Урок на тему «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии»
план-конспект занятия по математике (9 класс) на тему

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Пестречинская средняя общеобразовательная школа №1

с углубленным изучением отдельных предметов»

Конспект урока по математике

в 9 классе

на тему

«Формула суммы n первых членов

геометрической прогрессии»

Разработал: учитель математики высшей квалификационной категории

Вараксина Е.М.

  Тема урока: «Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии».

  Цели:

• вывести формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии и показать применение этой формулы в процессе решения задач;
• совершенствовать навыки решения задач по теме.

Средства обучения:

• А.Г.Мордкович, Н.П.Николаев    Алгебра: учеб. Для 9 класса.
• калькулятор;
• книга В.Е. Прудникова «Русские педагоги – математики XVIII-XIX веков;
• варианты самостоятельной работы;
• рисунок «Покупка лощади».

Тип урока: урок изучения нового материала.

                                                          Ход урока.

I.Вводная часть урока.

Актуализация знаний.

 А) Историческая справка.

• Кто в юные годы шёл с рыбным обозом на Москву, поступил там в лучшее учебное заведение, а вскоре после его окончания прославился как ученый?

-Правильно, Ломоносов. Но те же эпизоды на полвека ранее определили биографию Леонтия Филипповича Магницкого. Вот с кого Михаил Васильевич делал себя! Уже на вершине славы Ломоносов называл «Арифметику» Леонтия Магницкого «вратами своей учености».

Б) Рассмотрим забавную задачу Магницкого из его старинной «Арифметики».

                                                «Покупка лощади».

«Некто продал лощадь за 156 рублей. Но покупатель, приобретя лощадь, раздумал её покупать и возвратил продавцу, говоря:

-Нет мне расчёта покупать за эту цену лощадь, которая таких денег не стоит. Тогда продавец предложил другие условия:

-Если по-твоему цена лощади высока, то купи только её подковные гвозди, лощадь же получишь тогда в придачу бесплатно. Гвоздей в каждой подкове 6. За первый гвоздь дай мне всего ¼ копейки, за второй – 1/2коп., за третий – 1коп. и т.д. Покупатель, соблазненный низкой ценой и желая даром получить лощадь, принял условия продавца, рассчитывая, что за гвозди придётся уплатить не более 10 рублей.   На сколько рублей покупатель проторговался?»

• Сколько гвоздей понадобится, чтобы подковать лощадь?  (24)

Рассмотрим последовательность: 1/4, 1/2, 1…

• Какой прогрессией является данная последовательность? (Ответы учащихся).
• Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

Арифметической прогрессией называется последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, сложенному с одним и тем же числом (d – разность).

                                 1/2 – 1/4 = 1/4;         1 – 1/2 = 1/2;                 1/4 ≠ ½

Следовательно, данная последовательность не является арифметической прогрессией.

• Сформулируйте определение геометрической прогрессии.

Геометрической прогрессией называется последовательность отличных от нуля чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число (q – знаменатель прогрессии).

Проверим.            1/2 : 1/4 = 2;          1 : 1/2 =2;                     2 = 2

Значит, данная последовательность является геометрической прогрессией.

По условию задачи:

                               1/4 + 1/2 + 1 + 21 + 22 + ….+ 222  = ?

Сможем ли найти эту сумму?

II.   Основная часть урока

 Сообщение темы и формулировка целей урока:

«Формула суммы n первых членов геометрической прогрессии».

Пусть дана геометрическая прогрессия (bn).

Обозначим сумму n первых её членов через bn/

                                            Sn = b1 +   b2 + b3+…..+ bn-1 + bn                      (1)               

Умножим обе части этого равенства на q:

                                Sn q = b1* q + b2*q +b3*q + bn-1*`q +   bn*q

Учитывая, что  

                                b1*q = b2            b2* q  = b3           b3*q = b4   ………  bn-1*`q = bn

Получим:

                Sn q  =   b2 + b3+…..+ bn- +  bn*q                                      (2)      

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

  Sn q -  Sn  =   (b2 + b3+…..+ bn- +  bn*q) – (b1 +   b2 + b3+…..+ bn-1 + bn) = bn*q – b1,

                      Sn(q – 1) = bn*q – b1

Отсюда следует, что  при  q ≠ 1             Sn = (bn*q – b1)/ (q – 1)

Мы получили формулу суммы n первых членов геометрической прогрессии, в которой q ≠ 1.      Если  q = 1, то все члены прогрессии равны первому члену и    Sn = n*b1.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде.

Подставим в (1) формулу вместо bn выражение b1*qn-1.

Sn = (b1*qn-1*q – b1) /(q – 1) = (b1*qn – b1) /(q – 1) = b1(qn – 1) /(q – 1)

        q≠1    

 Sn = b1(qn – 1) /(q – 1)            (II)

Пример. Найдем сумму первых десяти членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1 =3   и  q =1/2

Решение. 

Так как известны b1 и q, то удобно пользоваться  (II) формулой

 S10 = b1(q10 – 1) /(q – 1) = 3((1/2)10 – 1) /(1/2 – 1) = 3(1/1024 – 1) / (-1/2) =

-6(1/1024 – 1) = 6 – 3/512 = 5 509/512

Ответ: 5 509/512

III.Закрепление изученного материала

На доске и  в тетрадях решить задачи № 408а и №409а, в (с. 100 учебника). Для решения к доске вызываются учащиеся.

 №408а. Найдите сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, у которой b1 = 8, q = ½

Решение:

S5 = b1(q5 – 1) /(q – 1) = 8((½)5 – 1) /( ½ – 1) = 8 (1/32 – 1) / (-½) =

- 16(1/32 – 1) = 16 - ½ =

Ответ: 15,5.

№409а. Найдите сумму шести первых членов геометрической прогрессии:

а) 3; -6; …                 в) -32; -16;...

Решение.

а) b1 = 3, b2 = -6,   q = b2/b1 = (-6) / 3 = -2

S6 = b1(q6 – 1) /(q – 1) =  3((-2)6 – 1) /(-2 – 1) = 3 (64 – 1)/(-3) = - 63.

в)  b1 = -32;  b2 = -16;. q = b2/b1 = -16/(-32) = ½  

S6 = b1(q6 – 1) /(q – 1) =  -32((½)6 – 1) /(½ – 1) = -32(1/64 – 1) / (-½) =

64(1/64 – 1) = 1 – 64 = - 63

Ответ: а) -63;  в) -63.

Вернемся к задаче Магницкого.                                        222 = ?

b1 =1/4,  q = 2        программа для вычис-

S24 = b1(q24 – 1) /(q – 1) = 224 (224 – 1)/(2-1)         ления на калькуляторе

(¼* 224) – ¼ = 222 – ¼ = 4194304 – ¼ =        2ху 22 =

41943033/4 (коп.) ≈ 41943 руб. ≈ 42 т

• Сравним 42 тысячи рублей со стоимостью лощади в 156 рублей.

Удивились? Недаром говорят, что мышление начинается с удивления.

Сведения о Магницком (выступление одного ученика)

Магницкий родился в июне 1669 года в Осташковском районе Тверской области в бедной крестьянской семье Филиппа Теляшина.

С ранних лет помогал отцу на пашне. Удивительное дело – бедный молодой крестьянин, которому и спины разогнуть-то было некогда, (это даже не сын зажиточного помора Ломоносов), так тянулся к знаниям, что через десяток лет уже сподобился обучать наукам дворянских отпрысков!

         В 1684 году его отправили в Иосифо-Волоколамский монастырь как возчика для доставки рыбы монахам. Побеседовав с юным Леонтием, монахи, пораженные его грамотностью и умом, оставили отрока при обители в роли чтеца. Затем Магницкого перевели в московский Симонов монастырь. В 1685-1694 годах Магницкий обучался в Москве в славяно-греко-латинской академии.

       Магницкого не забывали на протяжении двух столетий, но о его личности известно совсем немного. Даже его фамилия – Магницкий – является псевдонимом, который придумал для него Петр I. Распутывая трудности, возникшие при создании Навигацкой школы, Петр пришел в восторг от разговора с этим молодым человеком и сравнил его с магнитом, притягивающим разнообразные знания и нужных людей.

      В 1701 году Петром I Магницкий был назначен преподавателем Навигацкой школы. Ему было поручено написать учебник по математике «Арифметика сиречь наука числительная» тиражом 2400 экземпляров. «Арифметика» Магницкого стало для своей эпохи не только учебником, но и научной энциклопедией математических знаний. Его же книга стимулировала М.В.Ломоносова к естественно-научному образованию.

      Учебник состоит из двух частей. Во второй части имеется много задач на прогрессии, с одной из них мы сегодня познакомились.

      Книга, являющаяся национальным достоянием, бережно хранится в Отделе редких книг и рукописей научной библиотеки Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова. (Показать страницу из «Арифметики» Л.Ф.Магницкого, книга «Русские педагоги-математики», с. 22).

IV. Самостоятельная работа по вариантам.

А) Самостоятельная работа проводится на заранее приготовленных листах.

Вариант 1.

1). Найдите шестой член геометрической прогрессии (bn), если b1 = 3, q = 2. 2). Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если q = 2, b6 = 64.

3). Найдите сумму первых шести  членов геометрической прогрессии: 3; 6;…

4). Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, (bn), если b1 = 32, q = 1/2.

Вариант 2.

1). Найдите шестой член геометрической прогрессии (bn), если b1 = 2, q =3. 

2). Найдите первый член геометрической прогрессии (bn), если q = 3, b3 = 27.

3). Найдите сумму первых шести  членов геометрической прогрессии: 4; 8;…

4). Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, (bn), если b1 =27, q = 1/3.

В) Самопроверка по готовому решению заданий самостоятельной работы. 

V.Подведение итогов урока      

1.Что узнали на уроке?

2.Выставление оценок.

VI.Домашнее задание

П.19; № 410; 411а, б; 419.

Дополнительно для сильных: № 269; 270 из сборника заданий для письменного экзамена