Лекция по математике. Раздел 1. Линейная алгебра. Тема: Матрицы и определители.Занятие №1.
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Раздел 1. Линейная алгебра

Тема 1.1. Матрицы и определители

Урок№1.

Тема: Понятие матрицы. Виды матриц. Выполнение операций над матрицами.

Цель: приобретение базовых знаний в области фундаментального раздела математики – линейной алгебры. Изучить понятие матрицы, её видов, операции над матрицами.

Задачи: 

• развитие творческого профессионального мышления;

• познавательная мотивация;

• овладение языком науки, навыки оперирования понятиями;

• овладение умениями и навыками постановки и решения задач;

• углубление теоретической и практической подготовки;

• развитие инициативы и самостоятельности студентов.

Вид занятия: Лекция систематического изложения курса.

Ход занятия.

1.Формулирование темы занятия, пояснение связи темы с другими темами учебной дисциплины;

2.Проверка готовности студентов к занятию;

3.Проведение непосредственно занятия согласно тематике и в соответствии с рабочей программой дисциплины:

› Изучить теоретический материал по теме «Матрицы.Выполнение операций над матрицами».

› Рассмотреть примеры решения типовых заданий.

› Ответить на контрольные вопросы.

Организационный момент.

Создание проблемной ситуации при постановке темы, цели и задач лекции.

В школьном курсе алгебры 7 – 9 классов рассматриваются различные способы решения систем линейных уравнений: метод подстановки, метод сложения, метод двойного сложения, графический метод, метод сравнения. Возникает вопрос, а существуют ли какие-либо другие способы решения данных систем. Действительно, кроме методов, изучаемых в школе, существуют и другие, доступные для учащихся старших классов методы решения систем линейных уравнений: метод Крамера, метод Гаусса, матричный метод. Эти методы способствуют развитию внимания, памяти. При применении этих методов встречаются новые понятия: «матрица», «определитель», «минор», «дополнение». Возникает необходимость уметь вычислять определители, миноры, дополнения.

При решении систем линейных уравнений методом Гаусса также нужно уметь выполнять преобразования над строками матриц.

Что же такое матрица, какие действия  с ними можно выполнять?

2.Изучение нового материала.

Матрицей размеров m x n называется система m n чисел (элементов матрицы), расположенных в прямоугольной таблице из m строк и n  столбцов. Если m=n, матрицу называют квадратной матрицей порядка n.

Обозначения:   или

Или кратко: А=(аij)mn или А=[aij].  Две матрицы А и В одинаковых размеров равны  А=В, если аij=bij для любых i, j.

Матрицы бывают:  0 =  - нулевая матрица,

А =  - матрица противоположная матрице А,

 - матрица – строка,                  - матрица – столбец,

 - верхняя треугольная матрица,

 -нижняя треугольная матрица, - диагональная матрица,

Е =  - единичная матрица.

Если все аij действительные, то матрица А называется действительной, если хотя бы одно из чисел аij комплексное, то матрица называется комплексной.

ДЕЙСТВИЯ  НАД МАТРИЦАМИ

1. Суммой матриц А = (аij) и В = (bij) одинаковых размеров называется матрица С = (сij) тех размеров, у которой сij = аij + bij , для любых i, j.

C = A + B

Свойства сложения матриц:

A +B = B + A

(A +B) +C = A + (B + C)

A + 0 = A

A + (-A) = 0, для любых А, В, С одинаковых размеров.

Транспонирование матриц.

А =  Ат =

Ат – транспонированная матрица.

Свойства транспонирования:

1)              3)

2)           4)

Произведением матрицы А = (аij) на число k называется матрица С = (сij)

Тех же размеров, у которой сij = k · aij  для любых i,j.

C = k · A

Свойства умножения матрицы на число:

1)

2)

3)

4)  для любых А,В одинаковых размеров, любых α, β  R

Произведением матрицы А = (аik) размеров mn на матрицу В = (bkj) размеров np называется матрица С = (сij) размеров mp, у которой

cij = ai1b1j + ai2b2j + … + ainbnj.

C = AB

Свойства умножения матриц:

AE = EA = A

A0 = 0A = 0

(AB)D = A(BD)

(A + B)D = AD + BD

D(A + B) = DA + DB   (при условии, что все указанные операции имеют      смысл).

Для квадратных матриц АВ≠ВА

3.Закрепление нового материала.

Пример 1:  Найти сумму матриц:  А =  и  В  = .

Решение: С = А + В              С =

Чтобы вычесть из матрицы А матрицу В, надо к матрице А прибавить матрицу, противоположную матрице В.

А – В = А + (-В)

Пример 2:  Найти разность матриц А – В:  А =  и В = .

Решение: С = А – В      -В =       С =

Пример 3:  Дана матрица А =.      Найти матрицу С = 2А.

Решение:   С = 2А =

Пример 4:   Даны матрицы: А =  и  В = .

Найти произведение матриц А и В.

Решение:   С = АВ     С =      С =

4.Итог занятия. Рефлексия.

5.Домашнее задание. Учить определения, составить опорную схему конспекта. Выполнить упражнения:

1.Найти , если .

2.Даны матрицы .

3.Найти:   а)         б)

4.Найти матрицу , если

а)  

б)