Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ по теме «Множество значений функции»
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (11 класс)

Система творческих заданий по подготовке к ЕГЭ

по теме «Множество значений функции»

                   Множество значений функции.

Множеством (областью) значений Е(y) функции y=f(x) называется множество всех таких чисел , для каждого из которых найдется число, такое что: .

Напомним области значений основных элементарных функций.

Областью значений всякого многочлена четной степени является промежуток [m,+, где m – наименьшее значение этого многочлена, либо промежуток [–], где n – наибольшее значение этого многочлена.

Областью значений всякого многочлена нечетной степени является R.

 1.У любой функции y=f(x) есть множество значений, которое обозначается E(y)  или E(f).

Как найти множество значений? Проще всего это сделать если построить эскиз графика заданной функции. А это проще всего сделать, если уметь строить графики элементарных функций и их композиций (сложных функций).

Пример 1.: Найдите множество значений функции y=sin x, x;]

Решение.

Функция не является монотонной на заданном промежутке. Можно, например, посмотреть множество значений на тригонометрическом круге. Видно (рис.1), что при изменении x от  до синус изменяется от  до 1, а при изменении х от   до  синус изменяется от 1 до  >. Отсюда следует, что синус принимает все значения от  до 1, т.е.

 (sinx; x;)=[ ;1]

Ответ: [ ;1]

                             у

                       1      

 -1                                               1            х

                     -1

Пример 2.:Найдите множество значений функции 

Решение.

Основной способ решения таких задач  известен: надо построить график функции и с его помощью найти E(f). Но чтобы построить график заданной функции, следует провести ее исследование на экстремум с помощью производной, если учащиеся пока не знают. То поступим по-другому: выясним, при каких значениях параметра а уравнение имеет корни. Множество таких значений а совпадает с множеством значений функции.

Имеем: Уравнение имеет корни, если  Значит, E(f)=

2. Пусть f(x) является сложной функцией, в которой можно выделить «подфункцию» t=t(x). Тогда y=f(t)=f(t(x)).Сначала мы находим E(t), потом E(f).

Пример 1.: Найдите множество значений функции

(6-x-)

Решение. В задачах, если это возможно, лучше перейти к основанию, большему 1. (с ним работать проще)

(6-x-)(6-x-)=(6,25-(х+)

Квадратный трехчлен

f(x)=6-x- =  - (x+ принимает все значения из промежутка (∞;].

Логарифмы существуют только у положительных чисел, поэтому

 (∞;] тогда ( - (x+ принимает все значения из промежутка (-∞;]. Отсюда следует, что (6-x-) принимает все значения из промежутка [-;+∞), т.е. =[; +∞)

Пример 2.:Найдите множество значений функции

y=()

Решение.

Найдем сначала область определения Д(y)

↔

Из найденной области определения следует, что

х+2>0 и х-4<0, поэтому |х+2|+|х-4|=х+2-х+4=6, тогда =2 и =1

Поэтому в области определения

y(x)=()==

 квадратный трехчлен f(x)=8-(x- принимает все значения из промежутка

 (-∞;8], логарифм  f(x) существует для всех значений f(x)∊(0;8]. Но логарифм стоит в знаменателе – поэтому необходимо разбить промежуток на два, исключив значение f(x)=1.

Итак,

[⇒[

Поэтому ℇ(y)=(-∞;0)[;+∞)

Ответ: (-∞;0)[;+∞) 

Пример 3. Найдите наименьшее целое значение функции:

y=

Решение.

y=. Пусть y=,где t0 монотонно возрастает. , если t наименьшее, то выражение т.е. при  - наибольшее значение принимает;- - наибольшее, если x=0, то =13. =16-13=3.=1,7. Наименьшее целое число y=2.

Ответ: 2.

Примеры для решения:

1). y=.

2).y=7∙

3).y=9∙

4).y=

Пример 4. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение.

Рассмотрим функцию:

Найдем E(y) и выберем наибольшее целое:

выражение

Ответ:3.

Примеры для решения:

1).

Пример 6.Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение:

,преобразуем показатель степени по формуле сложения тригонометрических функций.  y=4∙ Найдем множество значений выражения, –2Наибольшее значение 2sin(x-3) –3=–1, то наибольшее значение , . Наибольшее целое равно 1.

Ответ: 1.

Пример для решения:

Пример 7. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение:

Областью определения данной  в условии функции является интервал (0;+∞). На этой области определения, то есть при x >0 выражение  пробегает все множество действительных чисел. Следовательно, –1 при x >0. Тогда в силу монотонности функции ( на всем множестве действительных чисел, при x >0 выполняется неравенство. Поэтому

Значит, наибольшим целым значением функции является 21.

Ответ: 21.

Пример для решения:

Пример 8. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение: D(y)=R при x∊R.

 Преобразуем дробь,т.е. представим в виде суммы целой и дробной части  

Наибольшее целое y= –1.

Ответ: –1.

Пример 9. Найдите наибольшее целое значение функции:

Решение:

Чтобы ответить на поставленный вопрос задания, найдем множество значений данной функции. Для этого найдем множество неотрицательных значений функции

Так как функция является квадратным трехчленом с отрицательным старшим коэффициентом, то наибольшее значение этой функции достигается в абсциссе вершины параболы, соответствующей этому трехчлену. Указанная абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле:

 (a и b – старший и второй коэффициенты трехчлена). Значит, наибольшее значение y(1)=152∙(1=16.  Таким образом, отрезок [0;16] является множеством неотрицательном значений этой функции. Так как функция  является возрастающей, то множеством значений исходной функции

  является отрезок []. Этот отрезок содержит единственное целое число, равное 3, которое и будет наибольшим целым значением данной в условии функции.

Ответ: 3.

Пример 10.

Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции

заданной  на промежутке [2;5].

Найдем область определения E(y) данной функции. Рассмотрим данную функцию как произведение двух функций:  и . Обе эти функции возрастают на отрезке [2;5]. Однако, каждая из функций  и  меньше нуля на [2;3], равна нулю при нули на (3;5]. Поэтому функция  убывает на [2;3] и возрастает на [3;5]. Значит, минимальное значение функции на отрезке [2;5] – это =0, а максимальное значение равняется max=maxследовательно, E(y)=[0;64].

Ответ: 64.

Пример 11.

Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции

Решение:

Для ответа на вопрос задания найдем множество значений функции
. На множестве действительных чисел функция
 принимает любое значение из отрезка [–1;1]. Поэтому функция
 принимает любое  значение из отрезка [0;1].  Найдем множество значений функции  на отрезке [0;1].  Функция  является непрерывной и убывающей на всей числовой оси и, в частности, на отрезке [0;1]. Поэтому множеством ее значений на отрезке [0;1] является отрезок [arcctg1;arcctg0]= . Учитывая коэффициент 6, получаем, что отрезок   – область значений функции , заданной на всей числовой оси. Наибольшее целое число из отрезка  – 9.

Ответ: 9.

Примеры для решения:

1).Найдите длину отрезка, которой является областью значений для функции

заданной  на промежутке [–2;3].

2).Найдите наибольшее целое число, входящее в область значений функции

.

3).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции

.

4).Найдите наименьшее целое число, входящее в область значений функции

.

5).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции

6).Найдите количество целых чисел, входящих в область значений функции

Пример 12.

Найдите разность между наибольшим целым и наименьшим целым значениями функции

Решение .

, .

.

Наибольшее целое y=4, наименьшее целое y=4. Разность равна 0.

Ответ: 0 .

Пример 13.

Найдите количество целых значений функции  

Решение.

Согласно равенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом,

,

. Следовательно, . С другой стороны, при x∊ обе функции  определены, неотрицательны и множество значений функции  на этом интервале совпадает с интервалом (0;+∞), следовательно их сумма может принимать любое значение  из промежутка [2; +∞). Поэтому ,0 значит количество целых значений функции  равно 8.

Ответ: 8.

Пример 14.Найдите количество целых значений функции 

Решение.

Количество целых значений 5.

Ответ:5

Пример 15.

Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции

?

Решение.

Область определения функции  является множество решений неравенства . Решим его, для чего определим корни трехчлена

Решений неравенства , а соответственно и областью определения исходной функции. Найденный промежуток содержит целые числа с 1 по 12, среди которых 6 нечетных чисел.

Ответ: 6.

Примеры для решения:

1).Сколько нечетных целых чисел входит в область определения функции

?

2).Сколько целых чисел входит в область определения функции

?

3).Сколько целых чисел входит в область определения функции

?

Пример 16.

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

Решение.

Разность между наибольшим и наименьшим значением равна 8-4=4.

Ответ: 4.

Пример для решения:

Найдите разность между наибольшим и наименьшим значениями функции

Пример 17.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1;a].

Решение.

У этой задачи  только одна трудность – наличие параметра a.

Найдем абсциссу вершины параболы , получим –x=2. Значит, при x функция  убывает, а при x2 – возрастает. Дальнейшие рассуждения зависят от того, попала ли точка 2 в заданный отрезок или нет.

Если -1 a, то на [-1;a] функция убывает, следовательно

Если a то Что касается наибольшего значения, то его функция достигает либо в точке , и тогда это значение равно 5, либо в точке , и тогда это значение равно . Сравним эти значения, выясним, когда наибольшим значением функции является первое из них. Решив неравенство 5, получим: -15. Поскольку мы рассматриваем случай, то получаем 2, в этом случае .

Если  то 5. В этом случае

Если, наконец,то 5= В этом случае

Итак, если -1, то ,; если 2 то

; если  5, то.

Пример 18. При каком значении параметра  наибольшее значение функции  равно наименьшему значению функции:

Решение. Поскольку , выражение  можно преобразовать к виду , где вспомогательный аргумент. Значит,  а потому для функции получаем: +24. Так как далее , то для функции  получаем:  Осталось решить уравнение

Ответ: -23.