить - семь девять  

                                      что не отделаться – три два три восемь  
                                      ни уравнением, которого нет, 
                                      ни шутливым сравнением - 
                                      оных не счесть. 
                                      Двинемся дальше: четыре шесть...

 Приложение 1

        Результаты опроса обучающихся колледжа «Что я знаю о числе  π ?»

Приложение 2

Таблица. Вычисление числа π

Вывод: π3,14

Список литературы

1. Энциклопедический словарь юного математика /сост.А.П.Савин

    М.:  Педагогика, 1985 г.

2. Толковый словарь математических терминов.  Пособие для учителей / О.В.Мантуров, Ю.К.Солнцев, Ю.И.Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965г.
3.  Математика после уроков, пособие для учителей / М.Б.Балк, Г.Д.Балк. – М.: Просвещение, 1971 г.  
4. Г. И. Глейзер История математики в школе, Пособие для учителей под ред. В. Н. Молодшего - Просвещение М.: 1964 г.
5. Геометрия, 6 класс, Учебник, Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., 1987
6. Геометрия, 6-10 класс, Погорелов А.В., 1982
7. Математика, Справочник школьника, Гусев В.А., Мордкович А.Г., 2013

Интернет-ресурсы

1. http://ru.wikipedia.org/
2. http://shkolazhizni.ru/archive/0/n-14621/
3. http://dic.academic.ru
4. http://www.bestreferat.ru/referat
5. http://statistic.su/blog/pi/2010-09-24-49
6. http://nsportal.ru/
7. http://wiki.iteach.ru/index.php/Учебный_проект_Это_магическое_число_"ПИ"
8. http://www.myshared.ru/slide/122056/
9. http://ppt4web.ru/matematika/ehto-zagadochnoe-chislo-pi.html