Матрицы. Действия над матрицами.
план-конспект по математике

Элементарные занятия, время

Содержание основных элементов урока

Адаптация к условиям

Проведения занятия

Приветствие,

проверка присутствующих

Создание целевой системы

Постановка целей урока, конкретных задач. Современный человек живет и действует в условиях, требующих высокого профессионализма и значительных интеллектуальных усилий для принятия правильных решений в различных жизненных и рабочих ситуациях. Усложнившиеся социально-экономические процессы, уплотнившиеся информационные потоки, явный недостаток времени на их осмысление, возросшие конкурентность и агрессивность — все это обусловливает довольно высокие требования к выпускникам образовательных учреждений.

Курс информатики представляется дисциплиной с ярко выраженным межпредметным характером, наиболее значительны эти связи с математикой. Тесная связь информатики и математики существует в силу того, что имеется общая тенденция к использованию абстракций и символических представлений.

Актуализация

опорных знаний

Матрицей называется множество чисел, образующих прямоугольную таблицу, которая содержит m строк и n столбцов. Для записи матрицы используется следующее обозначение:  

        Для любого элемента  первый индекс i  означает номер строки, а второй индекс j – номер столбца. Сокращено прямоугольную матрицу типа  m × n можно записать так:  A=(, где i=1, 2, , m; i=1, 2,, n.

Создание развивающегося пространства

1. Виды матриц. Векторы

Если число строк матрицы  равно числу столбцов (m=n), то матрица называется квадратной. Например, квадратными являются матрицы

A=.

           Число строк или столбцов квадратной матрицы называется её порядком.           

Рассмотрим квадратную матрицу порядка n:

A=.

          Диагональ, содержащую элементы ,  , , будем называть главной, а диагональ, содержащую элементы ,  - побочной (или вспомогательной).

         Среди квадратных матриц выделим матрицы, у которых отличны от нуля только элементы, находящиеся на главной диагонали:

A=.

Такие матрицы называются диагональными;

Являются диагональными матрицами второго и четвертого порядка.

          Если у диагональной матрицы все числа главной диагонали равны между собой, т.е. ===, то такая диагональная матрица называется скалярной. 

Если в скалярной матрице все числа главной диагонали равны единице, то матрица называется единичной и обозначается буквой E:

E=

          Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается так:

O=

          В прямоугольной матрице типа m × n возможен случай, когда m=1. При этом получается  матрица-строка:

А=.

В случае, когда n=1, получаем матрицу-столбец:

B=

Такие матрицы-строки и матрицы-столбцы иначе будем называть векторами.

         3. Равенство матриц      

             Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковое  число строк m и одинаковое число столбцов n и их соответствующие элементы равны:  

        4. Действия над матрицами

Суммой матриц А и В условимся называть такую матрицу, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковое строение: или прямоугольные типа m x n, или квадратные порядка n.

Пример1:  Сложить матрицы А и В, если:

1. A=,     B=

Решение.

a)Здесь А и В – квадратные матрицы второго порядка. Складывая их соответствующие элементы, получим

C=A+B=

       Произведением матрицы A на число k называется такая матрица kA, каждый элемент которой равен

если  А=kA=

  Пример2:   Умножить матрицу  А=на число k=3.

       Решение. Умножая  каждый элемент матрицы А на 3, получим

3А= .

Умножение матриц

 Рассмотрим умножение квадратных матриц второго порядка.

Пусть

A=,      B=

       Произведением этих матриц называется матрица

C=AB=.

Для прямоугольных матриц справедливы следующие правила:

1.Умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только в том

случае, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В;

2.В результате умножения двух прямоугольных матриц получается

 матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Свойства умножения матриц

ABBA. произведение двух матриц , не подчиняется переместительному закону.

для умножения матриц выполняется

сочетательный закон:  A(BC) = (AB)C,

распределительный закон:  (A+B)C = AC + BC

Определитель матрицы. Вычисление определителей второго и третьего порядков

        Пусть дана квадратичная матрица второго порядка:

        Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число  

       Определитель второго порядка записывается так:

detA =

Моделирование рефлексного пространства

Пример:  Найти линейную комбинацию 3A -2B, если

A=,   B=.

 Решение.

Сначала находим произведение А на  и В на

3A=,      -2B=.

 Теперь найдем сумму полученных матриц:

3A-2B= = .

Найти произведение матриц А и В, если

A=,      B=.

       Решение. Найдем каждый элемент матрицы-произведения:

       ;

       Следовательно,

C=

Задание на дом

Лекция (читать, учить основные понятия)