Конспект урока по алгебре в 9-м классе на тему: «Арифметическая и геометрическая прогрессии»
план-конспект урока по математике (9 класс) на тему

Муниципальное казенное  общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №6» с. Дербетовка

Конспект урока по алгебре в 9-м классе на тему:

 «Арифметическая и геометрическая прогрессии»

Автор разработки: учитель математики

Коваленко Татьяна Николаевна

Тема урока: «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Цель урока: систематизировать и обобщить знания учащихся по теме «Арифметическая и геометрическая прогрессии».

Задачи урока:

1. Образовательные: повторить теоретическую часть темы, проверить усвоение темы в ходе устной, индивидуальной и самостоятельной работы;

2. Развивающие: развивать интерес к предмету, познавательную активность, самостоятельность;

3. Воспитательные: развивать логику и речь учащихся; умение работать в группе, отстаивать свое мнение, принимать участие в диалоге, принимать точку зрения собеседника.

Тип урока: урок  обобщения и систематизации знаний.

Методы обучения: наглядный, частично-поисковый, практический, объяснительно-иллюстративный.

Формы работы: фронтальная, индивидуальная, самостоятельная, групповая. 
Оборудование: компьютер, проектор, презентация: «Арифметическая и геометрическая прогрессии», раздаточный материал.

План урока.

1. Организационный момент.
2. Актуализация знаний учащихся.
3. Математический диктант.
4. Применение арифметической и геометрической прогрессии при решении текстовых задач.
5. Самостоятельная работа.
6. Рефлексия.
7. Домашнее задание.

Ход урока:

1. Организационный момент:

     Изучена данная тема,
    Пройдена теория схема,
    Вы много новых формул узнали,
    Задачи с прогрессией решали.
    И вот в последний урок
    Нас поведет красивый лозунг
   “ПРОГРЕССИО - ВПЕРЕД”.

    Слово «прогрессия» - латинское (progression – движение вперед (как слово «прогресс»)). А какие прогрессии вы знаете в математике? Конечно же - арифметическую и геометрическую. Учащиеся формулируют тему и цели урока.

2. Актуализация знаний учащихся.

1. Что называется арифметической прогрессией? Записать формулу n –го члена арифметической прогрессии.
2. Что называется геометрической прогрессией? Записать формулу n –го члена геометрической прогрессии.
3. Какой вывод можно сделать о прогрессиях?

   ВЫВОД:  Прочитав подряд определения арифметической и геометрической прогрессиях, можно обратить внимание на то, что они похожи, надо лишь заменить сложение умножением или наоборот. А зная формулу n-го члена арифметической прогрессии, можно получить формулу для геометрической прогрессии, если заменить сложение умножением и умножение возведением в степень: an=a1+d(n - l); bn=b1qn-1.

4. Сформулировать свойства арифметической и геометрической прогрессии, записать соответствующие формулы.
5. Какой вывод можно сделать?

   « Родство» прогрессий становится еще более заметным, если вспомнить их характеристические свойства:

an = (an+1 + an-1) / 2;  bn = √bn+1 ˙ bn-1 .

   Здесь тоже достаточно заменить сложение умножением, а деление на 2-извлечением корня второй степени, и из характеристического свойства арифметической прогрессии получится характеристическое свойство геометрической прогрессии.

3. Математический диктант.

1. Какая дана последовательность?

1) 2; 5; 8; 11; 14; 17; …

2) 3; 9; 27; 81; 243; …

3) 1; 6; 11; 20; 25; …

4) –4; –8; –16; –32; …

5) 5; 25; 35; 45; 55; …

   Ребята обмениваются тетрадями, и происходит взаимная проверка ответов. В тетрадях указывают число правильных ответов, каждый правильный ответ 1 балл.

         2. Следующее задание это работа в парах, и каждая пара может заработать дополнительный балл для себя. В таблице даны ответы вопросов, ответ вопроса соответствует букве кодового слова.  

Ответ: Штифель

1. Найдите семнадцатый член арифметической прогрессии: 19; 15; ...(-45)
2. Найдите сумму первых семнадцати членов этой прогрессии. (-221)
3. Найдите сумму первых трех членов геометрической прогрессии: b1= -16, q = 3. (-208)
4. Найдите b5. (-1296)
5. Найдите q геометрической прогрессии, если b1 = 16, b2 = 64. (4)
6. -24;12;-6;.. - бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Найдите ее сумму. (-16)
7.  В арифметической прогрессии: а3=11,а5=19.  Найдите а4 . (15)

Исторические сведения:

   В 1544 г. вышла книга немецкого математика М. Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу:

  В верхней строке – арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней – геометрическая прогрессия со знаменателем 2. Расположены так, что нулю арифметической прогрессии соответствует единица геометрической прогрессии. Это очень важный факт.

   А теперь представьте, что мы не умеем умножать и делить. Необходимо умножить, например,  на 128. В таблице над   написано  -3, а над 128 написано 7. Сложим эти числа. Получилось  4. Под 4 находится число 16. Это есть искомое произведение.

  Другой пример. Разделим 64 на  . Поступаем аналогично:

 64 6;   -1;       6 – (-1) = 7;       7  128;       64 :  = 128.

   Другой ученый математик Карл Гаусс (1777 – 1855) нашел моментально сумму всех натуральных чисел от 1 до 100, будучи учеником начальной школы. В дальнейшем он сделал много замечательных открытий. Его даже назвали «Царем математики».

   На связь между прогрессиями первым обратил внимание Архимед, и в ходе своих исследований нашел сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем 1/4, что явилось первым примером появления в математике бесконечного ряда.

   А как вы думаете, ребята, зачем мы изучаем арифметическую и геометрическую прогрессии? Конечно, эти задания встречаются вам при сдачи итоговой аттестации.

4. Применение арифметической и геометрической прогрессии при решении текстовых задач.

    А как вы думаете, встречается ли арифметическая или геометрическая прогрессии в жизни? Cейчас, я предлагаю вам решить жизненные задачи.

1. Население поселка Айгурский составляет 1000 человек. За последние годы наблюдается ежегодный прирост населения на 3%. Каким станет население поселка через 5 лет, если эта тенденция сохранится?    

Решение: b6 = b1·q5 = 1000·1,035 = 1159 человек.

Ответ: 1159 человек.

   Задачи на геометрическую прогрессию включены в материалы ЕГЭ. Пример задачи из материалов ЕГЭ-2013 года.

2. Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 9% годовых, через 2 года после очередного начисления процентов, его вклад составил 23 762 руб. Каков был первоначальный вклад?

Решение: b3 = b1 · q2 

                 b1 = b3 : q2 =23 762 : 1,092 = 20 000 рублей.

Ответ: 20 000 рублей.

А знаете ли вы такую индийскую легенду?

    Согласно древней легенде, индийский царь Шерам был восхищен новой игрой - шахматами - и предложил её изобретателю, мудрецу Сете, любую награду. Сете попросил плату пшеницей исходя из следующего расчёта: за первую клетку доски заплатить 1 зерно, за вторую 2 зерна, за третью 4 зерна, и т.д. - за каждую следующую клетку дать в 2 раза больше зёрен, чем за предыдущую. Шерам, будучи все еще под впечатлением от замечательной игры, приказал тут же отдать старцу "Этот его мешок пшеницы". Однако, спустя день дворцовому счетоводу оставалось только развести руками - столько зерна не нашлось бы во всей Индии.

На экране запись: 1; 2; 4; 8; 16;…;    

Получаем:

Вычисляем: 264 − 1 = 18 446 744 073 709 551 616 зёрен, их общая масса составит 461 168 602 000 тонн.

Как велико это число? Кто может объяснить? Если бы удалось царю засеять пшеницей площадь всей поверхности Земли, считая и моря, и океаны, и горы, и пустыни, и Арктику с Антарктидой, и получить удовлетворительный урожай, то, пожалуй, лет за пять смог бы рассчитаться.

5. Самостоятельная работа.

Вариант I

1) Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии , если

2) Найдите сумму первых пятнадцати членов арифметической прогрессии , если

3) Найдите пятый член геометрической прогрессии , если .

4) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии , если .

5) Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, если .

Вариант II

1. Найдите сорок третий член арифметической прогрессии , если .
2. Найдите сумму первых сорока трех членов арифметической прогрессии , если .
3. Найдите шестой член геометрической прогрессии , если.
4. Найдите сумму первых двух членов геометрической прогрессии , если .
5. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:                                - 54; 18; - 6; … .

6. Рефлексия.

Урок сегодня завершен,

Но каждый должен знать:

Познание, упорство, труд

К прогрессу в жизни приведут!

    У каждого ученика на столе жетоны (зеленый, желтый, красный). Покажите  тот жетон, который соответствует вашему настроению.

    Зеленый – я удовлетворен уроком, урок был полезен для меня, я много работал, понимал все, о чем говорилось на уроке.  

   Желтый – урок был интересен, я принимал в нем активное участие, сумел выполнить ряд заданий, мне было на уроке комфортно.

    Красный – пользы от урока я получил мало, не очень понимал, о чем идет речь, мне это не очень нужно, к ответам на уроке я не был готов.

7. Домашнее задание.

   Заполните пустые клетки таблицы так, чтобы числа в каждой строке и в каждом столбце составляли геометрические прогрессии.

                                          Ответ:

    Математический анекдот: Однажды Шерлок Холмс и его неизменный спутник Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре. Сильный ветер погнал их шар в неизвестном направлении. Затем ветер несколько унялся, и они приземлились в пустынной и загадочной местности.

Вскоре, однако, они заметили приближающегося к ним человека.                                                - Не могли бы вы хотя бы приблизительно сказать нам, где мы находимся? – спросил его Холмс. Мужчина задумался на некоторое время и затем ответил:                                                  - Почему приблизительно? Я могу ответить абсолютно точно. Вы находитесь в гондоле воздушного шара.

Очередной порыв ветра понёс шар дальше в неизвестном направлении.             - Чёрт бы побрал этих математиков! – раздражённо проговорил Шерлок Холмс.                                                                                                                              - А почему Вы считаете, что этот человек был математиком? – как всегда удивился Ватсон.                                                                                                      - - Ну, во – первых, прежде чем ответить, он подумал. А во – вторых, его ответ был абсолютно точен и абсолютно бесполезен для нас.

Ответ Шерлока Холмса ребятам не говорить, а предложить им самим ответить на этот вопрос.

В ходе работы учащиеся показали хороший уровень усвоения учебного материала, сформированность умений и навыков, излагали изученный материал последовательно, логично.