• Уравнения, сводящиеся к простейшим: Метод введения новой переменной
презентация к уроку по математике (10 класс)

Слайд 1

Уравнения, сводящиеся к простейшим Метод введения новой переменной

Слайд 2

Простейшие тригонометрические уравнения sinx = a x=(-1) n arcsina + π n, n ϵ Z sinx = 0 x= π n, n ϵ Z sinx = 1 x= , n ϵ Z sinx = - 1 x= - , n ϵ Z arcsin (-a) = - arcsina

Слайд 3

Простейшие тригонометрические уравнения cosx = a x= ± arccosa +2 π n, n ϵ Z cosx = 1 x=2 π n, n ϵ Z cosx = 0 x= , n ϵ Z cosx = - 1 x= π +2 π n, n ϵ Z arccos (-a) = π – arccos a

Слайд 4

Простейшие тригонометрические уравнения tgx = a x = arctga + π n, n ϵ Z ctgx = a x= arcctga + π n, n ϵ Z arctg (-a) = - arctga arcctg (-a) = π - arcctga

Слайд 5

Метод введения новой переменной Шаг 1. Привести уравнение к алгебраическому виду относительно одной из тригонометрических функций. Шаг 2. Обозначить полученную функцию переменной t (если необходимо, ввести ограничения на t). Шаг 3. Записать и решить полученное алгебраическое уравнение. Шаг 4. Сделать обратную замену. Шаг 5. Решить простейшее тригонометрическое уравнение.

Слайд 6

Пример 1 : Решим уравнение Решение . Вводим новую переменную Тогда мы получаем квадратное уравнение: , из которого

Слайд 7

Таким образом: и Находим значения x : 1) x = π/6 + πk 2) x = –π/2 + 2πn Ответ :

Слайд 8

Пример 2 : Решим уравнение Решение : Мы знаем, что Отсюда выводим значение Вводим это значение sin 2 x в наш пример: Раскрываем скобки:

Слайд 9

Сводим подобные члены: Поменяем местами слагаемые от большей степени к меньшей (как того требует правило):

Слайд 10

Введем опять новую переменную и в результате получим квадратное уравнение: Решив его, находим корни: или Обратная замена: Рассмотрим вариант

Слайд 11

Мы видим, что в этом случае cos x > 1. Т.Е. решений нет. В другом уравнении cos x меньше 1 ( cos x < 1). Значит, решаем его. Сначала находим значение арккосинуса: 1 2π arccos (– —) = —— 2 3 Осталось найти x : 2π Ответ: x = ± — + 2πk, k ∈ Z 3

Слайд 12

Пример 3 : Решим уравнение Ответ: +2 , Возвращаемся к синусу + 2 Решение : C делаем замену Получаем =0,5 и

Слайд 13

Пример 4 : Решим уравнение Решение : Эти две формулы можно объединить в одну Ответ:

Слайд 14

Пример 5 : Решим уравнение Решение : введём новую переменную Возвращаемся к тангенсу Ответ:

Слайд 15

Пример 6 : Решим уравнение Решение : Ответ:

Слайд 16

Пример 7 : Решим уравнение Решение : Ответ:

Слайд 17

Желаю успехов!