Конспект урока по теме "Формула суммы n первых членов конечной арифметической прогрессии".
план-конспект урока по алгебре (9 класс) по теме

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Здравствуйте.

Что называется арифметической прогрессией?

Что называется геометрической прогрессией?

Что общего между арифметической и геометрической прогрессиями?

Чем отличаются арифметическая и геометрическая прогрессии?

Запишите формулы n-го члена арифметической и геометрической прогрессий.

Что нужно знать чтобы записать формулы n-го члена арифметической прогрессии?

Что нужно знать чтобы записать формулы n-го члена геометрической прогрессии?

(Работа с карточками.)

1.Используя формулу n –го члена арифметической прогрессии

аn = а1 + d (n – 1), запишите члены аn – 1  ,

аn – 2  ,  аn + 1 .

(Д,)

2.Найдите сумму 100 первых натуральных чисел, т.е.

1 + 2 + 3 + 4 +…+ 99 + 100.

Эта задача была решена великим немецким математиком Карлом Гауссом буквально за несколько минут в возрасте 8 лет.

Давайте попробуем ее тоже решить.

Какой это ряд чисел?

Какую прогрессию задает ряд натуральных чисел?

Назовите первый член и разность данной арифметической прогрессии.

Задайте данную прогрессию аналитически.

Какова же будет цель нашего урока?

Если в арифметической прогрессии отбросить все члены, следующие за каким- то  конкретным членом последовательности, например за , то получится конечная арифметическая  прогрессия

(Работа с карточками).

3.Конечная арифметическая прогрессия имеет вид 1,3, 5, 7, 9, 11. Найдите и сравните, указанные ниже суммы:

а) первого и последнего членов этой прогрессии: ………………………………………

б) второго и предпоследнего членов этой прогрессии: ………………………………….

в) третьего с начала и третьего с конца членов этой прогрессии ……………………….

Вывод: указанные суммы …………………

4.Найдите сумму членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, 9, 11.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =

Используя вывод, полученный в предыдущем задании, запишите числовое выражение для вычисления суммы членов этой прогрессии:

Какую закономерность вы обнаружили при выполнении 3 задания?

В рассматриваемой в 3 и 4 заданиях конечной арифметической прогрессии чему будут равны  и ?

Так как искали сумму шести членов  будем обозначать сумму как .

Тогда как запишется формула для вычисления сумму членов этой прогрессии.

Как связано число 3 с этой конечной арифметической прогрессией?

А как связано число 3 с количеством членов этой арифметической прогрессии?

Т.е.  можно записать .

(Работа с карточками).

5.Используя формулу n –го члена конечной арифметической прогрессии из n членов, выразите, приведенные ниже суммы, через а1 и d:

Чему равна сумма первого и последнего члена арифметической прогрессии?

Чему равна сумма члена, находящегося на втором месте от начала конечной арифметической прогрессии, и члена, находящегося на втором месте от ее конца?

Чему равна а3  + аn – 2  ?

Выскажите гипотезу о сумме членов равноотстоящих от концов прогрессии.

Выполните номер № 446(а,в).

(Устно).

Для арифметической прогрессии:

 а) Зная, что ,найдите  

б) зная, что  найдите

(Работа с карточками).

6.Повторите вывод формулы суммы шести членов арифметической прогрессии

2, 5, 8, 11, 14, 17, выполнив следующие действия.

1)Запишите сумму шести членов этой прогрессии в порядке их следования в прогрессии: S6 =  2 + 5 + ……………..

2)Запишите эту же сумму, расположив слагаемые в обратном порядке, т.е. от последнего к первому:

 S6 =  17 + 14 + ……………..

3)сложите почленно полученные равенства:

S6  =    2       +   5  + ……………..

S6  =  17       +  14 + ……………..

--------------------------------------------------

2S6 =  (2+17)+(5+14)+ ……………..

4)Установите число пар, суммы которых равны между собой, найдите S6 

S6 =  , где n = ……

5)Обобщите полученный результат и запишите формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии а1 , а2 , а3 , …, аn.

Sn =.

Формула Sn = будет справедлива и для n первых членов бесконечной арифметической прогрессии.

Что обозначают символы в формуле суммы членов арифметической прогрессии?

Вернемся к задаче, которую не смогли выполнить в начале урока, задаче Гаусса.

Чему же будет равна сумма 100 первых натуральных чисел?

Выполните упражнения №438(а).

Найдите сумму  членов конечной арифметической прогрессии, если первый и последний ее члены:

 = -1, =86.

Что известно в задаче?

Что нужно найти?

Какую формулу нужно применить?

7.Найдите сумму всех четных двузначных чисел, выполнив следующие действия:

1. запишите три первых четных двузначных числа:
2. установите, что заданная словесно последовательность, является арифметической прогрессией:
3. установите число членов заданной арифметической прогрессии.

Каким является последнее двузначное четное число?

Как можно найти число членов заданной арифметической прогрессии, если известны

первый член прогрессии, разность прогрессии и ее последний член?

Запишите уравнение относительно переменной n и решите его.

4. найдите Sn, если n = 45.

Давайте выделим схему решения задач, в которых последовательность задана словестно.

Какие этапы необходимо выполнить при выполнении таких задач?

8.Что означают обозначения а1 , аn ,

 n, Sn в записи формулы Sn = ?

Используя формулу n-го члена арифметической прогрессии,

 запишите еще одну формулу для вычисления суммы n членов конечной

арифметической прогрессии.  

аn = …………,  значит, Sn =

Данной формулой также можно пользоваться при вычислении суммы конечной арифметической прогрессии.

9.Составьте различные типы задач, комбинируя

 данные а1 ,  d, аn , n, Sn .

Заполните пропуски после стрелки,

 указав параметры, которые можно

 найти по выделенным данным.

(а1 ,  d, аn ) ®   Sn        (а1 ,  d, n) ®   Sn         (а1 ,  n, Sn ) ®   d         (а1 ,  d, Sn ) ® an                   

  (d, n, Sn ) ®    a1       (а1 ,  аn , n ) ®  Sn     

Назовите цель нашего урока?

Достигли мы этой цели?

Назовите формулы для вычисления

суммы арифметической прогрессии.

Мы с вами выделили типы задач,

 как вы думаете чем мы будем

заниматься на следующем  уроке?

Числовую последовательность,  каждый член которой начиная со второго равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Числовую последовательность,  все члены которой отличны от нуля и каждый член которой начиная со второго получается из предыдущего члена умножением его на  одного и того же число q, называют геометрической прогрессией, а число q называют знаменателем геометрической прогрессии.

И арифметическая, и геометрическая прогрессии являются последовательностями.

Они отличаются конструированием членов.

(Д).

.

Нужно знать, d.

Нужно знать, q.

(Д,)

аn – 1  =

аn – 2  =

аn + 1  =.

???...

Ряд натуральных чисел.

Арифметическую прогрессию.

=1, d = 1.

Вывести формулу для нахождения суммы n

первых членов арифметической прогрессии.

а) первого и последнего членов этой прогрессии:

1+11=12.

б) второго и предпоследнего членов этой прогрессии:

3+9=12.

в) третьего с начала и третьего с конца членов этой прогрессии

 5+7=12.

Вывод: указанные суммы равны.

1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 =36

S = ( а1 + а6)*3.

.

Число 3 является  вторым членом этой арифметической прогрессии.

6/2=3,

3+3=6.

Сумма равна 2*+(n-1)d.

Сумма равна 2*+(n-1)d.

Тому же.

Они равны и равны сумме первого члена прогрессии и последнего.

=64

=-40.

1)Запишите сумму шести членов этой прогрессии в порядке их следования в прогрессии:

S6 =  2 + 5 + ……=57.

2)Запишите эту же сумму, расположив слагаемые в обратном порядке, т.е. от последнего к первому:

 S6 =  17 + 14 + …=57.

3)сложите почленно полученные равенства:

S6  =    2 + 5 + 8+11+14+17

S6  =  17+ 14 + 11+8+5+2

2S6 =  (2+17)+(5+14)+(8+11)+(14+5)+(17+2).

4)Установите число пар, суммы которых равны между собой, найдите S6 

S6 =  , где n = 6.

5)Обобщите полученный результат и запишите формулу для вычисления суммы n членов конечной арифметической прогрессии а1 , а2 , а3 , …, аn.

Sn = .              

первый член арифметической прогрессии,

- n-ый член арифметической прогрессии,

n – число членов арифметической прогрессии,

-сумма n первых членов бесконечной арифметической прогрессии.

По формуле суммыn первых членов арифметической прогрессии

Конечная арифметическая прогрессия, первый и последний ее члены.

Найдите сумму  членов конечной арифметической прогрессии.

Sn =.

Sn  =  = 1275.

1. 10,12,14.
2. заданная словесно последовательность действительно является арифметической прогрессией, т.к. каждый ее член, начиная со второго равен сумме предыдущего числа и одного и того же числа  2, т.е. а1 =10, а2 = 12, d = 2.
3.  

Последнее двузначное четное число 98.

Для этого нужно, используя формулу n-го члена,  составить уравнение  и решить его относительно n.

98 = 10 + 2(n-1)

98 = 10 +2n -2

98 = 8 +2n

n =45.

      4. Sn =  = 2475.

1. Установить тип прогрессии.
2. Найти число членов этой прогрессии.
3. Найти необходимые элементы для вычисления суммы конечной арифметической прогрессии.
4. Найти сумму.

первый член арифметической прогрессии,

- n-ый член арифметической прогрессии,

n – число членов арифметической прогрессии,

-сумма n первых членов бесконечной арифметической прогрессии.

Sn =  = .

Вывести формулу для нахождения суммы n

первых членов арифметической прогрессии.

Да.

Sn = ,

Sn = .

Решать задачи.

S =

а1 + аn             

а2  + аn – 1  =

а3  + аn – 2  

аn =

аn  + а1 =

а2 =

аn – 1  = а1 + d (n – 2) =

а2  + аn – 1  =