Исследовательский проект «Приемы устных вычислений»
проект по математике (8 класс)

Муниципальное казённое общеобразовательное учреждение

Андрюшинская средняя общеобразовательная школа  

Гаринского городского округа

Исследовательский проект

«Приемы устных вычислений»

Выполнил:

Вагин Александр

ученик 8 класса

Руководитель:  Бурдова С.Г..

Учитель математики

Андрюшино, 2018

Содержание

Введение…………………………………………………...………………………1

Основная часть

I. Немного истории………………………………………………………………..5

II. Устный счет — гимнастика для ума……………………………...…………..7

1) Применение основных свойств деления.

2) Применение признаков делимости.

3) Приёмы быстрого умножения и деления на некоторые числа

4) Интересные признаки делимости и способы умножения.

Результаты и выводы……………………………………………………………10

Заключение……………………………………………………………………….11

Список литературы……………………………………………………………....12

Приложения……………………………………………………………………...

Введение.

«Счёт, вычисления – основа порядка в голове».

Иоганн Генрих Песталоцци

«У меня растут года, будет и 17. Где работать мне тогда? Чем заниматься?»

Эти строки В.Маяковского актуальны и сегодня. Какую бы профессию  я не выбрал, везде нужны знания математики,  именно с ней человек встречается каждый день в своей жизни.

 Большинство учащихся испытывают затруднения при выполнении вычислений. Многие часто используют калькулятор, устно же считать почти никто не умеет. Приемов рациональных вычислений в учебниках очень мало, однако при сдаче Государственной итоговой аттестации (ГИА) использование калькулятора не разрешается и развитые вычислительные умения и наличие навыков устного счета - залог успешной сдачи экзамена. Именно поэтому, данную тему я считаю актуальной. Говорят, если хотите научиться плавать, вы должны войти в воду, а если хотите уметь быстро считать, то должны начать считать. Но для начала надо освоить азы арифметики. Научиться считать быстро, считать в уме можно только при большом желании и систематической тренировке.

 Выбрав тему «Приемы быстрого счета», я задался вопросом: можно ли овладеть такими приемами и улучшить свои вычислительные способности. Я думаю, что знание таких приемов помогает человеку не только на уроках математики, но и в обыденной жизни, развивает внимание, память.

Цели исследовательской работы: изучить методы и приемы быстрого счета

и показать возможность их использования для улучшения качества

вычислений и для саморазвития.

Задачи:

 изучить и проанализировать материал по данной теме.

 выбрать наиболее оптимальные методы и приемы быстрого счета,

познакомить с ними одноклассников.

Объект исследования: методы и приемы быстрого счета.

Предмет исследования: процесс вычислений.

Гипотеза моей исследовательской работы заключается в том, что знание и

использование приемов быстрого счета позволит существенно увеличить

скорость и качество счета, поможет без затруднений справляться с

заданиями вычислительного характера.

Проблемные вопросы

Быстрый счет - это реальность или утопия?

Нужен ли быстрый устный счет на уроках или это удел компьютера?

Какие приёмы вычислений существуют?

Где пригодятся приёмы вычислений в жизни?

Методы

 Опрос (анкетирование)

 Анализ (статистическая обработка данных)

 Изучение теоретического материала

 Вывод

Ход работы

 Собрал информацию.

 Проанализировал и систематизировал полученную информацию.

 Создал презентацию.

 Подготовил буклет.

Основная часть.

1. Немного истории

         Трудно сказать, когда появились числа.  Однако наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить продукты, добычу, делать запасы впрок. Таким образом, человек, сам не замечая того, научился считать, производить вычисления. Для счета использовали пальцы рук, ног, различные предметы. Появились и изображения чисел. Например, индейцы изображали числа с помощью узелков на верёвках. Первым способом «записи» чисел были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. А сейчас мы пользуемся цифрами, нам это привычно и удобно. Сначала люди научились складывать и вычитать, потом умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В

соответствующей литературе упоминаются такие способы умножения, как

«загибанием», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и

многие другие.

Можно ли считать быстрее компьютера?

Обогнать устройство, выполняющее сотни миллионов операций в секунду? Невозможно… Но тот, кто говорит так, жестоко лукавит, или просто кое-что умышленно упускает из вида. Компьютер - это лишь набор микросхем в пластике, он не считает сам по себе.

Поставим вопрос по-другому: может ли человек, считая в уме, обогнать того, кто выполняет вычисления на компьютере? И здесь ответ - да. Ведь, чтобы получить ответ от "черного чемоданчика", данные в него необходимо сначала ввести. Это будет делать человек при помощи пальцев или голосом. А все эти действия имеют ограничения по времени. Непреодолимые ограничения. Сама природа поставила их человеческому телу. Всему - кроме одного органа. Мозга!

Калькулятор умеет выполнять лишь две операции: сложение и вычитание. Умножение для него - это множественное сложение, а деление - множественное вычитание.

Наш мозг поступает по-другому.

Класс, где учился будущий король математики, Карл Гаусс, как-то получил задание: сложить все числа от 1 до 100. Карл написал на своей доске абсолютно правильный ответ, как только учитель закончил объяснять задание. Он не стал прилежно складывать числа по порядку, как поступил бы любой уважающий себя компьютер. Он применил открытую им самим формулу: 101 х 50 = 5050. И это далеко не единственный прием, ускоряющий вычисления в уме.

Для того чтобы понять, какую роль в нашей жизни играют цифры, поставьте простой эксперимент. Попробуйте некоторое время обойтись без них. Без цифр, без вычислений, без измерений… Вы окажетесь в странном мире, где почувствуете себя абсолютно беспомощным, связанным по рукам и ногам. Как успеть на встречу вовремя? Отличить один автобус от другого? Позвонить по телефону? Купить хлеб, колбасу, чай? Сварить суп или картошку? Без чисел, а значит, без счета жизнь невозможна. Но как тяжело иногда дается эта наука! Попробуйте быстро перемножить 65 на 23? Не получается? Рука сама тянется за мобильником с калькулятором. А, между тем, полуграмотные русские крестьяне 200 лет назад спокойно делали это, пользуясь лишь первым столбиком таблицы умножения - умножением на два. Не верите? А зря. Это - реальность.

Возможно, и наш способ умножения не является совершенным; может

быть будет придуман еще более быстрый и надежный.

Есть люди, умеющие невероятно быстро считать в уме. Они могут

мгновенно умножить 45623 на 679, знают наизусть таблицу умножения чисел

от 1 до 100, не задумываясь, отвечают, на какой день недели приходится 22

декабря 3487 года.

В огромном мире людей с давних пор известны обладатели

феноменальных способностей устного счета. Ими владели многие ученые,

например, Андре Ампер и Карл Гаусс,  который придумал способ как быстро сосчитать сумму цифр от 1 до 100.

 В прошлые века устный счет был одним из главных компонентов урока. Эта картина называется 
«Устный счет».  На ней изображен фрагмент урока математики в школе села Татево Смоленской губернии.
Написал ее художник Николай Петрович Богданов – Бельский. 1895год. Художник изобразил на этой картине невыдуманных учеников и учителя, он очень хорошо знал своих героев: вырос в их среде. Учитель – это Сергей Александрович Рачинский, известный русский педагог, замечательный представитель русских образованных людей позапрошлого века.

Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков

Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.

Яков Трахтенберг родился в Одессе 17 июня 1888года, окончил с отличием Горный Институт в Петрограде, а позже работал на Адмиралтейских верфях в Обуховском заводе, где стал главным инженером, руководителем свыше 11 тысяч рабочих.

После Великой Октябрьской Революции 1917 года Трахтенберг перебрался в Германию. После прихода к власти Гитлера выступал против нацизма.

Во время Второй мировой войны. Трахтенберг стал узником нацистского концентрационного лагеря. В заключении разработал свою арифметическую систему, так называемый «Метод Трахтенберга».

Эта книга представляет собой печатное изложение 
Э. Катлером и Р. Мак-Шейном (Ann Cutler and Rudolph McShane) системы быстрого счета в уме, разработанной профессором, руководителем, а также и основателем Цюрихского Математического Института Яковом Трахтенбергом

       II.      Устный счет — гимнастика для ума

На сегодняшний день существуют различные методики, помогающие научиться быстро считать в уме. Изучив многие подходы к обучению навыку считать устно, можно выделить 3 основных составляющих данного навыка:

1. Способности. Способность концентрировать внимание и умение удерживать в краткосрочной памяти несколько вещей одновременно. Предрасположенность к математике и логическому мышлению.

2. Алгоритмы. Знание специальных алгоритмов и умение оперативно подобрать нужный, максимально эффективный алгоритм в каждой конкретной ситуации.

3. Тренировка и опыт, значение которых для любого навыка никто не отменял. Постоянные тренировки и постепенное усложнение решаемых задач и упражнения позволят вам улучшить скорость и качество устного счета.

1) Применение основных свойств действий.

Для успешного проведения вычислительных операций необходимы прочные знания элементарных свойств действий над числами. Эти свойства желательно уметь описывать словами, записывать в виде формул и видеть их в вычислительных преобразованиях.

1. Переместительные свойства сложения и умножения:

2. Сочетательные свойства сложения и умножения:

3. Распределительное свойство умножения относительно сложения:

4. Свойства нуля и единицы

2) Применение признаков делимости.

Складывать, вычитать и умножать можно любые числа. А вот деление нацело выполняется далеко не всегда. В этом случае, преждечем начинать делить одно число на другое, хорошо бы знать, а выполнится ли это деление вообще. Вот здесь и нужно вспомнить признаки делимости чисел. Можно выделить три группы признаков:

 а) по последним цифрам делимого;

 б) по сумме цифр делимого;

 в) делимость составных чисел.

Вспомним  признаки делимости по этим группам, и я покажу  те признаки, которые не рассматриваются в школьных учебниках.

По последним цифрам делимого:

1.Признак делимости на 2.

Число делится на 2 тогда и только тогда, когда его последняя цифра делится на 2, то есть является чётной.

Число будет делиться на 2, если оно чётное, т.е. оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8.

Примеры. 3158 : 2 =1579– «8» - число чётное;

2156 : 2 = 1078 – «6» - число чётное;

2. Признак делимости на 4.

Число делится на 4 только тогда, когда две его последние цифры – нули или составляют число, которое делится на 4. Так можно определить является ли год високосным.  Год 2018 не високосный, т.к. 18 не делится нацело на 4.

Примеры. 21564 : 4 = 5391 - «64» : 4 = 16;

5 1712 : 4 = 12 928 - «12» : 4 = 3;

16700:4=4175

3.Признак делимости на 5.

Число делится на 5 тогда и только тогда, когда его последняя цифра либо 0, либо 5.

Примеры. 23 560 : 5 =4712;

32785 : 5 = 6557

4.Признак делимости на 8.

Число делится на 8 тогда и только тогда, когда число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8. 

Примеры. 12 864 : 8 = 1608 - (число 864 : 8 = 108);

537816 : 8 = 67227 - (число 816 : 8 = 102);

5.Признак делимости на 10.

Число делится на 10 тогда и только тогда, когда его последняя цифра 0.

Пример. 27340 : 10 = 2734

6.На разрядную единицу (10, 100, 1000 …) делятся те натуральные числа, у которых количество нулей больше или равно количеству нулей разрядной единицы.

Пример: 12 000 делится на 10, 100 и 1000.

7.Признак делимости на 20.

Число делится на 20 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними цифрами, делится на 20.

Другая формулировка: число делится на 20 тогда и только тогда, когда последняя цифра числа — 0, а предпоследняя — чётная.

Пример. 7580: 20= 379

8. Признак делимости на 25

Число делиться на 25, если запись числа оканчивается на 25, 50, 75, 00.

Примеры. 14 625 : 25 = 585;

74175 : 25 = 2967;

9.  Число делилось на 50, если запись числа оканчивается на 00или 50

Пример. 13950 : 50;

По сумме цифр делимого.

1.Признак делимости на 3

Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Пример. 15327 : 3 =5109 – ( 1+5+3+2+7= 18, 18 : 3 = 6), значит, число 15327 делится на 3);

2. Признак делимости на 9

Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9.

Примеры. 18 819 : 9 = 2 091 - (1 + 8 + 8 + 1 + 9 = 27, 27 : 3 = 9); значит, число 18819 делится на 9);

3.Признак делимости на 11

Число делится на 11, если разность суммы цифр, стоящих на нечётных местах, и суммы цифр, стоящих на чётных местах, кратна 11, либо эти суммы равны.

Пример. Число 98 855 075:

9 + 8 + 5 + 7 = 29 – сумма цифр, стоящих на нечётных местах;

8 + 5 + 0 + 5 = 18 – сумма цифр, стоящих на чётных местах;

29 – 18 = 11- разность

число 98 855 075 делится на 11.

 Признаки делимости составных чисел.

Признаки делимости составных чисел строятся на признаках делимости простых чисел, на которые можно разложить любое составное число.

1.Признак делимости на 6.

Число делится на 6, если это число чётное и сумма цифр этого числа делится на 3.

15 762 : 6 = 4 127- (число 15 762 - чётное и сумма его цифр (1+5+7+6+2 = 21, 21 : 3 = 7); значит, число 15762 делится на6);

2.Признак делимости на 12:

Число  делится на 12, если оно делится на 3 и на 4.

412356 (56:4=14; 4+1+2+3+5+6=21; 21:3=7)

3.Признак делимости на 15:

Число  делится на 15, если оно делится на 3 и на 5.

56190 ( 5+6+1+9+0=21, 21:3=7)

4.Признак делимости на 7

Число делится на 7 , если разность числа десятков и удвоенного числа единиц делится на 7.

364 делится на 7, т.к. 36 – (2·4) = 28, 28 : 7 = 4

7.Признак делимости на 14. Число делится на 14, если

оно делится и на 2, и на 7.

518-чётное, делится на 2; 51-8*2=51-16=35 (35:7=5)

5.Признак делимости на 13.

Число делится на 13 , если сумма числа десятков и учетверенного числа единиц, кратно 13.

416 делится на 13, т.к. 41+ (4 ·6) = 41+24=65; 65:13=5

8.Признак делимости на 19.

Число делится на 19 , если сумма числа десятков и удвоенного числа единиц, кратно 19.

646 делится на 19, т.к. 64 + (2·6) = 76, 76 : 19 = 4

6.Признак делимости на 99.

Разобьем число на группы по 2 цифры справа налево (в самой левой группе может быть 1 цифра) и найдем сумму этих групп. Если эта сумма делится на 99, то и само число делится на 99.

56732544 делится на 99, т.к. 56+73+25+44 = 198, 198 : 99 = 2

При возведении чисел в квадрат удобно используя формулы сокращенного умножения.

372=(30+7)2=302+2*30*7+72 

3) Рассмотрим приёмы быстрого деления и умножения на некоторые числа.

Деление на 2.  Иногда удобно представлять число, которое делим в виде разности полных десятков и добавления этого числа до полных десятков, или суммы полных десятков и оставшегося числа.

398:2= (400-2):2= (400:2)-(2:2)=200-1=199

714:2=(700+14):2=700:2+14:2=350+7=357;

Деление и умножение на 4 и 8

Чтобы число разделить на 4, надо дважды разделить это число на 2.

81264: 4=(81264:2):2=40632:2=20316

Чтобы умножить число на 4, надо последовательно двукратно умножить это число на 2.

153*4=153*2*2=306*2=612

Деление (или умножение) на 8 являются трехкратным делением (или умножением) на 2.

57200:8=57200:2:2:2= 28600:2:2=14300:2=7150

237*8=237*2*2*2=474*2*2=948*2=1896

Умножение на 6

При умножении на 6 можно применять два способа:

1)      Последовательное умножение

         52 · 6 = 52·2·3 = 104·3 = 312

2)      Представление 6 в виде суммы 5 и 1

         52 · 6 = 52 · (5+1) = 312

Деление ,умножение на 5. Чтобы умножить число на 5нужно поделить число на 2 и умножить частное на 10

6538*5=6538:2*10=3269*10=32690

Чтобы любое число разделить на 5, его нужно умножить на 2 и разделить на 10.

326:5= 326*2:10=652:10=65,2

Умножение (деление) на25 аналогично.

120*25 = 120:4*100=30*100=3000.

43:25=43*4:100=172:100=1,72

Деление 1000 на 2, 4, 8, 16.  Полезно знать деление чисел, кратных 10 на числа, кратные двум:1000=2*500=4*250=8*125=16*62,5.

Умножение на 9.  Чтобы умножить число на 9 можно: сначала умножить это число на 10, а затем вычесть из результата само число.

89*9=89*10-89=890-89=801.

Умножение на 11.

1 способ. Чтобы, умножить число на 11, необходимо множимое умножить на 10 и прибавить множимое, например: 67 * 11 = 67*10 + 67= 670+67=737.

2 способ. Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

53*11 = 5(5+3)3=583

74 *11 = 7(7+4)4= 7(11)4=814,

единицу помещаем между восьмеркой (семерка плюс перенесенная единица) и четверкой,

Умножение на  111, 1111, 11111 (для двузначных чисел, сумма цифр которых меньше 10)

Цифры этого числа «раздвинуть» на  2, 3 и т.д. шагов, в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, 2, 3 и т.д.  

51 * 111 = 5(5 + 1)(5 + 1)1 = 5661

26 * 1111 = 2(2 + 6)(2 + 6)(2+ 6)6 = 28886

Удобно умножать числа, близкие к 100(меньшие 100) методом дополнения до 100.

Метод дополнения до 100 (Например: 98*97)

98 * 97=….

|          |

2        3

добавляем число, недостающее до100

2*3=6 умножаем эти числа, записываем в конце произведения 06.Находим разность между любым из чисел и недостатком до 100 другого числа. 98-3=95; 97-2=95 В обоих случаях разности одинаковы. Записываем разность перед 06. Получившееся число и есть искомое произведение.

98 * 97= 9506

Метод дополнения до 50

• 462=(25-4)*100+42=2100+16=2116
• 4-дополнение до 50
• 532=(25+3)*100+32=2809

• 3-разница между 53 и 50

Возведение в квадрат любого двузначного числа.

Если запомнить квадраты всех чисел от 1 до 25, то легко найти и квадрат

любого двузначного числа, превышающего 25.

Для того чтобы найти квадрат любого двузначного числа, надо разность между этим числом и 25 умножить на 100 и к получившемуся произведению прибавить квадрат дополнения данного числа до 50 или квадрат избытка его

над 50-ю.

Рассмотрим примеры:

372=(37-25)*100+(50-37)2=12*100+132=1200+169=1369

722=(72-25)*100+(72-50)2=47*100+222=4700+484=5184

282=(30-2)2=302-2*30*2+22=900-120+4=784 (формула квадрата разности)

Рассмотрим и другие приёмы возведения в квадрат

Возведение в квадрат чисел от 40 до50.

Чтобы возвести квадрат число пятого десятка(41,42,43,44,45,46,47,48,49),
надо к числу единиц прибавить 15,умножить на 100, затем к полученному числу прибавить квадрат дополнения числа единиц до 10 (если этот квадрат - однозначное число, то перед ним приписывается число о)

432=(3+15)*100+(10-3)2=1800+49=1849
482=(8+15)*100+(10-8)2=2300+ 4=2304

Возведение в квадрат чисел от 50 до60.

Чтобы возвести в квадрат число шестого десятка (51,52,53,54,55,56,57,58,59)
надо к числу единиц прибавить 25 и к этой сумме приписать квадрат числа единиц.
Например:
542=(4+25)*100+4*4=2916
572=(7+25)*100+7*7=3249

Возведение в квадрат числа, оканчивающееся на 5.

Число десятков умножаем на следующее за ним натуральное число и приписываем 25.

152= (1*2) 25=225; 352=(3*4) 25= 1225 ; 652=( 6*7)25=4225

Квадрат числа, оканчивающегося на 1.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 1, нужно заменить эту единицу на 0, возвести новое число в квадрат и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 1 на 0.

712 =702+70+71=4900+141=5041

Квадрат числа, оканчивающегося на 6.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 6, нужно заменить цифру 6 на 5, возвести новое число в квадрат (оканчивающееся на 5) и прибавить к этому квадрату исходное число и число, полученное заменой 6 на 5.

562 =552+55+56=3025+55+56=3080+56=3136

Квадрат числа, оканчивающегося на 9.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 9, нужно заменить эту цифру 9 на 0 (получим следующее натуральное число), возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 9 на 0.

592 =602-60-59=3600 – 60 – 59 = 3481

Квадрат числа, оканчивающегося на 4.

При возведении в квадрат числа, оканчивающегося на 4, нужно заменить цифру 4 на 5, возвести новое число в квадрат и из этого квадрата вычесть исходное число и число, полученное заменой 4 на 5.

842=852-85-84=7225-85-84=7056

Целью моего проекта было и анкетирование учащихся нашей школы по следующим вопросам:

1. Зачем нужно уметь считать?

2.Пкречисли при изучении каких школьных предметов тебе понадобится правильно считать?

 3.Знаешь ли ты приёмы быстрого счёта?

4.Применяешь ли ты при вычислениях приёмы быстрого счёта?

5.Хотели бы вы узнать приёмы быстрого счёта, чтобы использовать их в жизни

Анкетирование проводилось в 5,6,7,8,9 и 11 классах. Результаты обработки ответов учащихся приведены на диаграммах.

На диаграммах видно, что, по мнению ребят, устный счёт пригодится в жизни, при сдаче экзаменов. Очень печально, что некоторым ученикам умение считать вообще не нужно. Оказывается, ребята мало считают без калькулятора. И есть ученики, которые никогда не считают сами. Знают ли ребята приёмы устного счёта? Немногие. И применяют эти приёмы не всегда. Радует, что почти все ученики, которые участвовали в анкетировании хотят научиться быстро считать и изучать приёмы быстрого счёта.

Заключение.

В заключении хочу сказать, что освоение описанных выше приёмов устного счёта поможет мне быстро выполнять арифметические действия при вычислениях на уроках математики, физики, химии, на экзаменах и, просто, в жизни. Мне было интересно работать над проектом.

Литература:

1.  «Устный счет». Э.Л.Струнников

2.  Развитие вычислительной культуры учащихся.   НЛ. Мельникова

3.  Устный счет — гимнастика ума. ГА. Филиппов

4. Алгоритмы ускоренных вычислений. Л.В. Бикташева

5.  Библиотечка «Первое сентября»

6. Интернет.