Тема «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии»
план-конспект урока по математике (9 класс) на тему

Тема «Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии»

Цель урока:
•вывести формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии;
•выработать навыки нахождения суммы членов конечной геометрической прогрессии, используя задачи с необычными сюжетами;
•показать применение алгебры в практической жизни.

Оформление доски: портрет Я.И.Перельмана, девиз урока: «Творческим считается, любое действие ,которое…вызывает удивление» (Дж.Брунер).

Вступление
В декабре этого года исполняется 133 года со дня рождения великого популяризатора науки Я.И.Перельмана, с задачами которого мы сегодня познакомимся. Они необычны, интересны, поучительны. Ученицы нашего класса подготовили небольшую презентацию о жизни и творчестве Якова Исидоровича Перельмана.

Объяснение нового материала
Учитель (предлагает учащимся задачу). Однажды незнакомец постучал в окно к богатому купцу и предложил такую сделку: «Я буду ежедневно в течение 30 дней приносить тебе пот 100 000р. А ты мне в первый день за 100 000 р. Дашь 1 копейку, во второй день за 100 000 р. 2 копейки, и так каждый день будешь увеличивать предыдущее число денег в два раза. Если тебе выгодна сделка, то с завтрашнего дня начнем». Купец обрадовался такой удаче. Он посчитал, что за 30 дней получит от незнакомца 3 000 000 р. На следующий день пошли к нотариусу и узаконили сделку.                                            
   Вопрос. Кто в этой сделке проиграл: купец или незнакомец?
Учащиеся предлагают записать геометрическую прогрессию и найти сумму 30 первых ее членов.
(bn): 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512, … ,

Где b1=1 , q=2 , n=30
Вопрос. Можно ли решить эту задачу более рациональным способом?

Ответ: да, если будем знать формулу суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Объявляется тема урока и его цели. После вывода формул:
 , q1,
  , q1,

Возвращаемся к задаче и вычислениям:

6Ответ очевиден - купец проиграл.

Закрепление изученного материала
Проводится с помощью задач из «Занимательной алгебры» Я.И.Перельмана.

Задача «Покупка лошади».
В старинной «Арифметике» Магницкого мы находим следующую забавную задачу.
Некто продал лошадь за 156 р. Но покупатель приобретя лошадь, раздумал ее покупать и возвратил продавцу, говоря :
-Нет мне расчета покупать за эту цену лошадь, которая таких денег не стоит.

 Тогда продавец предложил другие условия:
-Если, по-твоему, цена лошади высока, то купи  только ее подковные гвозди, лошадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6.

За первый гвоздь дай мне всего  к., за второй -  к., за третий- 1к. и т.д.
Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лошадь, принял условия продавца, рассчитывая, что гвозди придется уплатить не более 10 р.
  На сколько покупатель проторговался?
   Решение. Рассмотрим геометрическую прогрессию (bn), где b1=  , q=2, n=24. Воспользуемся формулой для нахождения суммы n первых членов геометрической прогрессии.
    Сумма эта равна
)4-1)=2-2(224-1)=4 194 303 (к.),

То есть около 42 тыс.р. При таких условиях не обидно дать и лошадь в придачу.

       Следующая задача- из другого учебника, носящего пространное заглавие: «Полный курс чистой математики, сочиненный Артиллерии Штык-Юнкером и Математики партикулярным Учителем Ефимом Войтяховским в пользу и употреблении юношества и упражняющихся в Математике» (1795).

Задача «Вознаграждение воина». Служившему воину дано вознаграждение: за первую рану 1 копейка, за другую- 2 копейки, за третью 4 копейки и т.д. По исчислению нашлось , что воин получил всего вознаграждения 655 р. 35 к. Спрашивается число ран.
Решение. Рассмотрим геометрическую прогрессию (bn): 1, 2, 4, …,где  b1=1 , q=2, Sn= 65 535. Воспользуемся формулой для нахождения суммы nпервых членов геометрической прогрессии. Составим уравнение:
                          65 535=n=16
При такой системе вознаграждения воин должен получить 16 ран и остаться при этом в живых, чтобы удостоиться награды в 655р. 35 к.

Итог урока
      Вопрос: Что дают задачи Я.И.Перельмана для жизненного опыта? Напишите на обратной стороне буквы (лежат на столах учащихся) свои мысли.
 После зачитывания мнений учащихся, на доске из букв составляется надпись ЖИВАЯ МАТЕМАТИКА.
              Задание на дом
1. При каком русском царе изучали математику в России по «Арифметике» Магницкого?
2. Что означали в XVIII веке звания Артиллерии Штык-Юнкер и Математики партикулярный Учитель?