Решение показательных уравнений методом введения новой переменной
план-конспект урока по алгебре (10, 11 класс) на тему

Учебник.  Мордкович А.Г., Семенов П.В. «Алгебра и начала математического анализа 11 класс» (профильный и базовый уровень), М., Мнемозина, 2015

Решение показательных уравнений методом введения новой  переменной

Цель урока:

• повторить свойства степени с рациональным показателем, решение простейших показательных уравнений; познакомить учащихся с методом решения показательных уравнений с помощью введения новой переменной;

• развивать навыки самостоятельной работы  и работы в сотрудничестве, в группах; развивать логическое мышление учащихся;

• воспитать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Планируемые результаты.

Предметные
Учащиеся научатся:

 – решать уравнения методом введения новой переменной;
– понимать и использовать математический язык, символические обозначения;
– использовать метод введения переменной для решения математических задач из различных разделов курса.

Метапредметные результаты (УУД):

Личностные:
– формирование выраженной устойчиво-познавательной мотивации и интерес к учению;
– формирование навыков рефлексии.

Коммуникативные:

– формулирование собственного мнения и позиции;
– работа в группе — установление рабочих отношений, эффективное сотрудничество и продуктивная кооперация;
– осуществление взаимного контроля и оказание необходимой помощи в сотрудничестве.

Регулятивные:
– самостоятельная оценка правильности выполнения действия и внесение необходимых коррективов в исполнение, как в конце действия, так и по ходу его реализации;
– основы саморегуляции в учебной и познавательной деятельности в форме осознанного управления своей деятельностью, направленной на достижение поставленных целей;
– осуществление познавательной рефлексии в отношении действий по решению учебных и познавательных задач;

– планирование пути достижения целей.

Познавательные:
– осуществление сравнения при  самостоятельном выборе оснований и критериев для указанной логической операции;
– установление причинно-следственных связей.

Оборудование: компьютер, проектор, интерактивная доска,  сигнальные карточки с цифрами 1, 2, 3, документ-камера.

Тип урока: урок  изучения нового материала

Ход урока

Ι. Мотивация (самоопределение) к учебной деятельности

      Сегодняшний урок я хотела начать античным афоризмом  «Незнающие пусть научатся, знающие - вспомнят еще раз». На уроке нам предстоит повторить свойства степени с рациональным показателем, решение простейших показательных уравнений, решение уравнений графически, используя свойства функций, вынесение общего множителя за скобки, а также узнать новое. Эти знания пригодятся при сдаче ЕГЭ. На столе у вас лежат оценочные листы. На протяжении урока будем себя оценивать.

ІІ. Актуализация знаний и умений.

      1. Устные упражнения (слайд 2)

1. Приведите            252+х    к основанию 5;  

                                           к основанию 2;  

                                         42х     к основанию 2.

2. Разложите на множители:     51-х,       52х+1,       5х-2.  
3. Представьте  данную функцию в виде показательной  

 ,                  ,            .

4. Решите уравнения: 3х=1 ,         2х=-2,          5│х│=5

Ученикам раздаются тестовые задания и сигнальные карточки с цифрами 1,2,3.

Учитель читает задание, а ученики поднимают карточку соответствующую верному ответу.(1, 2, 3)

 2 . Тестовые задания (слайды 3-9)

1. Какая из формул верна?

1. am ∙ an=am+n                2.                           3. (am)n=am+n

2. Представить в виде степени  с основанием 6 выражение  :

1.                 2.                                        3.  

3. Вычислить:   

1.                  2.                                           3.  

4) Какое из уравнений не имеет корней?

    1.   3х+1=3                            2.   6х=10                              3.  3х =0

5) Какое из уравнений решено графически?

    1.   4х+1=1                        2.                       3.

6) Вычислить:                

1.   6                       2.                          3.    36

7) Представить  0,25  в виде степени числа 2:

                                      1.  22                        2.   2-2                      3.   2-5

3.Проверка домашнего задания

В это время  (во время выполнения учащимися устных упражнений и самостоятельной работой с тестовыми заданиями)  трое учащиеся работают у доски и выполняют домашнее задание № 11.64(б), 6.28 (г), 12.17 (б)

Решите графически уравнение №11.64(б)  

1)= х+3

Решением  уравнения является абсцисса точки пересечения графиков у= (  и  у=х+3              

Проверка:       (

2=2 (верно)

Ответ: -1

2)      = х+3      

Так как функция  у= ( убывает на R, а  возрастает на R, то уравнение имеет один корень, и корнем является х=-1

Проверка:      (

2=2 (верно)

Ответ: -1

2)Решите уравнение № 6.28 (г)

 + 2  – 3 = 0

 + 2  – 3 = 0

Пусть =t   t≥0

t2 + 2t – 3 = 0

t1 = -3                  t2 = 1

 = - 3                       = 1

решений нет           х=1

Ответ: 1

3)Решить уравнение№12.17 (б)

52x-1 – 52x-3 = 4,8

52x-3 (52 – 1) =4,8

52x-3 ▪ 24 = 4,8

52x-3  = 4,8: 24

52x-3  = 0,2

52x-3  = 5-1

2х – 3 = -1

2х = 2

х = 1

Ответ: 1

ІІІ. Изучение нового материала

На слайде 10   уравнения.

3x+2 = 27

3x+1 - 2∙ 3x-2 = 25

3x = 5x

9x – 4 ∙ 3x – 45 = 0

= x + 1

 = 1

Какие уравнения называются показательными?

Какие из данных уравнений являются показательными?

Решение, каких уравнений вызывает у вас затруднение?

Укажите способы их решений.

Учащиеся записывают в тетрадь тему урока (слайд 11).

Тема урока: «Решение показательных уравнений методом введения новой переменной».

Что мы возьмем  за t в уравнении?

Какое уравнение мы получим после замены переменной?

Что мы должны сделать, чтобы найти х?

Дети решают уравнение в тетради, а  учитель показывает решение на доске (слайд 12)

9x - 4 · 3x – 45 = 0
т.к. 9x = (32)x = 32x = (3x)2,

выполним замену 3x = t, где t > 0
t2 – 4t – 45 = 0

По  Виета

t1 = -5                                   t2 = 9

3x = -5                                   3x = 9

решений нет                            

                                                х = 2
                                                              Ответ: 2

ІV. Закрепление  материала

Один ученик решает у доски, остальные в тетради (слайд 13,14).

22-x - 2x-1 =1

22 ∙ 2-x - 2x ∙ 2-1 =1

2x =t,   t > 0

8 - t2 - 2t = 0,

t2 + 2t - 8= 0

По  Виета

t1 = – 4                  t2 = 2

2x = – 4                  2x = 2

решений нет               х = 1

Ответ: 1

Как вы думаете, когда можно применять метод замены переменной? (слайд 15)

Итак, метод замены переменной применяют, если:

1. основания степеней одинаковые, но показатель одной степени в 2 раза больше, чем другой;
2. основания степеней одинаковы, но коэффициенты при степенях противоположны.

Задание  1. Заполните пропуски (слайд 16)

52x+1 - 26∙5x +5 = 0

…….. - 26∙5x +5 = 0

…..x = t,   t > 0

…t2  -  26t  + 5 = 0

D=676 - …..= ………

t1 =         t2 =

5x =…….                        5x =…….

x = …….                         x = …….

Ответ: …….

 Задание  2. Исправить ошибки в решении уравнения (слайд 17).

3 ∙ 25x - 8 ∙ 15x + 5 ∙ 9x = 0

ОДЗ:  x > 0

3 ∙ 52x - 8 ∙ 5x ∙ 3x + 5 ∙ 32x = 0

 +

3∙  - 8 ∙  + 5 = 0

Пусть  = t ,  t ≥ 0

3t2 - 8t + 5 = 0

D = 64 - 60 = 4

t1 =        t2 =

 =                       = 1

решений нет                    x = 1

Ответ: 1

Как вы думаете, когда будем решать уравнения с помощью деления на показательную функцию? (слайд 18)

Итак, деление на показательную функцию используется, если основания степеней разные.

1. в уравнениях вида ax = bx делим на bx  

 3х=5х разделим  на 5х  

1. в уравнениях вида A a2x+B axbx+C b2x =0 делим на  b2x  и получим квадратное уравнение  которое решаем с помощью подстановки

       3 ∙ 25x - 8 ∙ 15x + 5 ∙ 9x = 0 разделим на 9x

 V. Групповая работа

Класс разбивается на 4 группы. Каждая группа получает задание  в течение 5 минут решить уравнение. Любой ученик  из группы защищают решения               (проверяем с помощью документ-камеры) (слайд 19)

1 группа (слайд 20)

∙

∙

Пусть   ,  t > 0

t2 - 12t + 27 = 0

t1 = 3                  t2 = 9

x2 -1 = 1                               x2 -1 = 2

x2  = 2                                x2  = 3

x1 =       x2 = -                             x3 =       x4 = -  

Ответ: ; ; ;

2 группа (слайд 21)

ОДЗ: x≠0

Пусть  ,  t > 0

t2 -5t + 4 = 0

t1 = 4                  t2 = 1

x =1                        решений нет

Ответ:1

3 группа (слайд 22)

          разделим  на

Пусть  ,  t > 0

3t2 - 7t + 4 =0

D=49-48=1

t1 =        t2 =

 =                       = 1

 =                       =

х=-1                                                             х=0

Ответ:-1; 0

4 группа (слайд 23)

Пусть   ,  t > 0

t + 27   12 = 0

t2 - 12t + 27 = 0,   t ≠ 0

t1 = 3                  t2 = 9

х=1                       х=2

Ответ: 1; 2

VІ. Творческое задание (слайд 24)

Из выражений составить уравнения, которое решались бы

1 группа  - вынесением множителя за скобки

2 группа  - заменой переменной

3 группа   - делением на показательную функцию

4 группа   - уравнения, которые не имеют корней

Выражения:

5∙

2∙

0

-7∙

-5

150

4∙

Например,

1. +  =150
2. +4∙  -5 = 0
3. 5∙ -7∙ + 2∙=0
4.  = -5

VІІ. Подведение итогов.

1. Какие способы решения показательных уравнений вы знаете?
2. Заполнить пропуски (слайд 25-28)

• Показательными уравнениями называются  уравнения вида   …………………,  где a>0, a≠1 и уравнения, сводящиеся к этому виду ……….

• Показательное уравнение     = ,  где a>0, a≠1,    равносильно уравнению ……………………………

• Показательное уравнение  решают  вынесением за скобки степени с меньшим показателем, если

1) основания степеней  ……………..

2)……………..      перед   переменной       одинаковы.

• Способ замены переменной используют, если

1) основания степеней одинаковы, но показатель   ………  …………… в 2 раза больше, чем  другой;

2∙ 52x  + ……  + 4 = 0

    2)основания степеней одинаковы, но коэффициенты  перед         переменными………...

4∙5х - …….. +3= 0

• Деление на показательную функцию используется, если основания степеней  …………….

                ax = bx    делим на  ………

• Деление на показательную функцию используется, в уравнениях вида Aa2x+Baxbx+Cb2x =0. Делим на ……., получим уравнение вида…………………………., которое решается с помощью  замены ……….

• За что вы могли бы себя похвалить?
• Что показалось вам трудным?

Учащиеся в оценочных листах ставят оценки за работу на уроке.

         VІІІ. Домашнее задание

п.12, № 12.25(а,б), 12.27, 12.37(а,б)