Методическая разработка :«Проценты. Методика решения задач различных типов на проценты».
методическая разработка по математике на тему

ГКОУ «Школа для детей, нуждающихся в длительном лечении»

Тема: «Проценты.

Методика решения задач различных типов на проценты»

г. Кострома.

1.    Введение.

В настоящее время одна из важнейших задач образовательного процесса – обеспечить учащимся глубокие и прочные знания, а также умение рационально применять их в учебной и практической деятельности.

Большое практическое значение имеет умение решать задачи на проценты, потому что понятие процента широко используется как в реальной жизни, так и в различных областях науки.

В школьном курсе эта тема изучается в V – VI классе, но ей отводится очень мало времени и места, в результате учащиеся не умеют решать задачи на проценты. Наблюдения действительно показывают, что многие учащиеся испытывают трудности, когда встречаются с понятием процента. Ученики школы не разбираются в вопросах инфляции, ценообразования, банковских вкладах и кредитах. Поэтому желательно к этой теме обращаться постоянно, учитывая, что проценты тесно связаны с повседневной жизнью и с ними  постоянно приходится иметь дело.

Кроме того, при поступлении в различные институты и университеты требуются знания, связанные с процентами.  Сейчас при сдаче ЕГЭ необходимо уметь решать задачи на проценты.  При подготовке к экзамену по математике преподавателю предстоит повторить с учащимися процентные вычисления, а что-то придётся объяснить заново. Это очень важная работа, так как впервые с процентами знакомились в 5 классе, а в экзаменационных заданиях есть задачи на процентные вычисления.

Проценты в мире появились из практической необходимости, при решении определенных задач, в основном это экономические потребности. И поэтому надо отметить важность процентов в нашей жизни. Так как проценты проникли практически во все отрасли знаний. Мы не однократно видим, что проценты применяют даже там, где на первый взгляд не применимы так, например человек на вопрос: «Как у Вас здоровье?», - может ответить, что здоров на сто процентов, отсюда видно, что проценты можно применять при измерении не только точных величин,  таких как килограммы, рубли и т.д., проценты являются универсальной величиной измерения разных величин и объектов.

 Проценты появились в древности, когда появилось понятие долга, так как  они нужны были для выплаты по закладным и займам и т. д. И поэтому в математике стала развиваться новая область - проценты. Первая потребность в процентах была экономическая, но затем  проценты стали  широко применятся в различных отраслях и науках (математика, химия и т д.), и в наше время проценты приобрели широкое распространение.

Определим границы исследований:  

предмет – процесс обучения учащихся алгоритму решения задач на проценты;

объект -   учебная деятельность, при которой учащиеся учатся решать задачи на проценты.

Целью  методической разработки являются:

1. Обобщение методики изучения процентов.
2. Решение  задач при подготовке к ЕГЭ.
3. Разбор задач на составление уравнений.
4. Формирование понимания необходимости знаний процентных вычислений для решения большого круга задач, показав широту применения процентных расчетов в реальной жизни и других предметах.
5. Способствование  интеллектуальному развитию учащихся.

2. История процентов

В этом разделе школьной программы 5-го класса хорошо было бы напомнить ученикам, об истории возникновения процентов,  истории появления на свет знака процента.

При изучении этого материала необходимо напомнить учащимся, что такое сотая часть числа (например, сотая часть рубля это копейка).

Необходимо отметить, что люди давно заметили, что сотые доли величин более удобны на практике (например, при записи десятичных дробей).

 Итак, слово процент от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян. Ряд задач клинописных табличек посвящен исчислению процентов, однако вавилонские ростовщики считали не «со ста», а «с шестидесяти». Проценты были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Сегодня процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

Знак % происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буква t превратилась в наклонную черту (/), возник современный символ для обозначения процента.

В учебнике Н.Я. Виленкина, В.И. Жохова, А.С. Чеснокова и С.И. Шварцбурда   «Математика 5» , в рубрике «История математики» дана еще одна достаточно любопытная версия возникновения знака %. Там, в частности, говорится, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 г. в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %.

        Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. При этом говорили: «На каждые 100 сестерциев долга заплатить 16 сестерциев лихвы». От римлян проценты перешли к другим народам Европы.

Задача 2.1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 60 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернешь мне в установленный срок 60 сестерциев и еще 20% от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 72 сестерциев.

Задача 2.2.  Некий человек взял в долг у ростовщика 1000 р. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив еще 80% от суммы долга. Но через 6 месяцев должник решил вернуть свой долг. Сколько рублей он вернет ростовщику?

Ответ: 1400 руб.

3. Методика решения задач различных типов на проценты.

3.1 Методика введения процентов.

При повторении  этого материала нужно сначала напомнить учащимся, что такое сотая часть числа (например, сотая часть метра – это сантиметр, сотая часть рубля - копейка, сотая часть центнера – килограмм).

Люди давно заметили, что сотые доли  величин удобны в практической деятельности (например, при записи  десятичных дробей). Потому для них было придумано специальное  название – процент (от латинского ' по-центум ' – на сто ). Значит одна копейка – один процент от одного рубля, а один сантиметр – один процент от одного метра.

Итак, один процент – это одна сотая доля. Здесь важно обратить внимание на математическую запись процентов " % ", и главное объяснить, что целая часть равна  "100%", что "100%" и есть целостность числа.

Также надо обязательно обратить внимание на свойства.

Свойства:

1)1% = А/100.

2)1% ·100 = А

          3)0% от числа А – это само число А, т. к. один процент – одна сотая, сто процентов – сто сотых, то есть единица;

         4) 0% от числа – это ноль;

         5) 1% от числа А – это 0,01А= А/100                       

          6)Х% от числа А – это А/100 *Х                         

 В% = В·А/100

Задача  3.1.1.  Найти 7%  от числа 17.

7% от 17 будет 7·17/100 = 1.19 или одна целая девятнадцать сотых - это семь процентов от семнадцати.

Также нужно отметить, что проценты - это аналог обыкновенным дробям (1/100). Из этого следует, что процентами выполняются все четыре действия, присущие обыкновенным дробям - это сложение, вычитание, умножение, деление.

Теперь рассмотрим задачу на процентное отношение чисел.

Чтобы найти процентное отношение двух чисел А и В, надо  отношение этих чисел умножить на 100%, то есть вычислить (а/в)·100%.

Задача 3.1.2.  При плановом задании 60 автомобилей в день завод выпустил 66 автомобилей. На сколько процентов завод выполнил план?

Решение: Воспользуемся правилом.

(66/60) · 100%=1,1 · 100=110%

Ответ: 110%.

Задача   3.1.3.  Бронза является сплавом олова и меди. Сколько процентов сплава составляет медь в куске бронзы, состоящем из 6 кг олова и 34 кг меди?

Решение:

1) 6+ 34 =40 (кг)      масса всего сплава.

2) (34 /40)*100% = 85%     сплава составляет медь.

Ответ: 85%.

         3.2.  Методика нахождения нескольких процентов от числа.

В данном разделе покажем методику нахождения нескольких процентов от числа, так как эта тема является одной из трех важнейших, которые должны понять учащийся в теме «проценты». А главное они должны понять алгоритм нахождения  одного или нескольких процентов от числа, и применять эти способности на практике, при решении различных задач на проценты.

Важно, чтобы студенты поняли,  для того чтобы находить проценты от числа нужно понять, что один процент является одной сотой от данного числа. Из этого следует  необходимость определения одного процента (а это главное, так как чтобы найти несколько процентов от числа нужно найти сначала один процент) можно записать равенством:

1 % = 0,01 · а                                                           

Отсюда, любой учащийся быстро поймет, что 5% = 0,05;  23% = 0,23; 130%=1,3  и т. д.

Как найти 1% от числа? Раз 1% -  это одна сотая часть, надо число разделить на 100. Мы уже сделали вывод, что деление на 100 можно заменить умножением на 0,01. Поэтому, чтобы найти 1% от данного числа, нужно умножить его на 0,01.

 А если нужно найти 5% от числа, то умножаем данное число на 0,05 и т.д.

Так что отсюда можно вывести алгоритм нахождения одного или нескольких процентов от числа:

3.3.  Методика нахождения числа по его процентам.

Покажем общую методику нахождения числа от одного или нескольких процентов. Это также является важной частью в изучение процентов, так как встречаются не только задачи на нахождение процентов от числа, но числа по процентам. Это особенно хорошо видно в задачах связанных с экономикой (например, когда в банк кладется сумма под проценты, а через какое-то время забирается с «набежавшими» процентами и нужно найти данную сумму).  Так что учащимся необходимо раскрыть алгоритм нахождения числа от нескольких процентов.

Учащиеся знают, что один процент можно записать десятичной дробью:

1 % = 0,01 · а

Так вот возникает вопрос, как найти искомое  число, если известно лишь, сколько процентов составляет другое число от искомого? Для этого нужно сначала проценты записать десятичной дробью, после чего надо данное нам число разделить на эту десятичную дробь, в результате мы получим число от нескольких процентов.

3.4.  Методика нахождения процентного отношения.

Рассмотрим  последнее, но не менее важное для нахождения процентов при решении задач – это нахождение процентного отношения. В этом разделе изучим алгоритм нахождения процентного отношения.

Встречаются задачи, в которых даны два числа, и нужно найти их процентное отношение. Для этого нужно взять первое число, назовем его «а», и разделить его на второе число, назовем его число «в», а затем результат умножим на сто процентов. Мы получим процентное отношение первого числа на второе

( а / в) · 100 %                                                          

4. Методика изучения процентов при подготовке к ОГЭ и  ЕГЭ.

Задачи на проценты, концентрации, смеси и сплавы встречаются не только в математике, но и в химии, где рассматриваются различные соединения. Они вызывают затруднения уучащихся. Причина такой ситуации, на мой взгляд, заключается в том, что тема “Проценты” изучается в 5 классах, когда собственно математики еще нет, изучается непродолжительно и, наконец, к задачам на проценты не возвращаются в старших классах. Неумение решать текстовые задачи показывает недостаточное знание математики.

Решение этих задач основывается на использовании различных математических моделей: уравнений, неравенств, их систем с привлечением процентов, арифметической и геометрической прогрессий, производной и др.

При решении задач на проценты необходимо уметь находить процент от числа, число по его проценту, процентное отношение. Основная трудность лежит при решении задач на сложные проценты – проценты, начисляемые на процентные деньги.

Рассмотрим решение различных типов задач на нахождение процентов при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ.

Тип 1: Перевод процентов в десятичную дробь    А/100

Задачи:20%;75%;125%;50%;40%;1%;70%;35%;80%.......

Заполните таблицу

Тип 2:Перевод дроби в проценты А*100%

1. Переведите дроби в проценты:        ;        0,07;        2,4.
2. (ГИА, тематические задания) Соотнесите дроби, которые выражают доли некоторой величины, и соответствующие им проценты.

А. ;                Б) ;                В) 0,5;                Г) 0,05

1) 5%;                2) 25%;        3) 50%;        4) 60%

Ответ:

Тип 3: Находим процент от числа.

Х%  ОТ А :  

1)Х%  представляем в виде десятичной дроби

2) Число А умножаем на десятичную дробь.

Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов (500).

1. 20% = 0,2.
2.  500 * 0,2 = 100.
3. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

1.Медведь, волк и лиса нашли в лесу сундук с 5050 золотыми монетами. Они взяли 40% всех монет, остальные монеты растащили грабители. Сколько монет растащили грабители? (3030 монет)

2.Длина Волги 3530 км. Корабль проплыл 10% длины этой реки и сделал первую остановку. Сколько километров проплыл корабль до первой остановки? (353 км)

3.Карлсон купил новый шампунь. После того, как он помылся, от его прежних 450 волосинок осталось 38%. Сколько волосинок исчезло с головы Карлсона (279)

 4.Кощей поспорил с бабой Ягой, что просидит в печке 200 минут, а просидел 68% этого времени.         Сколько минут просидел Кощей в печке? (136 минут)

5.Кот Матроскин и почтальон Печкин ели леденцы. Кот съел 24 леденца, почтальон 50% этого количества. Сколько леденцов они съели вместе? (36 леденцов).

6. Вода составляет 76% картофеля. Сколько килограммов воды в 35 кг картофеля?

Ответ: в 35 кг картофеля содержится 26,6 кг воды.

7. В классе 28 учеников. 75% из них занимаются спортом. Сколько учеников в классе занимаются спортом?

Ответ: 21 ученик в классе занимается спортом.

8. В классе 20 человек. Контрольную работу по математике 25% учащихся написали на «5», 35 % написали на «4», 10% всех учащихся получили «2». Сколько пятерок, четверок, троек и двоек получил класс?

Ответ: оценку «5» получило 5 учащихся; оценку «4» получили 7 учащихся; оценку «3» получило 6 учащихся и оценку «2» получили 2 ученика.

9. Токарю нужно было сделать 120 деталей, но он перевыполнил план на 10%. Сколько деталей изготовил токарь?

Ответ: 132 детали изготовил токарь.

 10.Найти 15% от числа 400. Ответ: 60.

11.В школе учится 800 человек, 55% - это девочки, 5% из них отличницы. Сколько девочек учится в школе? Сколько в школе отличниц? Ответ: в школе 440 девочек, 22 отличницы.

12.В этом году выпало 124% осадков от нормы. Норма 550 мм. Сколько выпало осадков? Ответ: 682 мм.

13.От числа 400 найдите 10%,  65%,  0,5%, 120%    Ответ: 40, 280, 2, 480

14.Найдите 7% от числа 900  Ответ 63

15.Найдите 10% от 705км  Ответ 70,5км.

16. Найдите 48% от 180р   Ответ  86,4

17.Найдите 23% от 55т  Ответ12,65т.

18. В выборах в Государственную Думу в нашем городе приняли участие 60% населения, имеющих право голоса. Сколько человек приняли участие в выборах, если население нашего города и района 150000 человек?  (90000 человек)

19.Курящие дети сокращают себе жизнь на 15%. Определите, какова предположительная продолжительность жизни нынешних курящих детей, если средняя продолжительность жизни в России 56 лет (47,6г.). Часто детям подают пример взрослые и в первую очередь, родители. Дети, рожденные в семьях курильщиков, в 4-5 раз чаще болеют простудными заболеваниями, хроническими заболеваниями. (47,6 лет – средний возраст курящих детей.)

20. В честь юбилея Великой Победы Сбербанк России предлагает специальный вклад “Победитель”.

Процентные ставки, в % (годовых).

Ответ: 10500 р. – получит через полгода.
10700 р. – получит через год.

21.В IV квартале 2014 г. продовольственная корзина для работающего населения составила в среднем 5600р. За I квартал 2015г. стоимость продовольственной корзины увеличилась на 11%. Чему равна стоимость продовольственной корзины в I квартале 2015г.? (6216 р. – стоимость продовольственной корзины.)

22.. При покупке любой мобильной техники вы получаете бонус в размере 20% от суммы покупки. Сколько будет стоить электронная книга, если её стоимость 9490р.? (7592 р. – будет стоить электронная книга.)

23.Магазин обуви проводит распродажу туфлей и сапог со скидкой 30% и 50%. Подсчитать новые цены обуви.

Ответ: 700 р. – новая цена туфлей. 1100 р. – новая цена сапог.

задача о вреде табакокурения.

Задача 24.

На сколько больше человек курят в РФ, чем в США?

Ответ:12,5 млн. чел. больше в РФ.

25.Куртка стоила 2500р. Цену снизили на 15%. На сколько снизилась цена куртки? (375р.)

26.В классе 12 человек. Из них 25% – девочек. Сколько девочек в классе?(3 чел.)

27.В банке у вкладчика было 10000р. Годовой процент по вкладам составляет 6%. Сколько это будет денег?(600р.)

Тип 4: Находим число по его проценту .

А это Х% :

1. Х%  представляем в виде десятичной дроби
2. А делим на десятичную дробь.

Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 25% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задач в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач это 25% от общего их количества.

1)25%=0,25

2)38/0,25 = 152.

3) 152 задачи  в этом сборнике.

1. В школьной библиотеке 5780 учебников, что составляет 85% всех книг, имеющихся в библиотеке. Сколько всего книг в школьной библиотеке?

Ответ: всего в библиотеке 6800 книг.

2. Фирма платит рекламным агентам 5% от стоимости заказа. На какую сумму нужно выполнить заказ, чтобы заработать 2000 рублей?

Ответ: заказ должен быть на сумму 40000 рублей.

3.Когда Том Сойер нашел клад, он решил часть денег отдать тетушке, а часть оставить себе, так чтобы, положив их в банк  при 5 % годовых каждый год  получать эти проценты на личные расходы, он даже подсчитал, что ему примерно надо в год 300 долларов. Сколько он должен положить в банк? Ответ: 6000 долларов.

4.Найти число, если 18% его равны 900. Ответ: 5000.

5.3 % вклада в сберкассу составляют 150 р.Чему равен вклад? (5000 р.)

6.  Руда содержит 67% железа. Сколько надо взять руды для получения 13,4 т железа?

(20т.)

7.Найти число, 24% которого равны 96.(400)

8.За контрольную по математике в пятом классе отметку «5» получили четверо учеников,

что составляет 16% от всех учеников класса. Сколько учеников в классе? (25)

9.Из хлопка-сырца получается 24 % волокна. Сколько надо взять хлопка-сырца, чтобы получить 480 кг волокна? (2000кг)

10.В библиотеке 12% всех книг - словари. Сколько книг в библиотеке, если словарей в ней 900? (7500книг)

11.Папа получил премию к Новому году 5000 рублей, что составило 20% его зарплаты. Какова зарплата у папы? (25000р.)

12. В магазин электротоваров привезли лампочки. Среди них оказалось 16 разбитых лампочек, что составило 2 % их числа. Сколько лампочек привезли в магазин? (800)

13. Посадили семена гороха. 270 из них взошли. Это составило 90 % всех посаженых семян. Сколько семян посадили? (300)

14.Найдите число, 7 % которого равны 14. (200)

15. Найдите число, 13 % которого равны 39. (300)

16.Найдите число, 110 % которого равны 33. (30)

17. Найдите число, 150 % которого равны 60.(40)

18. Диктор телевидения сообщил, что сахарная свекла убрана с 2,8 млн га, что составляет 82 %всей площади, занятой под сахарную свеклу. Какую площадь занимала сахарная свекла? Ответ округлите до десятых.(3,41 млн.га)

19. 60 % класса пошли в кино, а остальные 12 человек — на выставку. Сколько учащихся в классе? (30чел.)

20. Мальчик израсходовал 70 % имевшихся у него денег, у него осталось 4 р. 20 к. Сколько денег было у мальчика первоначально?(6р.)

21. Автотуристы в первый день проехали 36% всего пути, во второй день 39% всего пути, а в третий день — оставшиеся 200 км. Каков весь путь? (800км.)

Тип 5: Находим процентное отношение двух чисел .

А и В числа. Сколько % составляет В от А?

1)В/А

2) Полученное частное умножить на 100%

Задача. В классе 30 учеников. 15 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, которое требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 1)15 /30=0,5

2)0,5*100%=50%

Задача. За 1 час станок-автомат изготовлял 240 деталей. После реконструкции этого станка он стал изготовлять в час 288 таких же деталей. На сколько процентов повысилась производительность станка?

Решение. Производительность станка повысилась на 288-240=48 деталей в час. Нужно узнать, сколько процентов от 240 деталей составляют 48 деталей. Для того чтобы узнать, сколько процентов число 48 составляет от числа 240 нужно число 48 разделить на 240 и результат умножить на 100%.

Ответ: производительность станка повысилась на 20%.

1.Сколько процентов число 36 составляет от 48?(75%)

2.вычислить, сколько процентов составляет число 52 от числа 400. (13%)

3.Завод должен был за месяц изготовить 1 200 изделий, а изготовил 2 300 изделий. На сколько процентов завод перевыполнил план?(91,7%)

4. В школьной библиотеке 3400 книг, из них 2890 учебников. Сколько процентов всех книг составляют учебники?(85%)

5.Определить, сколько процентов составляет число 320 от числа 1600.(20%)

6. Из 400 зерен пшеницы взошло 360. Определить процент всхожести семян.(90%) 

7.Посадили 50 семян, 47 из них взошли. Определите процент всхожести семян.(94%)

8. В школе 400 учащихся, 12 из них учатся на «5». Сколько процентов учащихся школы учится на «5»? (3%)

9.Маша прочитала 120 страниц и ей осталось прочитать 130 страниц книги. Сколько процентов всех страниц она прочитала? Сколько процентов всех страниц ей осталось прочитать? (48%; 52%)

10. В месяце было 12 солнечных и 18 пасмурных дней. Сколько процентов месяца составляют: 1) солнечные дни? 2) пасмурные дни? (40%;60%)

11. Райн любит собирать спортивные карточки с его любимыми игроками. У него есть 32 карточки с игроками бейсбола, 25 карточки с футболистами и 47 с баскетболистами. Каково процентное соотношение карточек каждого спорта в его коллекции? (30,8%; 24%; 45,2%)

12. На уроке был математический тест. Тест состоял из 5 вопросов; за три из них давали по три 3 балла за каждый, а за осташиеся два - по четыре балла. Вам удалось правильно ответить на два вопроса по 3 балла и на один вопрос по 4 балла. Какое процентное соотношение баллов Вы получили за этот тест?(58,8%)

13. Норма завода по производству автомобилей составляет 250 машин в месяц. Завод собрал за месяц 315 машин. На сколько процентов завод перевыполнил план? (26%)

14.Прибыль компании за 2011 год составила 126 млн руб, в 2012 году прибыль составила

89 млн руб. На сколько процентов упала прибыль в 2012 году? (29,37%)

15. Из 40 учеников класса 12 отличников. Какой процент всех учеников класса составляют отличники?(30%)

16.Из 2 000 зёрен пшеницы 1800 оказалось всхожими.   Определить процент всхожести зёрен? (90%)

17.  Определить процент соли в растворе, если в 300 г раствора содержится 15 г соли. (5%)

18. Определить процентное содержание меди в руде, если из 45 т руды получено 9 т меди. (20%)

19.Рабочий, имея на 400 руб. облигаций госзайма,   выиграл в течение года 50 руб. Сколько процентов годового дохода он получил от облигаций? (12,5%)

20.Рабочий, имея на 120 руб. облигаций госзайма, выиграл в течение года 20 руб. Сколько процентов годового дохода он получил от облигаций госзайма? (16,7%)

Тип 6: Увеличиваем число на процент. Уменьшаем число на процент.

А- число; увеличиваем на Х% то оно увеличилось в (1 + х /100) раз.:

1)число А умножаем на

2) (1 + х /100).

Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение. 140 * (1 + 15/100) = 161.

А- число; уменьшаем на Х% то оно уменьшилось в (1 - х /100) раз.:

1)число А умножаем на

2) (1 - х /100).

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в это году выпускников на 25 меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение.  100 * (1 – 25/100) = 75.

1.Цена холодильника в магазине за год увеличилась на 5%  Какой стала цена, если изначально холодильник стоил 12500 рублей.(13125руб.)

2.Книга «Математика » в магазине стоит 360 р. Во время акции все книги продаются со скидкой 15% Сколько теперь придется заплатить за эту книгу? (306 руб.)

3.увеличим число 136на 28% (174,08)

4.Увеличить число 340 на 20% (408)

5. Увеличить число 140 на 210% (434)

6. Уменьшить число 230 на 18% (188,6)

7.Товар стоил тысячу рублей. Продавец поднял цену на 10%. Сколько стал стоить товар? (1100руб.)

8.(ГИА, задание на 2 балла) Изделие, цена которого 500руб., сначала подорожало на 10%, а затем ещё на 20%. Какова окончательная цена изделия? (660 руб.)

9.(ЕГЭ,В-12) В 2008 году в городском квартале проживало 40000 человек. В 2009 году, в результате строительства новых домов, число жителей выросло на 8%, а в 2010 году – на 9% по сравнению с 2009 годом. Сколько человек стало проживать в квартале в 2010 году? (47088 чел.)

 Тип7: Концентрация раствора

Задача Килограмм соли растворили в 9 л воды. Чему равна концентрация полученного раствора? (Масса 1 л воды составляет 1 кг)(Петерсон 6 кл.)

Решение

1)Масса растворенного вещества 1 кг

2)Масса всего раствора 1+9=10(кг) 9 кг — масса воды в растворе (не путать с общей массой раствора)

3)1/10*100%=10%

10% - концентрация раствора

1.Сахар массой 5 г растворили в воде массой 20 г. Какова массовая доля(%)сахара в растворе?

2.Даны два куска с различным содержанием олова. Первый, массой 300 г, содержит 20% олова, Второй, массой 200 г, содержит 40% олова. Сколько процентов олова будет содержать сплав, полученный из этих кусков? Ответ. 28%.

3.Для консервирования огурцов взяли 100 г соли на 2 литра воды, для консервирования томатов 100 г соли на 4 литра воды. Какой рассол более концентрированный? (для огурцов)

4.Как определить, не пробуя на вкус, какой из сахарных растворов слаще, если в первом на 60 г воды 15 г сахара, а во втором на 120 г воды 60 г сахара?(второй)

5. Какова процентная концентрация раствора, полученного растворением 2,5 г глауберовой соли в 47,5 г воды? (5%)

6. Как приготовить 75 г раствора медного купороса с массовой долей 4%?Ответ: 3 г медного купороса, 72 г воды. 

7.В 500г раствора содержится 100г соли. Найдите концентрацию соли в данном растворе. Процентное содержание соли в растворе?( 0,2 или 20%)

8.200г раствора содержит 80% соли.  Найдите массу соли в этом растворе.(160)

9.Какова масса раствора, в котором 150г сахара составляют 25%.(600)

10.Определите концентрацию перманганата калия в растворе, полученного при сливании 3%-ного раствора массой 20 г и 1%-ного раствора массой 30г?

Решение: 1)Х=20*0,03=0,6(г)- перманганата калия в I растворе

                 2)У=30*0,01=0,3(г.)-  перманганата калия во II растворе

                 3)0,6+0.3=0,9(г) - перманганата калия

                 4)20+30=50(г)- общая масса растворов

                 5)0,9/50*100=1,8%

1.8% концентрацию перманганата калия в растворе

11.В одну банку мама налила 480г воды и насыпала 120г сахара, в другую – 840г воды и 160г сахара. В какой банке вода слаще? Ответ: в первой банке вода слаще.

12.Смешивают 200г  80% -го раствора соли  и 700г  20%-го раствора той же соли. Сколько соли в полученном растворе?  (300г.)                                                                              

Тип 8:Процентное содержание металла в сплаве

1. Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому куску сплава, чтобы получившийся сплав содержал 40% меди?

Решение.1)12. 0,45= 5,4 (кг) - чистой меди в первом сплаве;

2) 5,4: 0,4= 13,5 (кг)- вес нового сплава;

3) 13,5- 12= 1,5 (кг) олова.

Ответ: надо 1,5 кг олова.

2.Имеется два сплава, состоящие из меди, цинка и олова. Известно, что первый сплав содержит 40% олова, а второй- 26% меди. Процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково. Сплавив 150 кг первого сплава и 250 кг второго, получили новый сплав, в котором оказалась 30% цинка. Определите, сколько килограммов олова содержится в получившемся новом сплаве.

Так как процентное содержание цинка в первом и втором сплавах одинаково и в третьем сплаве оказалось 30%, то в первом и втором сплавах процентное содержание цинка 30%.

1. 250:0,3= 75 (кг)- цинка во втором сплаве;
2. 250. 0,26= 65 (кг)- меди во втором сплаве;
3. 250-(75+65)= 110 (кг) олова во втором сплаве;
4. 150.0,4= 60 (кг)- олова в первом сплаве;
5. 110+60= 170(кг)- олова в третьем сплаве.

Ответ: 170 кг.

Заключение.

В данной методической разработке рассмотрены основные методы решения задач на проценты и различные задачи на составление уравнений, что является важной частью изучение математики. Здесь рассмотрены задачи на составление « смесей » и на такое понятие как « концентрация ».

                Хочется отметить, что тема  работы очень актуальна, тем более в наше время, когда на первое место в отношениях становится экономика, а проценты приобрели широкое распространение в нашей жизни, а в школах уделяется мало время на изучения процентов, да и сам материал рассматривается скупо, не полномасштабно.

        Можно сделать вывод, что  эту тему не только можно, но и нужно вводить на факультативных занятиях по математике и на консультациях, а так же отводить время для решения  задач на проценты на уроках.

          В данном пособии изложены некоторые понятия теории процентов. Приведены типовые задачи по данной теме. К задачам даны решения. Эта система подобранных упражнений даёт возможность творчески подходить к повторению темы «Текстовые задачи на проценты».

Умение учащихся находить процент от числа, изменение величины в процентах, число по его проценту и т.д. позволяет усложнить текстовые задачи, что развивает логическое мышление.

В результате применения данной системы упражнений по данной теме повышается интерес к математике, увеличивается скорость вычислительных навыков на проценты. Уменьшается количество ошибок при решении сложных задач на проценты. Идёт более глубокое усвоение знаний по теме «Проценты».

Список использованной литературы:

1. Автономова Т.В. , С.Б. Верченко, В.А. Гусев и др.;25. Практикум по методике преподавания математики в средней школе: Учеб. пособие для студентов физ.-мат. пед. ин-тов/Под ред. В.И.Мишина.– М.: Просвещение, 1993.
2. Виленкин Н.Я. ,  Жохов В.И., Чесноков А.С. , Шварцбурд С.И. Математика: Учеб. для 6 кл. общеобразоват. учреждений/ . – М.: Мнемозина, 2001
3. Виленкин Н.Я., А.С. Чесносков, и другие. « математика 5 » Москва «просвещение» 2008 г.
4. Дорофеев Г.В., Кузнецова Л.В., Минаева С.С., Суворова С.Б. Изучение процентов в основной школе//Математика в школе. – 2002. – №1 – с. 19 –24.
5. Журнал « Математика » № 3 Москва 2004 г.
6. Журнал « Медицина » Как быть здоровым М.: , 2009
7. Королькова Г.В. . « Методическое пособие по математике » Волгоград 2006 г.
8. Лурье М.В. , Б.И. Александров. « Задачи на составление уравнений».
9. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе Методическое пособие по спецкурсу   Л.2003.
10. Матюшкин А.М. Проблемные ситуации в мышлении и обучении М. Педагогика 2007.
11. Поляков С. Зачем нужна математика тем, кому она не нужна? Школьное обозрение. – 2002. – №4. – с. 41 – 43
12. ЕГЭ. 3000 задач с ответами по математике. Под редакцией: А.Л. Семенова, И. В. Ященко. Разработано МИОО. Москва, издательство «Экзамен» 2012 г.
13. Самойлик Г. История математики на уроках. Проценты// Математика. – 2002 – № 36 – с. 3.

Схемы ключевых задач на проценты